כלל לופיטל

המתמטיקאי הדגול לופיטל

• לופיטל מצא כלל פשוט לחישוב הגבול של פונקציה המורכבת ממנה של 2 פונקציות: ( f(x)=frac{g(x)}{h(x)} ).
• כאשר לאחר ההצבה של ערך ה- ( x ) בנקודת הפיצול, התוצאה המתקבלת היא ( frac{infty}{infty} ) או ( frac{0}{0} ), אפשר לגזור את המונה בנפרד ואת המכנה בנפרד ולהציב את ערך ה- ( x ) בנקודת הפיצול.
• אם לאחר פעולת הגזירה התוצאה המתקבלת היא עדיין ( frac{infty}{infty} ) או ( frac{0}{0} ), ממשיכים לגזור שוב ושוב עד שמתקבלת תוצאה רצויה.

סימול כלל לופיטל

• כאשר מפעילים את כלל לופיטל, מקובל לכתוב את האות L מתחת לסימן השיוויון שלפני המילה Lim.
• ( lim_{x to c} frac{g(x)}{h(x)} = lim_{x to c} frac{g'(x)}{h'(x)} )

דוגמה 5

• ( lim_{x to infty} frac{5x^3 + 2x^2 – 1}{x^4 + 5} )
• כאשר מציבים ( x = infty ) מקבלים ( frac{infty}{infty} ). לאור זאת אפשר להשתמש בכלל לופיטל.
• ההצגה המתמטית במלואה תיראה כך:
  • ( lim_{x to infty} frac{30}{24x} = frac{30}{infty} = 0 )
  • ( lim_{x to infty} frac{30x + 4}{12x^2} = frac{infty}{infty} )
  • ( lim_{x to infty} frac{15x^2 + 4x}{4x^3} = frac{infty}{infty} )
  • ( lim_{x to infty} frac{5x^3 + 2x^2 – 1}{x^4 + 5} = frac{infty}{infty} )
• כלומר: ( lim_{x to infty} frac{5x^3 + 2x^2 – 1}{x^4 + 5} = 0 )

דוגמה 6

• ( lim_{x to 1} frac{x^2 + 2x – 3}{2x^2 – 2} = frac{0}{0} = lim_{x to 1} frac{2x + 2}{4x} = frac{4}{4} = 1 )
• קיבלנו את אותה התוצאה שהתקבלה בדוגמה 4.

המגבלות בכלל לופיטל

• כאשר התוצאה המתקבלת בסוף היא ( infty ) או ( -infty ), הגבול שגוי ועלינו לחשב את הגבול בדרכים אחרות, כגון שינוי פני הפונקציה.

הסבר מדוע 5 התוצאות המתקבלות בטבלה 3 אינן מוגדרות

1. ( infty – infty ) אינו בהכרח 0. כאשר אנו מדברים על אינסוף, מתכוונים למידה שגודלה הוא מעבר ליכולת הדמיון שלנו.
2. ( frac{infty}{infty} ) אינו בהכרח 1. ה-( infty ) שבמונה יכול להיות פי ( infty ) מה-( infty ) שבמכנה.
3. ( frac{0}{0} ) אינו בהכרח 1. ה-0 במונה וה-0 במכנה מייצגים גבולות של פונקציות משנה.
4. ( infty^0 ) אינו בהכרח 1. ה-0 וה-( infty ) הם גבול של פונקציות משנה.
5. ( 1^infty ) אינו בהכרח 1. ה-1 הוא גבול ויכול להיות טיפה גדול או טיפה קטן מ-1.