בית » ספרים » מאקרו כלכלה » פרק 2: עקומת הביקוש » 3 דרכים למציאת המכפיל בעזרת המתמטיקה

3 דרכים למציאת המכפיל בעזרת המתמטיקה

מציאת המכפיל בעזרת המתמטיקה

דרך א' – סדרה הנדסית

נתייחס להסבר שמתייחס לגידול ההוצאה המצרפית בשלבים.
בשלב א' (שלב הפתיחה) ההוצאה המצרפית הראשונית היא E0  
בשלב ב' ההוצאה המצרפית גדלה בעוד   `c*E_0=c*E_0`
בשלב ג' ההוצאה המצרפית גדלה בעוד     `c*[c*E_0]=c^2*E_0`
בשלב ד' ההוצאה המצרפית גדלה בעוד   `c*[c^2*E_0]=c^3*E_0`
וכך בכל שלב נוסף, ההוצאה המצרפית גדלה בסכום ההוצאה המצרפית שהווספה בשלב הקודם, כפול c.
סיכום כל הסכומים בשלבים השונים יוצר סדרה שצורתה:       
`E_0+c*E_0+C^2*E_0+C^3*E_0+….+c^oo*E_0`
סדרת האיברים בתוך הסוגריים מכונה סדרה הנדסית, אין סופית.
מאפייניה של סדרה הנדסית אין סופית הם:
  1. האיבר הראשון הוא מספר a כלשהו בחזקת 1 (a1=a) וכל איבר נוסף מבוסס על אותו a, אך החזקה עולה ב-1 בצורה הבאה:  `a^1+a^2+a^3+…a^oo`
  2. כאשר a קטן מ-1 סכום הסדרה ההנדסית היא: `1/(1-a)`  סכום הסדרה שלנו הוא: `E_0*[1/(1-c)]`
נסמל את סכום הסדרה ב- EF כלומר `E_F=E_0*[1/(1-c)]` 
אם נעביר את E0 לצד שמאל, נקבל שהיחס `E_f/E_0` ` ` (שהוא המכפיל) שווה ל-`1/1-c`
  

דרך ב' – מפגש הפונקציות

כזכור, המשק מתמקם במקום המפגש של פונקציית קו 45° ופונקציית עקומת ההוצאות הצרפיות.
במקום המפגש מתקיים שוויון בתוצאות של 2 הפונקציות.
תוצאת פונקציית קו 45° היא:  `EF=YF`     
תוצאת פונקציית ההוצאות המצרפיות היא:  `E_F=E_0+c*Y_F`         
לפיכך:  `Y_F=E_0+c*E_F`                    
כשנשנה את סדר האיברים נקבל:`Y_F/E_0=1/(1-c)`
נציב Eבמקום YF, כלומר ( YF= EF) ונקבל: `E_F/E_0=1/(1-c)`, 
`E_F/E_0`  
הוא המכפיל, שווה ל- `1/(1-c)`

 

דרך ג' – באמצעות נגזרת

הקדמה

כל שינוי ב-E0 גורם לתזוזה של נקודת המפגש בין פונקציית קו 45° לפונקציית ההוצאות המצרפיות (להלן 2 הפונקציות).
כדי לחשב את השפעת השינוי ב-E0 על Y, עלינו להציג את Y כפונקציה של E0.
את Y כפונקציה של E0 קל לבנות לאור השיוויון שקיים בתוצאות 2 הפונקציות בנקודת המפגש שלהן.
צורת פונקציית קו 45° היא:  `E=Y`
צורת פונקציית ההוצאות המצרפיות היא:   `E=E_0+c*Y`                        
בנקודת המפגש מתקיים השיוויון:    `Y=E0+c*Y`                        
כאשר נשנה את סדר האיברים נקבל: `Y=E_0/(1-c)` 
אם נהפוך את E0 מנתון קבוע למשתנה נקבל את Y כפונקציה של E0. תוצאת הנגזרת של הפונקציה היא: `f'(y)=1/(1-c)`
הנגזרת מציינת את מספר היחידות המתווספות ל- Y בגין כל תוספת של 1 יחידה ב-E0  וזוהי בדיוק הגדרת המכפיל.
הפונקציה `Y=E_0/(1-c)`, כאשר 0.6=C מוצגת בתרשים 800.

 

הערה: בדר"כ כאשר הופכים נתון קבוע למשתנה מוחקים בסימול את הסימן 0 מימינו.
כלומר E0 הופך ל- E. אנו לא נוהגים כך כאן ומשאירים את ה- 0 כדי להדגיש שהמשתנה מתייחס רק להוצאה המצרפית שקיימת בתפוקה 0.

 

הצגה גרפית של המכפיל

נציג את המכפיל באמצעות 2 תרשימים, 900 ו- 901. בתרשים 900 מתוות 2 עקומות של הוצאות מצרפיות שבהן C = 0.6.
באחת E0=2, ובשנייה E0=3.
כאשר `E_0=2` , `Y=5` (2 * המכפיל).
המכפיל = 
`1/(1-0.6)`
כאשר `E_0=3` , `Y=7.5` (2 * המכפיל).
המכפיל = 
`1/(1-0.6)`
כל תוספת של 1 ש"ח ל-E0, מוסיפה 2.5 ש"ח ל- Y (לתמ"ג).
בתרשים 901 משורטטת הפונקציה: `Y=1/(1-c)E_0` שבה y הוא פונקציה של E0) E0 הוא משתנה).
כאשר C=0.6, כל תוספת של 1 ש"ח ב-E0 תורמת לגידול של 2.5 ש"ח ב- y.

 

תרשים 900

הפונקציות:

  1. `E=2+Cy`
  2. `E=3+Cy`
  3. `E=y`

תרשים 900

תרשים 901 

הפונקציה `Y=1/(1-c)E_0` כאשר C = 0.6                                                                   

תרשים 901

 

מאקרו כלכלה

תוכן עניינים

נושאים נוספים

rich_or_poor_quiz_pop

Loading data ...
Coin Compare
View chart compare
View table compare
שינוי גודל פונט
ניגודיות