בית » ספרים » תורת היצרן ב' » פרק 5 – מונופול » מונופול המוכר לשני שווקים

מונופול המוכר לשני שווקים

בפרק זה נעסוק במונופול היכול למכור את תפוקתו לשני שווקים. המונופול לא חייב למכור בשני השווקים. ההחלטה היא על בסיס כלכלי. לכל שוק פונקציית ביקוש ייחודית.
נתייחס בהמשך ל-2 תרחישים, בליווי דוגמאות.

  1. המונופול יכול לקבוע מחיר שונה בכל שוק (מונופול מפלה).
  2. המונופול חייב לקבוע מחיר זהה בשני השווקים (מונופול לא מפלה).

 

מקרא

`Q_1`

הכמות שתימכר בשוק א'

`Q_2`

הכמות שתימכר בשוק ב'

`Q`

`Q_1 +Q_2`

`P_1`

המחיר שייקבע בשוק א'

`P_2`

המחיר שייקבע בשוק ב'

מונופול מפלה ( בליווי דוגמא 1)

דוגמא 1
נתוני הדוגמא:

  • פונקציית העלות: `TC_(Q)=Q^2+5`
  • פונקציית הביקוש בשוק א': `P_1=100-Q_1`
  • פונקציית הביקוש בשוק ב':  `P_2=80-Q_2`

 

פתרון
פונקציית הרווח היא:

`Pi=Q_1(100-Q_1)+Q_2(80-Q_2)-[(Q_1+Q_2)^2+5]`

קיבלנו פונקציה עם שני משתנים, Q 1 ו-Q2. כדי למצוא את המקסימום של הפונקציה יש לגזור את הפונקציה פעם לפי Q1 ופעם לפי Q2, ולהשוות את שתי הנגזרות ל- 0 (כי הפידיון השולי = ההוצאה השולית כשמגיעים למקסימום רווח).

לפני הגזירה נפשט את פונקציית הרווח ונקבל:

`Pi=[100Q_1-Q_1^2]+[80Q_2-Q_2^2]-[Q_1^2+2Q_1Q_2+Q_2^2+5]`

`Pi=100Q_1-2Q_1^2+80Q_2-2Q_2^2-2Q_1Q_2-5`

נגזור לפי `Q_1` ונשווה ל-0. התוצאה:  `100-4Q_1-2Q_2=0`
נגזור לפי `Q_2` ונשווה ל-0. התוצאה:  `80-4Q_2-2Q_1=0`

קיבלנו שתי משוואות עם שני נעלמים שהפתרון שלהן הוא:       

`Q_1=20` יח'

`Q_2=10` יח'

הכמות הכוללת שייצר המונופול תהיה 30 יח' `(=Q=20+10)`
המחירים שייקבעו בשני השווקים הם:

  1. `P_1=80` ש"ח  `[P_1=100-Q_1]`
  2. `P_2=70` ש"ח  `[P_2=80-Q_2]`

רווח המונופול: 1395 ש"ח `20*80+10*70-(30^2+5)=` 
(20*80=פדיון שוק א') ו-(10*70=פדיון שוק ב')

היות שהרווח חיובי, המונופול ייצר.

פרשנות

  1. כאשר המונופול מפלה ומתקבל כי הכמויות בשני השווקים חיוביות, הוא ימכור ב- 2 השווקים בהתאם לתוצאות שהתקבלו .
  2. אם באחד השווקים הכמות היא שלילית המונופול לא ימכור לאותו השוק.

נראה דוגמא:

דוגמא 2
נתוני הדוגמא:

  • פונקציית הייצור:  `TC_(Q)=Q^2+5`
  • פונקציית הביקוש בשוק א': `P_1=100-Q_1`
  • פונקציית הביקוש בשוק ב': `P_2=60-Q_2`

פתרון

פונקציית הרווח היא: `Pi=Q_1(100-Q_1)+Q_2(60-Q_2)-[30(Q_1+Q_2)+2(Q_1+Q_2)^2]`

לאחר שנפשט נקבל: `Pi=70Q_1-3Q_1^2+30Q_2-3Q_2^2-4Q_1Q_2`

נגזור לפי `Q_(1)`  ונשווה ל- 0. התוצאה:  `70-6Q_1-4Q_2=0`
נגזור לפי`Q_(2)`` `ונשווה ל- 0. התוצאה:  `30-6Q_2-4Q_1=0`

הפתרון של שתי המשוואות הוא:

  1. `Q_1=15`
  2. `Q_2=-5`

           
בשוק ב' קיבלנו כמות שלילית, פרוש הדבר שהמונופול לא ימכור לשוק זה, אלא לשוק א' בלבד.

למעשה שוק ב' לא רלוונטי למונופול והוא מתייחס רק לשוק א', ושיקוליו זהים למונופול שפועל בשוק אחד.
היקף הייצור יקבע בהתאם לכמות שבה MC משתווה ל-MR:

`[MR=MC]->([30-4Q_1]=[100-2Q_1])`

`TR=Q_1(100-Q_1)`
`darr` 
`TR=100Q_1-Q_1^2`
`darr` 

נגזרת הפדיון:

`MR=100-2Q_1`

התוצאה:

Q=11.67 יח' 

P=88.33 יח'

 

מונופול לא מפלה

אם על המונופול מוטלת מגבלה שהמחיר בשני השווקים צריך להיות זהה, הרווח לא יכול להיות גדול יותר מאשר המצב ללא המגבלה. נבחן את שיקולי המונופול באמצעות דוגמא 3 שנתוניה זהים לדוגמא 1, למעט האיסור על אפליה.

דוגמא 3
הקדמה

היות והמחיר אחיד בשני השווקים [`P_1` = `P_2`], נציב P בפונקציית הביקוש (במקום `P_1`  ו-`P_2` ).

נתוני הדוגמא:

  • פונקציית העלות: `TC_(Q)= Q^2+5`
  • פונקציית הביקוש בשוק א': `P_1=100-Q_1`
  • פונקציית הביקוש בשוק ב': `P_1=80-Q_2`

 

פתרון
הקדמה
עד כה נהגנו להציג את הפדיון באמצעות המשתנה Q. למשל, הפדיון בשוק א' הוצג כך:

`(TR_1=(100-Q_1`  (במקום P אנו מציבים: [100-Q1]).

כאשר המחיר אחיד, פשוט יותר להציג את הפדיון באמצעות המשתנה P.

הפדיון של שוק א' יוצג כך: `TR_1=P*(100-P)` (במקום Q1 אנו מציבים: `[100-P]` ).

הפדיון של שוק ב' יוצג כך: `TR_1=P*(80-P)` (במקום Q2 אנו מציבים: `[80-P]` ).

פונקציית הרווח:  

`Q->[100-P+80-P]`
`Pi=(100-P)P+(80-P)P-[(100-P+80-P)^2+5]`
`uarrQ_2=80-P` `uarr Q_1=(100-P) `

בפונקציית הרווח יש משתנה אחד בלבד, P. כדי למצוא את המקסימום לפונקציה כזאת יש לגזור את הפונקציה ולהשוות ל- 0.

לפני הגזירה נפשט את פונקציית הרווח ונקבל:

`Pi=100P-P^2+80P-P^2-(180-2P)^2-5=`

`180P-2P^2-180^2+720P-4P^2-5`

נגזור ונשווה ל- 0. התוצאה: `900-12P=0`ומכאן: `P=75`  ש"ח.
המחיר כאמור זהה בשני השווקים.

  • בשוק א' הכמות היא: 25 יח' `(Q_1=100-75=)`
  • בשוק ב' הכמות היא : 5  יח' `(Q_2=80-75=)`

כמות הייצור:  `30=(Q1+Q2)`

הרווח: 1345 ש"ח `[25*75+5*75-(30^2+5)=]`

 

האם כדאי למונופול לא מפלה למכור רק לשוק אחד?

נבחן 2 דוגמאות.
בכל דוגמא נשווה את הרווח המתקבל ממכירה ל- 2 שווקים, לרווח המתקבל ממכירה רק לשוק אחד שהוא השוק היותר עשיר.
השוק היותר עשיר הוא זה שעקומת הביקוש שלו מתחילה ממחיר יותר גבוה.

דוגמא 4 – מונופול שיכול להפלות

דוגמא 4 מתבססת על נתוני דוגמא 1 שהם:

  • פונקציית הייצור: `TC_(Q)=Q^2+5`
  • פונקציית הביקוש בשוק א':  `P_1=100-Q_1`
  • פונקציית הביקוש בשוק ב':  `P_2=100-Q_2`

השוק העשיר הוא שוק א' שהמחיר בו מתחיל מ- 100 ש"ח (לעומת 80 ש"ח בשוק ב').

חישוב הרווח ממכירה לשוק העשיר בלבד

המונופול ימכור עד לכמות שבה MC=MR, כלומר  `2Q=100-2Q`

והתוצאה:      
`Q=25`
`P=100-Q=75`
רווח המונופול: 1,245 ש"ח `[25*75-(25^2+5)=]`

בדוגמא 1 המונופול מוכר כשהוא מפלה בין 2 השווקים והרווחים מסתכמים ב- 1,395 ש"ח.
מסקנה: למונופול כדאי למכור בשני השווקים.

דוגמא 5– מונופול שאינו יכול להפלות

תנאי הדוגמא

  • פונקציית העלות: `TC=Q^2/2+100`
  • פונקציית הביקוש בשוק א': `Q_1=80-P`
  • פונקציית הביקוש בשוק ב': `Q_2=50-P`

 

פתרון

  1. פונקציית הרווח: `Pi=(80-P)P+(50-P)P-[((80-P)+(50-P))^2/(2)+100]` 
    נפשט ונקבל: `Pi=390P-4P^2-8550`
  2. נגזור ונשווה ל-0.
  3. התוצאה
    P=48.75 ש"ח 
    `Q_1=31.25` יח' `(50-P=)`
  4. נחשב את הרווח ממכירה לשוק העשיר (שוק א') בלבד;
    כמות הייצור: 26.67=Q1 יח'  `Q1=(80-2Q_1)`
    המחיר: 53.33=P ש"ח  `[80-Q_1]`
    הרווח: 966.67 ש"ח  `[53.33*26.67-((26.67^2)/2+100)=]`

מסקנה: הרווח שמתקבל משוק א' בלבד גדול מהרווח שמתקבל ב-2 השווקים, ולכן המונופול יעדיף למכור בשוק א' בלבד.

מונופול שיכול להפלות אך בוחר, משיקולים כלכליים, שלא להפלות

כאשר פונקציות הביקוש בשני השווקים הן לינאריות ומתחילות מאותה נקודה על הציר האנכי, וכמו כן  MC הוא סכום קבוע, לא כדאי למונופול להפלות. במקרה זה, המחיר שימקסם את רווחי המונופול בכל אחד מהשווקים בנפרד יהיה זהה.

בעזרת דוגמא 6 נמחיש שלמונופול כדאי לקבוע את אותו המחיר בשני השווקים, למרות שהיה יכול להפלות ולקבוע מחירים שונים בשני השווקים. 

דוגמא 6

נתוני הדוגמא

  • פונקציות העלות: `TC=10Q`
  • פונקציית הביקוש בשוק א': `P_1=60-Q_1`
  • פונקציית הביקוש בשוק ב': `P_2=60-2Q_2`

תרשים 26 מציג את נתוני הדוגמא.

תרשים 26
מונופול שיכול להפלות אך בוחר, משיקולים כלכליים, שלא להפלות

פתרון
פונקציית הרווח:  `Pi=Q_1(60-Q_1)+Q_2(60-2Q_2)-10(Q_1+Q_2)`

נפשט ונקבל: `Pi=50Q_1-Q_1^2+50Q_2-2Q_2^2`

נגזור לפי `Q_1` ונשווה ל-0. התוצאה: `50-2Q_1=0`

נגזור לפי `Q_2` ונשווה ל-0. התוצאה`50-4Q_2=0`

נפתור המשוואות ונקבל:     

`Q_1=25` יח'  
`Q_2=12.5` יח'
`P_1=35` ש"ח `(60-25=)`
`P_2=35` ש"ח `(60-2*12.5=)`

בשני השווקים המחיר זהה: 35 ש"ח

תורת היצרן ב'

תוכן עניינים

נושאים נוספים

Loading data ...
Coin Compare
View chart compare
View table compare
שינוי גודל פונט
ניגודיות