משתנה מקרי גיאומטרי

התפלגות גיאומטרית 

המחשה:
כדורסלן זורק לסל שוב ושוב עד שהוא מצליח לקלוע, ואז מפסיק.
נגדיר משתנה מקרי: מספר הפעמים שהכדורסלן זרק לסל (הפעמים שבהם החטיא + הפעם האחרונה שבה קלע).
זהו משתנה מקרי בדיד כי הוא מקבל רק ערכים שלמים (מ-1 ומעלה).

 

נתון, שההסתברות שלו לקלוע בזריקה בודדת היא 0.9. ומכאן, ההסתברות להחטאה היא 0.1.

  1. ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך 1 היא ההסתברות שהכדורסלן יקלע כבר בזריקה הראשונה (0 החטאות). ההסתברות לכך היא 0.9.
  2. ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך 2 מתקבלת ממכפלה של:     
    1. ההסתברות להחטאה אחת – 0.1.
         
    2. ההסתברות לקליעה – 0.9.
           
    והתוצאה:
    `(0.9*0.1=)0.09` .
  3. ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך 3 מתקבלת ממכפלה של:     
    1. ההסתברות להחטיא את 2 הזריקות הראשונות ברצף – `(0.1*0.1=)0.01` .     
    2. ההסתברות לקליעה אחת – 0.9.         
    והתוצאה:
    `(0.9*0.01=)0.009` .
  4. ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך k  מתקבלת ממכפלה של:     
    1. ההסתברות להחטיא את 1– k הזריקות הראשונות ברצף (שהיא `0.1^(k-1)` )
    2. ההסתברות שיקלע בזריקה ה-k-ית (שהיא 0.9).           
    והתוצאה: `0.1^(k-1)*0.9=0.0009`

משתנה שמתפלג באופן כזה נקרא משתנה מקרי גאומטרי.

באופן כללי: אם ההסתברות להצלחה בנסיון יחיד היא P (וההסתברות לכשלון P-1), אז ההסתברות לקבלת ערך k היא `(1-P)^(k-1)*P`

בדוגמה שלנו, k מסמל את מספר הזריקות לסל.

טבלת ההתפלגות בדוגמה זו היא:

טבלה #2.21

הערך (k)

1

2

3

4

5

ההסתברות (P)

0.9

0.09

0.009

0.0009

0.00009

 הטבלה היא אינסופית.

 

חישוב התוחלת של משתנה מקרי גאומטרי

את התוחלת ניתן לחשב בשני מהלכים:

מהלך 1- הכפלת כל ערך בהסתברות לקבלתו.

מהלך 2- סכום המכפלות הנ"ל.

אך היות והערכים מגיעים לאינסוף, לא נוכל לעולם להשלים את מהלך 1.

למזלנו, מתמטיקאים מצאו דרך קצרה ופשוטה לחשב את הסכום האינסופי הזה.
והיא:  1 חלקי ההסתברות להצליח בזריקה בודדת.

בדוגמה שלנו התוחלת היא: `1/0.9=1(1)/(9)` .

 

חישוב השונות של משתנה מקרי גאומטרי

גם עבור השונות נשתמש בנוסחה קצרה ופשוטה שהמתמטיקאים פיתחו והיא:
ההסתברות להחטיא (=1 פחות ההסתברות להצליח), חלקי ריבוע ההסתברות להצליח.

בדוגמה שלנו:

השונות היא: `[1/0.9^2=]0.123457`

סטית התקן (=שורש השונות) היא:  `sqrt(0.123457=)0.3514` .

סטטיסטיקה למתקדמים

תוכן עניינים

נושאים נוספים

Loading data ...
Coin Compare
View chart compare
View table compare
שינוי גודל פונט
ניגודיות