סטית תקן – מדד לפיזור

### התפלגות איננה מדד מספק

התוחלת איננה מדד מספק כדי לתאר התפלגות. יתכן כי לשתי התפלגויות בעלות אופי שונה לגמרי תהיה בדיוק אותה תוחלת.

#### דוגמא

נתבונן בשתי ההתפלגויות הבאות:

**התפלגות א':**

– ערך: 2, הסתברות: 0.30
– ערך: 3, הסתברות: 0.25
– ערך: 5, הסתברות: 0.25
– ערך: 7, הסתברות: 0.20
– סה"כ: 1.00

**התפלגות ב':**

– ערך: 0, הסתברות: 0.25
– ערך: 1, הסתברות: 0.25
– ערך: 7, הסתברות: 0.25
– ערך: 8, הסתברות: 0.25
– סה"כ: 1.00

הערה: ההתפלגויות הנ"ל הן אינן תוצאות של שום ניסוי מציאותי מוכר, אבל נוכל להניח כי קיים ניסוי כזה.

#### חישוב התוחלת

– התפלגות א': `4=7*0.2+5*0.25+3*0.25+2*0.3`
– התפלגות ב': `4=8*0.25+7*0.25+1*0.25+0*0.25`

התוחלת של שתי ההתפלגויות היא זהה, 4.

#### האם שתי ההתפלגויות זהות?

קל לראות כי התפלגות ב' מפוזרת יותר סביב התוחלת מאשר התפלגות א'. לפיכך נשתמש במדד לפיזור.

#### חישוב סטיית התקן

**התפלגות א':**

– ערך: 2, הסתברות: 0.30, סטיה: `(-2)^2=4`
– ערך: 3, הסתברות: 0.25, סטיה: `(-1)^2=1`
– ערך: 5, הסתברות: 0.25, סטיה: `1^2=1`
– ערך: 7, הסתברות: 0.20, סטיה: `3^2=9`

תוחלת הסטיה בריבוע: `3.5=9*0.2+1*0.25+1*0.25+4*0.3`

סטית התקן: `1.87=sqrt(3.5)`

**התפלגות ב':**

– ערך: 0, הסתברות: 0.25, סטיה: `(-4)^2=16`
– ערך: 1, הסתברות: 0.25, סטיה: `(-3)^2=9`
– ערך: 7, הסתברות: 0.25, סטיה: `3^2=9`
– ערך: 8, הסתברות: 0.25, סטיה: `4^2=16`

תוחלת הסטיה בריבוע: `12.5=16*0.25+9*0.25+9*0.25+16*0.25`

סטית התקן: `3.54=sqrt(12.5)`

כפי שציפינו, סטית התקן של התפלגות ב' גדולה יותר מסטית התקן של התפלגות א'. התפלגות ב' מפוזרת יותר מהתפלגות א'.