משתנה מקרי בינומי

תרשים ההתפלגות

התפלגות בינומית 

התפלגות בינומית היא התפלגות של משתנה מקרי בינומי.
נבחין בין 2 סוגים של משתנים מקריים בינומיים.
  1. משתנה מקרי בינומי ראשוני.
  2. משתנה מקרי בינומי.

משתנה מקרי בינומי ראשוני

משתנה מקרי בינומי ראשוני הוא משתנה שיכול לקבל רק 2 ערכים.

לדוגמה:

  1. הטלת מטבע הערכים האפשריים: עץ או פלי.
  2. זריקה לסל הערכים האפשריים: קליעה או פספוס.
  3. מיון ביצים הערכים האפשריים: סוג א' או סוג אחר.
בהמשך נקרא למשתנה מקרי בינומי ראשוני – ניסוי.
בכל ניסוי, את אחד הערכים נכנה הצלחה ונסמלו: 1.
ואת הערך האחר נכנה כשלון ונסמלו: 0.
אין משמעות איזה מהם מכנים הצלחה, אך כדאי לבחור באופן הגיוני.
למשל, בזריקות לסל – קליעה תחשב הצלחה, והחטאה תחשב כשלון.
במיון ביצים – ביצה סוג א' תחשב הצלחה, וביצה מסוג נמוך יותר תחשב כשלון.

 

משתנה מקרי בינומי

משתנה מקרי בינומי הוא משתנה המבוסס על סדרת ניסויים זהים, כאשר התוצאה של כל ניסוי יכולה להיות הצלחה או כשלון, וההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא זהה (ואז, גם ההסתברות לכשלון בכל ניסוי היא זהה).

דוגמאות:

  1. מספר ההצלחות בסדרה של 4 זריקות מטבע (הצלחה = עץ). המשתנה יכול לקבל 5 ערכים: 4,3,2,1,0.
  2. מספר ההצלחות בסדרה של 10 זריקות לסל (הצלחה = קליעה לסל) המשתנה יכול לקבל 11 ערכים: 2,1,0 … 10.
  3. מספר ההצלחות במיון תבנית של 30 ביצים (הצלחה = ביצה סוג א') המשתנה יכול לקבל 31 ערכים: 2,1,0 … 30.

משתנה מקרי בינומי הינו משתנה מקרי בדיד כי הוא מקבל רק ערכים שלמים (מ-0 עד מספר הניסויים).

 

פרידה ממשתנה מקרי בינומי ראשוני

בספרות לא קיים המונח משתנה מקרי בינומי ראשוני. המצאנו אותו רק לצורך ההסבר.
משתנה זה הינו למעשה משתנה מקרי בינומי שיש בו ניסוי אחד בלבד.

 

התפלגות של משתנה מקרי בינומי

ההתפלגות משקפת את ההסתברות לקבלת כל אחד מערכי המשתנה.
נתחיל בדוגמא פשוטה שבה המשתנה הוא: מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות (אין הבדל בין זריקת 2 המטבעות יחד  או ברצף). הצלחה מוגדרת כקבלת "עץ" בזריקה. קבלה של "פלי" מוגדרת ככשלון. המשתנה המקרי יכול לקבל 3 ערכים:

המקרה

הערך של המשתנה המקרי הבינומי
(מספר ההצלחות)

לא התקבל אף "עץ" (בשתי הזריקות התקבל "פלי")

0

באחת הזריקות התקבל "עץ" ובזריקה האחרת התקבל "פלי"

1

בשתי הזריקות התקבל "עץ"

2

 

ההסתברות להצלחה היא `1/2` , וההסתברות לכשלון היא `1/2` .

לפני שנסביר כיצד אנו מחשבים את ההסתברות לקבלת כל אחד מערכי המשתנה נציג את התוצאה הסופית של התפלגות המשתנה המקרי בשתי הדרכים המקובלות:

  1. טבלת ההתפלגות (טבלה 2.1).
  2. תרשים ההתפלגות (תרשים 2.2).

 

                                טבלה #2.1: טבלת ההתפלגות                                                   

ערכי המשתנה

(מספר ההצלחות)

ההסתברות

0

`1/4`

1

`1/2`

2

`1/4`

סה"כ

`1`

 

 

טכניקת חישוב ההתפלגות  (ההסבר מלווה בדוגמא של זריקת 2 מטבעות)

חישוב ההתפלגות נעשה ב- 3 מהלכים:

  1. הכנת טבלה שבה מפורטים כל הצרופים האפשריים בזריקת 2 מטבעות שנקרא לה בקיצור: טבלת האפשרויות.
  2. חישוב ההסתברות לקבלת כל אחת מהאפשרויות בטבלה.
  3. חישוב ההסתברות לקבל כל ערך במשתנה (על בסיס טבלת האפשרויות) והצגתה בטבלת ההתפלגות.

זהירות: אל תתבלבלו בין טבלת האפשריות לבין טבלת ההתפלגות. כל אפשרות היא למעשה צירוף אפשרי כלשהו של הצלחות וכשלונות (אחדים ואפסים).

 

‏א.   הכנת טבלת האפשרויות

טבלה 2.3 נקראת: טבלת האפשרויות. הטבלה מפרטת את כל הצירופים האפשריים שיכולים להתקבל בזריקת 2 מטבעות. (1 – מסמל הצלחה, 0 – מסמל כשלון)

טבלה #2.3: טבלת האפשרויות

האפשרויות

הצרופים האפשריים

סה"כ הצלחות בכל אפשרות

מטבע ראשונה

מטבע שנייה

(1)

(2)

(3)

(4)

אפשרות א'

1

1

2

אפשרות ב'

1

0

1

אפשרות ג'

0

1

1

אפשרות ד'

0

0

0

 

הסבר לטבלה 2.3

כללי: בזריקת 2 מטבעות ישנם רק 4 צירופים אפשריים.

אפשרות א'- קבלת הצלחה (1) במטבע הראשון והצלחה (1) במטבע השני.
אפשרות ב'- קבלת הצלחה (1) במטבע הראשון וכשלון (0) במטבע השני.
אפשרות ג'- קבלת כשלון (0) במטבע הראשון והצלחה (1) במטבע השני.
אפשרות ד'- קבלת כשלון (0) במטבע הראשון וכשלון (0) במטבע השני.

(נסביר בהמשך איך ניתן לחשב מראש את מספר הצירופים האפשריים).

 

טור 4  מְרַכֵז את מספר ההצלחות בכל אחת מ- 4 האפשרויות.
2 הצלחות מתקבלות רק באפשרות א'.
1 הצלחה  (הצלחה אחת) מתקבלת באפשרות ב' ובאפשרות ג'.
0 הצלחות מתקבלות רק באפשרות ד'.

 

ב. חישוב ההסתברות לקבלת כל אחת מ- 4 האפשרויות

 ההסתברות לקבלת אפשרות כלשהי, מושפעת מהסתברות לקבלת הצלחה ולקבלת כשלון בכל ניסוי. בדוגמא שלנו, ההסתברות היא `1/2` הן להצלחה והן לכישלון.

נוסיף לטבלה טור חמישי שבו תחושב ההסתברות לכל אפשרות.

טבלה #2.4

האפשרויות

הצרופים האפשריים

סה"כ הצלחות בכל אפשרות

הסתברות

של האפשרות

מטבע ראשונה

מטבע שנייה

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

אפשרות א'

1

1

2

`1/2*1/2=1/4`

אפשרות ב'

1

0

1

`1/2*1/2=1/4`

אפשרות ג'

0

1

1

`1/2*1/2=1/4`

אפשרות ד'

0

0

0

`1/2*1/2=1/4`

סה"כ

 

 

 

1

 

נסביר את חישוב ההסתברות לקבלת כל אחת מהאפשרויות כפי שמפורטות בטור 5.

מקרא:

1 – הצלחה
0 – כישלון

 

אפשרות א' (1,1) (1 בזריקה ראשונה, ו- 1 בזריקה שנייה).

ההסתברות לקבלת 1 במטבע הראשונה היא `1/2` .
ההסתברות לקבלת 1 במטבע השנייה היא `1/2` .
ההסתברות לקבלת האפשרות (1,1) היא `1/4`  (מכפלה של `1/2*1/2`).

 

אפשרות ב' (0,1)

ההסתברות לקבלת 1 במטבע הראשונה היא `1/2` .
ההסתברות לקבלת 0 במטבע השנייה היא `1/2` .
ההסתברות לקבלת האפשרות (0,1) היא `1/4`  (מכפלה של `1/2*1/2`).

 

אפשרות ג' (1,0)

ההסתברות לקבלת 0 במטבע הראשונה היא `1/2` .
ההסתברות לקבלת 1 במטבע השנייה היא `1/2` .
ההסתברות לקבלת האפשרות (1,0) היא  `1/4`  (מכפלה של `1/2*1/2`).

 

אפשרות ד' (0,0)

ההסתברות לקבלת 0 במטבע הראשונה היא `1/2`.
ההסתברות לקבלת 0 במטבע השנייה היא `1/2`.
ההסתברות לקבלת האפשרות (0,0) היא  `1/4`  (מכפלה של `1/2*1/2` ).

 

ג. ההסתברות לקבלת כל אחד מערכי המשתנה

כאמור ערכי המשתנה הם מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות.

הערכים האפשריים הם: 0, 1, 2.

כדי לקבל את ההסתברות של כל ערך, עלינו לספור כמה אפשרויות בטבלה 2.4 מניבות אותו ערך (הערך מוצג בטור 4 בטבלה).

ההסתברות לקבלת כל אחד מהערכים היא מכפלה של שני נתונים:

I.  הסתברות לקבלת כל אחת מהאפשרויות שמניבות את אותו ערך
`X`
II.  מספר האפשרויות שמניבות את אותו ערך
`=`
ההסתברות לקבלת כל אחד מהערכים

נמחיש זאת לגבי כל אחד מהערכים של ההתפלגות, כפי שמוצג בטבלה 2.

 

I. הצלחות – 0
אנו מקבלים 0 הצלחות רק באפשרות ד' (צרוף של 0,0).
הסיכוי של אפשרות ד' להתקבל היא `1/4` (טור 5).

II.  הצלחה – 1 (הצלחה אחת)
אנו מקבלים 1 הצלחה גם באפשרות ב' וגם באפשרות ג'.
הסיכוי של אפשרות ב' להתקבל הוא `1/4` .
הסיכוי של אפשרות ג' להתקבל הוא `1/4` .
לאור זאת הסיכוי לקבלת 1 הצלחה הוא `1/2`   `(1/4*2=)`  

 

III.  הצלחות – 2
אנו מקבלים 2 הצלחות רק באפשרות א' (צרוף של 1,1).
הסיכוי לקבלת אפשרות זו הוא `1/4` .

 

סה"כ ההסתברויות של ההתפלגות מסתכם ב -1.

מהניתוח שלעיל נובעת טבלת ההתפלגות:

טבלה #2.5

ערכי המשתנה

(מספר ההצלחות)

ההסתברות

0

`1/4`

1

`1/2`

2

`1/4`

סה"כ

`1`

המשותף לכל האפשרויות המניבות את אותו ערך (טבלה 2.3)

כל האפשרויות המתייחסות לאותו ערך (למשל הצלחה אחת), הן בעלות אותה הסתברות להופיע.

וההסבר: בכל אחת מאפשרויות אלו, יש אותו מספר הצלחות ואותו מספר כישלונות.

טבלה 2.3 אינה ממחישה זאת היות שבה לכל אחת מהאפשרויות יש אותה הסתברות להופיע, כתוצאה מכך שבכל זריקה ההסתברות להצלחה = להסתברות לכישלון. אך טבלאות 2.6 ו-2.13 בהמשך, ימחישו לכם זאת היטב.

סטטיסטיקה למתקדמים

תוכן עניינים

נושאים נוספים

Loading data ...
Coin Compare
View chart compare
View table compare
שינוי גודל פונט
ניגודיות