בית » ספרים » תורת היצרן ב' » פרק 2 – פונקציות ייצור » היחס בין L ו- K בכל רמת תפוקה

היחס בין L ו- K בכל רמת תפוקה

היחס בין L ו- K בכל רמת תפוקה

בכל אחת מפונקציות הייצור קיים יחס קבוע בין L ו- K בכל רמת תפוקה.

נמצא את היחס הזה בכל אחת מפונקציות הייצור.

`L^(alpha-1)/L^alpha=1/L quadquad(K^beta)/(K^(beta-1))=K`

 

1. פונקציית קוב דגלאס `X=L^alpha*K^beta`


הסל הנבחר בכל רמת תפוקה מקיים את השיוויון הבא:  

`X_L/X_K=P_L/P_K`   `X_L` – הנגזרת לפי L = `MP_L`
`X_P` – הנגזרת לפי K = `MP_K`

כאשר נציב את הנגזרות ונצמצם נקבל: `(alphaL^(alpha-1)K^(beta))/(betaL^alphaK^(beta-1))=(alphaK)/(betaL)=P_L/P_K`  
נבודד את K ונקבל: `K=beta/alpha*P_L/P_K*L`
פרשנות: בכל רמת תפוקה נשמר היחס הנ"ל בין L ו- K.

 

2. פונקציית ייצור לינארית `x=alphaL+betaK`

ישנם 3 תרחישים:

  1. כאשר `P_L` נחשב זול:  0=K, נשתמש רק ב- L
  2. כאשר`P_L`  נחשב יקר: 0=L, נשתמש רק ב- K
  3. כאשר`P_L`  גבולי: היחס בין L ל-K לא קבוע.  L יכול לגדול מ- 0 ועד `x/alpha` , ו-K יקטן בהתאם.

 

3. פונקציית מינימום ׁ`(x=min(alphaL,betaK`
הסל הנבחר מקיים את השיוויון: `alphaL=betaK`
נבודד את K ונקבל: `K=alpha/betaL`

 

4. פונקצייה אדיטיבית `x=L^alpha+K^alpha`   
הסל הנבחר מקיים את השיוויון `X_L/X_K=P_L/P_K` 
נציב את הנגזרת ונקבל: `(alphaL^(alpha-1))/(alphaK^(alpha-1))=L^(alpha-1)/(K^(alpha-1))=(L/K)^(alpha-1)=P_L/P_K` 
את צד שמאל נוכל לכתוב גם בצורה אחרת:  `(K/L)^(1-alpha)=(L/K)^(alpha-1)` ונקבל – 

נעלה את 2 צידי המשוואה בחזקת `1/(1-alpha)` ונבודד את K.

נקבל: `K=(P_L/P_K)^(1/(1-alpha))*L`.

 

ריכוז התוצאות שהתקבלו בכל הפונקציות

את התוצאות שקיבלנו בכל הפונקציות ריכזנו בטבלה 1 שבה 3 טורים.

 

טבלה 1

סוג פונקציית הייצור

התנאי לייצור יעיל

קו ההתרחבות

(היחס בין L ל- K)

(1)

(2‚)

(3ƒ)

קוב דאגלס `x=L^alpha*K^beta` 

`alpha/beta*K/L=P_L/P_K` 

`K=P_L/P_K*beta/alpha*L`

פונקציה לינארית `x=alphaL+betaK`

כאשר `P_L`זול רק L
כאשר `P_L`יקר רק K

0 = K

0 = L

פונקציה מינימום `x=min(alphaL,betaK)` 

`alphaL=betaK` 

`K=alpha/beta*L`

פונקציה אדיטיבית `x=L^alpha+K^alpha`
`0ltalt1`

הסבר לטור 3 בטבלה 1 – קו ההתרחבות

קו ההתרחבות משקף את תוואי הסלים הנבחרים בעקבות גידול בתפוקה.

 

פונקציית קוב דאגלס (תרשים 7) – קו ההתרחבות בפונקציית קוב דאגלס 

תרשים 7 – קו ההתרחבות בפונקציית קוב דאגלס

התוואי הוא קו ישר המתחיל בראשית הצירים ועולה בשיפוע של `[beta/alpha*P_L/P_K]`

פונקציה לינארית (תרשים 8) – קו ההתרחבות בפונקציה לינארית

 תרשים 8 – קו ההתרחבות בפונקציה לינארית

  • כאשר `P_L`  נחשב זול, התוואי הוא ציר ה- L.
  • כאשר `P_L`  נחשב יקר, התוואי הוא ציר ה- K.

 

פונקציית מינימום (תרשים 9) – קו ההתרחבות בפונקציית מינימום

 תרשים 9 – קו ההתרחבות בפונקציית מינימום

הנתיב הוא קו ישר המתחיל בראשית הצירים ועולה בשיפוע של `alpha/beta`
` `

 

פונקציה אדיטיבית (תרשים 10) – קו ההתרחבות בפונקציה אדיטיבית

 תרשים 10 – קו ההתרחבות בפונקציה אדיטיבית

התוואי הוא קו ישר שמתחיל בראשית הצירים ועולה בשיפוע של `(P_L/P_K)^(1/(1-alpha))`

קו ההתרחבות בטווח הארוך ובטווח הקצר

התרחבות בטווח הארוך
בטווח הארוך הייצור יעיל שכן יש באפשרותנו לרכוש את הסל הזול ביותר (הסל הנבחר).
הסלים הנבחרים הם רצף הנקודות על קו ההתרחבות.

 

התרחבות בטווח הקצר
הטווח הקצר מוגדר כפרק הזמן שבו יש באפשרותנו להגדיל רק את כמות העובדים, אך לא את כמות המכונות. בטווח הקצר כמות המכונות נשארת קבועה.
לאור זאת, כאשר אנו מגדילים את התפוקה, כמות המכונות נשארת קבועה ואנו מוסיפים רק עובדים.
תרשים 11 נותן ביטוי לשינוי שחל בטווח הקצר.

תרשים 11

התרחבות בטווח הקצר 

במועד א' הייצור יעיל. אנו מייצרים כמות של X1 והסל הנבחר הוא  C1 (נקודת המפגש בין קו תקציב לעקומה שוות תפוקה).
במועד ב' הגדלנו את הייצור ל- X2 יח' והסל בטווח הקצר הוא H היות ואין באפשרותנו להגדיל את K.
הייצור בטווח הקצר אינו יעיל. בטווח הארוך, כאשר נוכל להגדיל את K, הסל הנבחר יהיה C2.

 

פרשנות

בטווח הקצר הייצור לא יעיל היות והתקציב הנדרש לרכישת סל H גדול מהתקציב הנדרש לרכישת סל C2 (סל H נמצא על קו תקציב שסכומו גדול מזה שעליו נמצא סל C2).

 

חישוב התפוקה כפונקציה של L בלבד

אם נציב בפונקציית הייצור במקום K את החלופה שלו בערכים של L כפי שמתקבל בקו ההתרחבות לטווח ארוך (טבלה 1), נקבל את x כפונקציה של L.

למשל, בפונקציית ייצור מסוג KD (קוב דאגלס) שצורתה: `x=L^alpha*K^beta`, קו ההתרחבות הוא:`K=beta/alpha*P_L/P_K*L`.

אם נציב בפונקציית הייצור את הביטוי`[beta/alpha*P_L/P_K*L]` במקום K נקבל: `x=L^alpha*(beta/alpha*P_L/P_K*L)^beta`.

x הוא פונקציה של L: `x=L^(alpha+beta)*(beta/alpha*P_L/P_K)^beta`

 

הצגת L כפונקציה של x

אם נבודד את L נקבל את  L ע"י העלאת כל חלקי המשוואה בחזקת `1/(alpha+beta)` כפונקציה של x:

`L=1/x^(a+b)*(beta/alpha*P_K/P_L)^(beta/(alpha+beta))`

באופן דומה באפשרותנו להציג את x כפונקציה של L בכל פונקציית ייצור.

פונקציה לינארית     

כאשר PL נחשב זול מתקיים K = 0 ואז `x=alphaL` .

כאשר PL נחשב יקר מתקיים L = 0 ואז לא נציג את x כפונקציה של L.

פונקציית מינימום    

`x=min(alphaL,betaa/betaL)=min(alphaL,alphaL)` ולכן נקבל `x=alphaL`

גם בפונקציות הייצור האלה נוכל לבודד את L ולקבל את L כפונקציה של x.

פונקציה לינארית

כאשר `P_L` נחשב זול נקבל `L=x/alpha`

פונקציית מינימום

גם כאן נקבל `L=x/alpha`

 

 

חישוב התפוקה כפונקציה של K בלבד

באותה טכניקה שבה הצגנו את L כפונקציה של x, ניתן להציג את K כפונקציה של x.

מתחילים בקו ההתרחבות ומציגים את L כפונקציה של K, ובפונקציית הייצור מציבים במקום L את החלופה שלו בערכים של K.

לדוגמא, נתייחס לפונקציית ייצור מסוג KD.

קו ההתרחבות הוא: `K=beta/alpha*P_L/P_K*L`

נבודד את L ונקבל: `L=alpha/beta*P_K/P_L*K`  (L הוא פונקציה של K).

נציב בפונקציית הייצור את הביטוי `[alpha/beta*P_K/P_L*K]` במקום L ונקבל: `X=(alpha/beta*P_K/P_L*K)^alpha*K^beta`

קיבלנו את x כפונקציה של K:    `X=K^(alpha+beta)*(alpha/beta*P_K/P_L*)^alpha`

 

הצגת K כפונקציה של x

נבודד את K ונקבל את K ע"י העלאת כל חלקי המשוואה בחזקת `1/(alpha+beta)` כפונקציה של X:

`K=x^(1/(alpha+beta))*(beta/alpha*P_L/P_K)^(alpha/(alpha+beta))`בפרק הבא נשתמש בהצגת K ו- L כפונקציה של X.

תורת היצרן ב'

תוכן עניינים

נושאים נוספים

Loading data ...
Coin Compare
View chart compare
View table compare
שינוי גודל פונט
ניגודיות