דוגמאות לגזירת חזקה, מכפלה וסוגריים

דוגמה ב' – גזרה של חזקה

f(x,y) = x³·y²

גזירה לפי x

הפונקציה הופכת להיות: f(x,Y) = Y²·x³

והנגזרת: f_x(x,Y) = Y²·3x²

מיקום הכופל במכפלה

מקובל להציב את הכופל לפני המשתנה.

פרשנות

תוואי רצועות הרוחב

• תוואי רצועת הרוחב 1 מיוצגת באמצעות הפונקציה: f(x)=x³.
• תוואי רצועת הרוחב 2 מיוצגת באמצעות הפונקציה: f(x)=4x³.

וכך הלאה.

שיפוע רצועות הרוחב – מאפיינים

1. בכל אחת מרצועות הרוחב, השיפוע משתנה מנקודה לנקודה לאורך הרצועה. במילים אחרות השיפוע שונה בכל ערך של x.
2. בערך x=3, השיפוע שונה מרצועה לרצועה.

השיפוע ברצועת רוחב 1 הוא 27 [ f_x(3,1)=1²·3·3²=27 ].

השיפוע ברצועת רוחב 2 הוא 108 [ f_x(3,2)=2²·3·3²=108 ].

גזירה לפי y

הפונקציה הופכת להיות: f(X,y) = X³·y²

והנגזרת: f_y(X,y) = X³·2y

דוגמה ג' – גזרה של מכפלה

f(x,y) = (x+y)·(2x+3y)

ישנן 2 דרכים לגזור את הפונקציה:

• דרך א' – כמכפלה של פונקציות משנה.
• דרך ב' – פתיחת הסוגריים וקבלת סכום של סידרת פונקציות משנה.

דרך א'

כזכור טכניקת הגזירה של מכפלת פונקציות היא: [ נגזרת איבר II ]·[ איבר I ]+[ איבר II ]·[ נגזרת איבר I ]

גזירה לפי x

הפונקציה הופכת להיות: f(x,Y) = (x+Y)·(2x+3Y)

והנגזרת: f_x(x,Y) = 4x+5Y

פרשנות

צורת הרצועות – רצועות הרוחב שונות זו מזו בצורתן.

שיפוע הרצועות – I. השיפוע משתנה לאורך כל אחת מהרצועות. II. באותו ערך של x השיפוע שונה מרצועה לרצועה.

גזירה לפי y

הפונקציה הופכת להיות: f(X,y) = (X+y)·(2X+3y)

והנגזרת: f_y(X,y) = 5X+6y

דרך ב'

נפתח סוגריים ונקבל: f(x,y)=2x²+5xy+3y²

גזירה לפי x

הפונקציה הופכת להיות: f(x,Y)=2x²+5xY+3Y²

והנגזרת: f_x(x,Y)=4x+5Y

גזירה לפי y

הפונקציה הופכת להיות: f(X,y)=2X²+5Xy+3y²

והנגזרת: f_y(X,y)=5X+6y

דוגמה ד' – גזרה של סוגריים וחזקה

f(x,y)=(2x³y+3x²y²)⁵

גזירה לפי x

הפונקציה הופכת להיות: f(x,Y)=(2x³Y+3x²Y²)⁵

והנגזרת: f_x(x,Y)=5(2x³Y+3x²Y²)⁴·(6x²Y+6xY²)

גזירה לפי y

הפונקציה הופכת להיות: f(X,y)=(2X³y+3X²y²)⁵

והנגזרת: f_y(X,y)=5(2X³y+3X²y²)⁴·(2X³+3X²2y)

דוגמה ה'

f(x,y)=6y-5xy+x²y-3x

גזירה לפי x

הפונקציה הופכת להיות: f(x,Y)=6Y-5xY+x²Y-3x

והנגזרת: f_x(x,Y)=-5Y+2xY-3

גזירה לפי y

הפונקציה הופכת להיות: f(X,y)=6y-5Xy+X²y-3X

והנגזרת: f_y(X,y)=6-5X+X²

ללמוד מתוצאות הגזירה על הפונקציה המקורית

הגזירה נותנת ביטוי לשיפוע בכל נקודה ונקודה על רצועה כלשהי, שהיא הפונקציה המקורית. נְתוּני השיפועים מאפשרים לנו לשרטט את מבנה הרצועה עצמה.

ריכוז הנגזרות הראשונות של כל רצועות הרוחב יוצר מעטפת חדשה

כאשר גוזרים רצועת רוחב כלשהי (גזירה לפי x) מקבלים רצועת רוחב חדשה שמהווה את פונקציית הנגזרת. אם נגזור את כל רצועות הרוחב האפשריות של הפונקציה, נקבל תחתן רצועות רוחב חדשות. אם נצרף אותן יחד, נקבל שוב מעטפת תלת מימדית חדשה, שהיא עצמה פונקציה בעלת 2 משתנים. פונקציה זו מכונה נגזרת ראשונה לפי x וסימולה f_x(x,y).

ריכוז הנגזרות הראשונות של כל רצועות האורך יוצר מעטפת חדשה

כפי שהסברנו לגבי גזירה לפי x, גם בגזירת רצועות האורך לפי y נקבל פונקציה תלת מימדית חדשה בעלת 2 משתנים שמכונה: נגזרת ראשונה לפי y וסימולה f_y(x,y).

התנסחות לגבי למיקום מעטפת הפונקציה, ביחס למרחב הצירים (=רצפה)

עד כה הנחנו, לצורך הפשטות, שמעטפת הפונקציה נמצאת מעל הרצפה ובהסברים השתמשנו בניסוח כדוגמת: "המעטפת נמצאת מעל הרצפה" או "הרצועה שמעל קו הרוחב..". כאשר המעטפת או חלקה נמצאים על גבי הרצפה או מתחתיה או כאשר אנו לא יודעים את מיקומה, רצוי להשתמש בניסוח כדוגמת: "המעטפת שמעל, מתחת או על גבי הרצפה" או "הרצועה שמתייחסת לקו הרוחב..".