המאפיינים המעניינים בקשר שבין תוואי הפונקציה לתוואי הנגזרות

השלכות מתוצאות הנגזרת על תוואי הפונקציה

1. כשהנגזרת חיובית אנו יודעים שהפונקציה עולה, אך לא מעבר לכך. אנו לא יודעים את צורתה המדוייקת. היא יכולה להיות קעורה, קמורה או לינארית.
2. כשהנגזרת שלילית אנו יודעים שהפונקציה יורדת, אך לא מעבר לכך. אנו לא יודעים את צורתה המדוייקת.
3. כשהנגזרת שווה ל-0 אנו יודעים שהפונקציה עשויה להיות בנקודת קיצון. כדי לוודא אם זו נקודת מקסימום או מינימום עלינו למצוא את תוואי הנגזרת משני צידיה.

ההשלכות של תזוזת הפונקציה במישור הצירים, על תוואי הנגזרת

• תזוזה אנכית של הפונקציה (תרשימים 3.7 ו- 3.8): תזוזה אנכית של הפונקציה ממיקומה במועד א', הן כלפי מעלה והן כלפי מטה, לא משנה את התוואי הסכמטי של הנגזרת.
• תזוזה אופקית של הפונקציה (תרשימים 3.9 ו- 3.10): תזוזה אופקית של הפונקציה, ימינה או שמאלה, גורמת במקביל לתזוזה באותו כיוון של התוואי הסכמטי של הנגזרת.

הקשר בין תוואי הפונקציה לתוואי הנגזרת השנייה

• כאשר הפונקציה קמורה, הנגזרת השנייה חיובית (והתוואי שלה מעל לציר ה-x).
• כאשר הפונקציה קעורה, הנגזרת השנייה שלילית (התוואי שלה מתחת לציר ה-x).
• בנקודת הפיתול, הנגזרת השנייה שווה ל-0.
• שיפוע הפונקציה, חיובי או שלילי, לא משפיע על מיקום תוואי הנגזרת השנייה ביחס לציר ה-x.

דוגמה

תרשים 3.13 מציג את תוואי הנגזרת השנייה של פונקציה כלשהי. התוואי מחולק ל-4 קטעים (בין פיתול לפיתול מפרידה נקודה). על גבי כל קטע ציינו בסוגריים את מאפייני הפונקציה המקורית באותם קטעים וביניהם.