`]` סימול: `Sigma_((1,2)` `)` בקיצור: `Sigma_((1,2)` או `”COV”_((1,2)` `(` `[`
שונות משותפת יכולה להתייחס לכל שני נכסי השקעה (סחורות, מניות, אג”ח, וכיו”ב).
אנו נתמקד במניות: מניה `S_1` ומניה `S_2` .
נתייחס ל- 2 תרחישים שכיחים:
-
שפל כלכלי
-
שגשוג כלכלי
נמשיך את ההסבר באמצעות דוגמאות.
שונות משותפת חיובית
שונות משותפת שלילית
כאשר 2 מניות מגיבות בכיוונים מנוגדים לאותם תרחישים אנו אומרים שהשונות המשותפת שלהם שלילית.
דוגמה 2
שונות משותפת = 0
חישוב שונות משותפת
החישוב נעשה ב- 3 מהלכים שאותם נלווה בדוגמה שנתוניה מפורטים בטבלה 3.
טבלה #3 |
||||
המניות |
E (מחושב) |
`Sigma` (מחושב) |
תרחיש 1 הסתברות התרחיש – 20% התשואות |
תרחיש 2 הסתברות התרחיש – 80% התשואות |
(1) |
(2) |
(3) |
(4) |
(5 ) |
S5 |
0.128 |
0.024 |
0.08 |
0.14 |
S6 |
0.164 |
0.032 |
0.10 |
0.18 |
הסבר לטבלה:
- טור 1 – שמות המניות.
- טורים 2 ו-3 – תוחלת וסטיית תקן של המניות.
- טורים 4 ו- 5 – תשואת המניות בכל תרחיש. ההסתברות לתרחיש נקובה בכותרת.
חישוב תוחלת של כל מניה:
בתרחיש 1:
תשואת תרחיש | הסתברות התרחיש | תשואת תרחיש | הסתברות התרחיש | ||
`0.128` | `0.14]=` | `[0.8*` | `0.08]+` | `[0.2*` | `E_(S_5)=` |
בתרחיש 2:
תשואת תרחיש | הסתברות התרחיש | תשואת תרחיש | הסתברות התרחיש | ||
`0.164` | `0.18]=` | `[0.8*` | `0.10]+` | `[0.2*` | `E_(S_6)=` |
חישוב סטיית תקן של כל מניה:
`Sigma_(S_5=sqrt(0.000576)=0.024=(2.4%)`
` ``[0.000576=5.76*10^(-4)]`
סטיית התקן (σ) היא שורש השונות (Var)
`VAR=Sigma^2,sqrt(Var)=Sigma`
תוחלת תשואה |
תשואת |
הסתברות תרחיש 2 | תוחלת תשואה | תשואת תרחיש 1 |
הסתברות תרחיש 1 | ||
`=0.0010224` | `0.164)^2=` | `(0.18-` | `0.8*` | `0.164)^2+` | `(0.10-` | `0.2*` | `Var(S_6)=` |
`Sigma_(S_6=sqrt(0.0010224)=0.032=(3.2%)`
` ``[0.0010224=1.0224*10^(-3)]`
חישוב השונות המשותפת `Sigma_(5,6` :
הנוסחה הכללית לחישוב השונות של סל המכיל 2 מניות היא
`Var(B)=Sigma_(B)^2=W_1^2*Sigma_s_1^2+w_2^2*Sigmas_2^2+2*w_1*w_2*Sigma_(1,2`
את השונות של כל מניה מצאנו כבר ועתה נחשב את השונות המשותפת σ1,2 (בדוגמה שלנו σ5,6). לאחר מכן נוכל לחשב את (Var(B
טבלה #4
|
|||||
|
התוצאה |
מכפלת הפערים |
מכפלת הפערים בכל מניה |
הסתברות התרחישים |
|
מניה `S_6` |
מניה `S_5` |
||||
(1) |
(2) |
(3) |
(4) |
(5) |
(6) |
|
|
|
(`darr` E ) – (`darr` תשואה) |
(`darr` E ) – (`darr` תשואה) |
|
תרחיש 1- שפל |
`0.000614` |
`0.00307` |
`(0.1-0.164)=(-0.064)` |
`(0.08-0.128)=-(0.048)` |
0.2 |
|
|
|
(`darr` E ) – (`darr` תשואה) |
|
|
תרחיש 2- שגשוג |
`0.0001536` |
`0.000192` |
`(0.18-0.164)=0.016` |
`(0.14-0.128)=0.012` |
0.8 |
השונות המשותפת |
`0.000768=10^(-4)*7.68`
|
|
|
|
|
הסבר לטבלה 4
חישוב השונות המשותפת של סל בן 2 מניות `Sigma^2(B)=Var(B)`
השונות של סל מניות, המכיל 2 מניות, תלויה בשונות (או בסטיית התקן = שורש השונות) של כל מניה בנפרד וגם בשונות המשותפת של 2 המניות.
הנוסחה לחישוב השונות של סל בן 2 מניות, S1 ו-S2 :
`Var(B)=Sigma_(B)^2=W_1^2*Sigma_(S_1)^2+W_2^2*Sigma_(S_2)^2+2*W_1*W_2*Sigma_(S_1,S_2`
מקרא
`W_2` – משקל מניה S2 בסל.
דגש: השונות המשותפת `Sigma_(S1,S2` מתארת את מידת ההשתנות המשותפת של מניות 1 ו-2, כלומר, באיזו מידה שתי המניות מגיבות באופן דומה לתרחישים זהים.
שונות הסל (Var(B מתארת את התנודתיות הכוללת של הסל B (כיחידה אחת).
תרגיל
נתונות 2 המניות S5 ו- S6 מהדוגמה לחישוב שונות משותפת של 2 מניות.
נציג בטבלה 5 את נתוני המניות שחושבו בדוגמה.
טבלה #5
|
|||
המניות |
E |
`Sigma` |
σ (s5,s6) |
(1) |
(2) |
(3) |
(4) |
`S_5` |
0.128 |
0.024 |
|
S_6 |
0.164 |
0.032 |
|
|
|
|
`7.68*10^-4` |
מהי השונות ומהי סטיית התקן של סל שמכיל בתוכו 20% ממניה S5 ו- 80% ממניה S6?
(שים לב שסה”כ 100% = 80%+20% , כלומר 100% של הסל).
פתרון
שונות משותפת – פרשנות
מתוך התוצאה של השונות המשותפת אנו לא יכולים ללמוד על עצמת הקשר בין המניות.
לדוגמה: