משתנה מקרי נורמלי

התפלגות נורמלית

התפלגות נורמלית 

משתנה מקרי נורמלי הוא משתנה מקרי רציף, שכן הוא יכול לקבל רצף של ערכים. הנושא נלמד בספר "סטטיסטיקה למתחילים". בספר זה נרענן את המונחים העיקריים.

1. שמות וסימולים

  1. להתפלגות נורמלית אנו קוראים גם פעמון (מכיוון שגרף ההתפלגות הוא בצורת פעמון).
  2. סימול ההתפלגות הנורמלית: (N(μ,σ 
    מקרא:  
    μ – תוחלת.
    σ – סטיית תקן (ס"ת).
    לדוגמה התפלגות בעלת תוחלת 10 וס"ת 3 תסומל: (N(10,3.

    התוחלת נמצאת בדיוק במרכז של הפעמון. ככל שסטיית התקן קטנה יותר הפעמון צר וגבוה.
  3. μ+Zσ – ערך הנמצא במרחק Z ס"ת מעל התוחלת.     
    μ+Zσ – ערך הנמצא במרחק Z ס"ת מתחת לתוחלת.

2. שטחים מציינים הסתברות

  1. כל שטח הפעמון מסתכם ב- 1 או 100%.
  2. שטח ההתפלגות הכלוא בתחום כלשהו מציין את ההסתברות לקבלת ערך כלשהו באותו תחום.

 

3. תכונות משותפות לכל הפעמונים

ערכים בפעמונים שונים שמרחקם בס"ת מהתוחלת שווה, גם השטחים הכלואים משמאלם שווים.  

דוגמאות:

בתרשים 2.32 מתוארות שתי התפלגויות נורמליות בעלות סטיית תקן שונה (בתרשים השמאלי סטיית התקן קטנה יותר) ב- 2 הפעמונים שבתרשים, מסתכם השטח הכלוא משמאל לערכים [μ+1σ] (שטחים α ו- β) ב- 0.8413 (84.13% משטח הפעמון). 

תרשים 2.32

בתרשים 2.33 מתוארות שתי התפלגויות נורמליות בעלות סטיית תקן שונה (בתרשים השמאלי סטיית התקן קטנה יותר). ב- 2 הפעמונים שבתרשים, מסתכם השטח הכלוא משמאל לערכים [μ-1σ] (שטחים 'α ו- 'β) ב- 0.3085 (30.85% משטח הפעמון).
תרשים 2.33

התפלגויות נורמליות בעלות סטיית תקן שונה

4. תכונות הנובעות מהסימטריות של הפעמון

השטח הכלוא בתחום שבין התוחלת לכמות כלשהי של ס"ת מעליה (מימין), שווה לשטח הכלוא בתחום שבין התוחלת לאותה כמות של ס"ת מתחתיה (משמאל).
במילים אחרות, השטח שבין μ ל-[μ+1σ] שווה לשטח בתחום שבין μ ל- [μ+1σ]

כל אחד מהשטחים מהווה 43.13% מההתפלגות.

 

5. נקודות ציון חשובות (בליווי איור 2.34)

40% משטח ההתפלגות כלוא בתחום שבין התוחלת ל- 1.28 ס"ת מכל צד שלה.
מכאן, שהשטח בתחום שבין [μ-1.28σ] לבין [μ+1.28σ] מהווה 80% משטח הפעמון.

45% בתחום שבין התוחלת ל- 1.64 ס"ת מכל צד.
מכאן, שהשטח בתחום שבין [μ-1.64σ] לבין 
[μ+1.64σ] מהווה 90% משטח הפעמון.

47.5% משטח ההתפלגות כלוא בתחום שבין התוחלת ל- 1.96 ס"ת מכל צד.
מכאן, שהשטח בתחום שבין [μ-1.96σ] לבין [μ+1.96σ] מהווה 95% משטח הפעמון.

איור 2.34

 משטח ההתפלגות הכלוא

6. פעמון סטנדרטי

פעמון סטנדרטי הוא פעמון שהפרמטרים שלו הם μ=0, σ=1. סימולו (N(0,1.
בפעמון סטנדרטי כל 1 יח' ערך על ציר ה- x שווה ל- 1 ס"ת. כלומר: [σ=1 יח'].
הערך 2 מרוחק 2 ס"ת מהתוחלת (מצד ימין) והערך 3- מרוחק 3 ס"ת מהתוחלת (מצד שמאל).
אם לדוגמה במדינה א' הטמפרטורה מתפלגת בצורת פעמון סטנדרטי (N(0,1 כפי שמוצג בתרשים 2.35 אזי 10 מרוחקת 1 ס"ת מהתוחלת ו-  מרוחקת 30 ס"ת מהתוחלת.
בפעמון סטנדרטי לא צריך לחשב את המרחק בס"ת של ערך כלשהו מהתוחלת (לתקנן), שכן הערך עצמו נוקב במרחק שלו בס"ת מהתוחלת.

 

תרשים 2.35 – התפלגות הטמפרטורה במדינה א'

התפלגות הטמפרטורה במדינה א' 

7. טבלת הפעמון הסטנדרטי

הטבלה נוקבת בשטח הכלוא משמאל לכל ערך בפעמון הסטנדרטי. כאמור כל ערך נוקב במרחק שלו מהתוחלת.

טבלה #2.36 : ההסתברויות לקבל ערכים קטנים מ-X בפעמון נורמלי סטנדרטי

X

הסתברות

(1)

(2)

3.0-

0.0013

2.9-

0.0018

2.8-

0.0026

2.7-

0.0035

2.6-

0.0047

2.5-

0.0062

2.4-

0.0082

2.3-

0.0107

2.2-

0.0139

2.1-

0.0179

2.0-

0.0228

1.9-

0.0287

1.8-

0.0359

1.7-

0.0446

1.6-

0.0548

1.5-

0.0668

1.4-

0.0808

1.3-

0.0968

1.2-

0.1151

1.1-

0.1357

1.0-

0.1587

0.9-

0.1841

0.8-

0.2119

0.7-

0.2420

0.6-

0.2743

0.5-

0.3085

0.4-

0.3446

0.3-

0.3821

0.2-

0.4207

0.1-

0.4602

0.0

0.5000

0.1

0.5398

0.2

0.5793

0.3

0.6179

0.4

0.6554

0.5

0.6915

0.6

0.7257

0.7

0.7580

0.8

0.7881

0.9

0.8159

1.0

0.8413

1.1

0.8643

1.2

0.8849

1.3

0.9032

1.4

0.9192

1.5

0.9332

1.6

0.9452

1.7

0.9554

1.8

0.9641

1.9

0.9713

2.0

0.9772

2.1

0.9821

2.2

0.9861

2.3

0.9893

2.4

0.9918

2.5

0.9938

2.6

0.9953

2.7

0.9965

2.8

0.9974

2.9

0.9972

3.0

0.9987

בנספח א' שבסוף הפרק מופיעה טבלה מורחבת הכוללת גם ערכים של X עם שני מקומות מימין לנקודה העשרונית, כאשר הספרה שבשורת הכותרת  העליונה הינה הספרה השניה מימין לנקודה העשרונית (לדוגמא, המספר 0.0018 אשר מופיע בשורה השנייה בעמודה השנייה מציין את השטח אשר נמצא משמאל לערך Z=-2.91) .

 

8. תִקְנוּן

תקנון היא הפעולה שבאמצעותה מחשבים בפעמון לא סטנדרטי את המרחק בס"ת של ערך כלשהו מהתוחלת. התקנון נעשה באמצעות הנוסחה: `[Z=(X-mu)/Sigma]` .
כאשר Z הוא הערך לאחר התקנון (נקרא ציון התקן), ו-X הוא הערך שאותו מתקננים.
דוגמה
בהתפלגות שבה μ=10 ו- σ=2 ציון התקן של הערך 14 הוא: `[14-10/2=]2` .
ציון התקן של הערך 2 הוא: `[(2-10)/2=](-4)` .
פרשנות
הערך 14 נמצא במרחק של 2 ס"ת מעל התוחלת.
הערך 2 נמצא במרחק של 4 ס"ת מתחת לתוחלת.

 

תרשים 2.37

תרשים 237

9. חישוב שטחים הכלואים משמאל לערך כלשהו בפעמון לא סטנדרטי

החישוב מתבצע ב- 2 שלבים:
  1. מחשבים את ציון התקן של הערך.
  2. מוצאים את השטח הכלוא משמאל לציון התקן בעזרת טבלת הפעמון הסטנדרטי.

 

10. חישוב שטחים הכלואים בתחום כלשהו

חישוב השטח הכלוא בתחום כלשהו נעשה באמצעות פעולת חיסור.
אנו מוצאים את השטח הכלוא עד לקצה הימני של התחום ומחסירים ממנו את השטח הכלוא עד תחילת התחום.
לדוגמה, נחשב את השטח שבין [μ+1σ] ל- [μ+2σ]:
השטח עד  0.9772 μ+2σ =
(מינוס)
השטח עד  0.8413 μ+1σ =
השטח ביניהם        = 0.1359

תרשים 2.38

תרשים 238

 

סטטיסטיקה למתקדמים

תוכן עניינים

נושאים נוספים

Loading data ...
Coin Compare
View chart compare
View table compare
שינוי גודל פונט
ניגודיות