המאפיינים של ההתפלגות הנורמלית

נלווה את ההסבר בדוגמא המתייחסת לגובה של ילדים בגיל 10.

1. משתנה רציף – התפלגות נורמלית היא התפלגות של משתנה רציף, שיכול לקבל כל ערך מספרי: מספרים שלמים (101 ס"מ), מספרים עם שברים (101.25), מספרים חיוביים, מספרים שליליים. (בדוגמא שלנו אין מספרים שליליים).
2. הגובה משקף הסתברות – גובה העקומה שמעל כל מספר משקף את הסיכוי לקבל את אותו מספר ביחס למספרים אחרים. ככל שמתרחקים מהאמצע (הן שמאלה והן ימינה) הסיכוי הזה הולך וקטן.
3. האמצע הוא התוחלת – תוצאת האמצע היא הממוצע, והסיכוי לקבל אותה הוא הגבוה ביותר מבין כל המספרים האחרים. ההסבר לכך שתוצאת האמצע היא הממוצע נובעת מהעובדה שהעקום סימטרי סביב האמצע. כלומר, מול כל תוצאה מימין לאמצע התורמת להגדלת הממוצע ישנה תוצאה במרחק שווה משמאל, בעלת אותו סיכוי להתקבל, שאמורה לתרום להקטנת הממוצע באותו סכום.
4. סימטריות – ההתפלגות הנורמלית היא סימטרית סביב הממוצע. המשמעות היא שהסיכוי לקבל תוצאה שגדולה ב-10 מהממוצע שווה לסיכוי לקבל תוצאה שקטנה ב-10 מהממוצע.
5. הסתברויות ידועות מראש – תזכרו ששטחי העקום הנורמלי מייצגים הסתברויות, ובהמשך, רק לנוחיות ההסבר, נתייחס לשטחים. להסבר מתלווים תרשימים A, B ו-C.

ההסתברויות (=שטחי העקום) משני צידי הממוצע מתפלגות כדלקמן:

1. השטח שמעל הקטע שאורכו סטיית תקן אחת (δ1) מהממוצע, גם זה שמימין לממוצע וגם זה שמשמאלו, מסתכם בכ-34% משטח העקום הנורמלי. לאור זאת, השטח שמעל הקטע באורך 2 סטיות תקן הנמצאות משני צידי הממוצע מסתכם בכ-68% משטח העקום הנורמלי.
2. השטח שמעל הקטע שאורכו 2 סטיות תקן (δ2) מהממוצע, ימינה או שמאלה מהממוצע, מסתכם בכ-47.5% משטח העקום הנורמלי. לאור זאת, השטח שמעל הקטע באורך 4 סטיות תקן מהממוצע, שתיים משמאל ושתיים מימינו, מסתכם ב-95% משטח העקום הנורמלי.
3. השטח שמעל הקטע שאורכו 3 סטיות תקן (δ3) מהממוצע ימינה או שמאלה מהממוצע, מסתכם בכ-49.85% משטח העקום הנורמלי. לאור זאת, השטח שמעל הקטע באורך 6 סטיות תקן מהממוצע, 3 משמאלו ו-3 מימינו מסתכם בכ-99.7%. רק 0.3% משטח העקום הנורמלי אינו נמצא בתחום של 3 סטיות תקן מכל צד של הממוצע! סכום זניח ביותר.

סימון מרחקים על ציר ה-X-ים

הממוצע מסומן באות היוונית μ (מוּ). סטיית התקן מסומנת באות היוונית δ (סיגמה).

• נקודה המרוחקת סטיית תקן אחת ימינה מהממוצע מסומנת – δ1 + μ
• נקודה המרוחקת סטיית תקן אחת שמאלה מהממוצע מסומנת – δ1 – μ
• המרחק בין 2 הנקודות הנ"ל מסומן – δ1 ± μ

ובאופן כללי

• נקודה המרוחקת X סטיית תקן ימינה מהממוצע מסומנת – Xδ + μ
• נקודה המרוחקת X סטיית תקן שמאלה מהממוצע מסומנת – Xδ – μ
• המרחק בין שתי הנקודות הנ"ל מסומן – Xδ ± μ

משמעות השטחים

כאמור השטחים מייצגים הסתברויות. ובדוגמא שלנו ההסתברות למצוא ילד שגובהו בתחום שבין δ ± μ היא 68%.

או במילים אחרות:

מכל 1000 ילדים שנפגוש ברחוב הגובה של 680 מהם (68%) יהיה בתחום שבין 1δ± μ.

וכך:

מכל 1000 ילדים שנפגוש ברחוב הגובה של 950 מהם (95%) יהיה בתחום שבין 2δ ± μ והגובה של 997 ילדים (99.7%) יהיו בתחום שבין δ3 ± μ.

רק 3 ילדים מכל 1000 יהיו מחוץ לתחום של 3δ ± μ.