חקירת הגבולות בפונקציה רציפה ובפונקציה מפוצלת

חקירת גבולות בפונקציה רציפה ובפונקציה מפוצלת

• בפונקציה רציפה אנו מתעניינים רק בגבול אחד: הגבול שלפני x=infty והגבול שלפני x=(infty-). אין משמעות לגבול שאחרי הנקודה, היא כבר מעבר ל-infty.
• בפונקציה מפוצלת אנו מתעניינים ב-2 הגבולות: זה שלפני נקודת הפיצול וזה שאחריה.

הטכניקה של חישוב הגבול

1. אנו מציבים בפונקציה את ערך ה- x שבו הפונקציה לא מוגדרת. תתקבל תוצאה כלשהי שתכלול לפחות אחד מהביטויים: infty, (-infty), 0. לדוגמה תתקבלנה התוצאות הבאות: [a/0^+], [0/-infty], [infty*infty] (ה-a מייצג מספר חיובי).
2. המתמטיקאים פיתחו שורת הנחיות לחישוב הגבול או הגבולות בהתאם לתוצאות שתתקבלנה.
3. הנחיות המתמטיקאים מרוכזות ב- 3 טבלאות להלן, הממוספרות 1, 2, ו- 3:

בטבלאות הבאות a מייצג מספר חיובי כלשהו.

הסבר לטבלאות 1 ו- 2

כל טבלה מכילה 3 שורות ו- 2 טורים. טור 1, תוצאת הפונקציה. טור 2, הגבול.

הגבול של כל התוצאות המפורטות בשורה 1, הוא infty.

הגבול של כל התוצאות המפורטות בשורה 2, הוא (infty-).

הגבול של כל התוצאות המפורטות בשורה 3, הוא 0.

הסבר לטבלה 3

הטבלה מכילה שורה בת 5 תוצאות.

כאשר התוצאה המתקבלת היא זו המפורטת בטבלה 3, אין אפשרות מיידית לדעת מהו הגבול.

אנו נדרשים למהלך מקדים שבו אנו משנים את פני הפונקציה, ורק לאחריו מציבים את הערך של x ומחשבים את הגבולות.

דוגמאות המתייחסות לטבלה 3

דוגמה 1 – lim_{x to infty}(x^2-x)

אם נציב x=infty, נקבל: lim_{x to infty}(x^2-x)=[infty-infty]

אחת מהתוצאות בטבלה 3

שינוי פני הפונקציה

אם לפני ההצבה של x=infty, נפרק את הפונקציה לגורמים, נוכל לפתור בקלות:

lim_{x to infty}(x^2-x)=lim_{x to infty}x(x-1)=[infty*infty]=infty

דוגמה 2 – lim_{x to infty}(x^2-1)/(x+1)

אם נציב x=infty, נקבל: lim_{x to infty}(x^2-1)/(x+1)=[infty/infty]

שינוי פני הפונקציה

אם לפני ההצבה נחלק מונה ומכנה ב- x, נוכל לפתור בקלות:

lim_{x to infty}(x^2-1)/(x+1)=lim_{x to infty}(x-1/x)/(1+1/x)=[(infty-0)/(1+0)]=[infty/1]=infty

ניתן לפתור גם ע"י פירוק לגורמים וצמצום:

lim_{x to infty}(x^2-1)/(x+1)=lim_{x to infty}((x+1)(x-1))/(x+1)=lim_{x to infty}(x-1)=infty

דוגמה 3 – lim_{x to infty}(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)

אם נציב x=infty, נקבל: lim_{x to infty}(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)=[infty/infty]

שינוי פני הפונקציה

אם לפני ההצבה נצמצם ב-x^3, נוכל לפתור בקלות:

lim_{x to infty}(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)=lim_{x to infty}(5+2/x-1/x^3)/(x+5/x^3)=[(5+0-0)/(infty+0)]=[5/infty]=0

דוגמה 4 – lim_{x to 1}(x^2+2x-3)/(2x^2-2) (פונקציה מפוצלת)

אם נציב x=1, נקבל: lim_{x to 1}(x^2+2x-3)/(2x^2-2)=[0/0]

שינוי פני הפונקציה

אם לפני ההצבה נפרק לגורמים ונצמצם, נוכל לפתור בקלות:

lim_{x to 1}(x^2+2x-3)/(2x^2-2)=lim_{x to 1}(x-1)(x+3)/2(x+1)(x-1)=lim_{x to 1}(x+3)/2(x+1)=4/4=1