בכל אחת מפונקציות הייצור קיים יחס קבוע בין L ו- K בכל רמת תפוקה.
- נמצא את היחס הזה בכל אחת מפונקציות הייצור.
- `L^(alpha-1)/L^alpha=1/L` ו- `(K^beta)/(K^(beta-1))=K`
1. פונקציית קוב דגלאס
- `X=L^alpha*K^beta`
- הסל הנבחר בכל רמת תפוקה מקיים את השיוויון: `X_L/X_K=P_L/P_K`
- כאשר נציב את הנגזרות ונצמצם נקבל: `(alphaK)/(betaL)=P_L/P_K`
- נבודד את K ונקבל: `K=beta/alpha*P_L/P_K*L`
- פרשנות: בכל רמת תפוקה נשמר היחס הנ"ל בין L ו- K.
2. פונקציית ייצור לינארית
- `x=alphaL+betaK`
- ישנם 3 תרחישים:
- כאשר `P_L` נחשב זול: 0=K, נשתמש רק ב- L
- כאשר `P_L` נחשב יקר: 0=L, נשתמש רק ב- K
- כאשר `P_L` גבולי: היחס בין L ל-K לא קבוע. L יכול לגדול מ- 0 ועד `x/alpha`, ו-K יקטן בהתאם.
3. פונקציית מינימום
- `x=min(alphaL,betaK)`
- הסל הנבחר מקיים את השיוויון: `alphaL=betaK`
- נבודד את K ונקבל: `K=alpha/betaL`
4. פונקצייה אדיטיבית
- `x=L^alpha+K^alpha`
- הסל הנבחר מקיים את השיוויון `X_L/X_K=P_L/P_K`
- נציב את הנגזרת ונקבל: `(L/K)^(alpha-1)=P_L/P_K`
- נעלה את 2 צידי המשוואה בחזקת `1/(1-alpha)` ונבודד את K.
- נקבל: `K=(P_L/P_K)^(1/(1-alpha))*L`
ריכוז התוצאות שהתקבלו בכל הפונקציות
את התוצאות שקיבלנו בכל הפונקציות ריכזנו בטבלה 1 שבה 3 טורים.
סוג פונקציית הייצור | התנאי לייצור יעיל | קו ההתרחבות (היחס בין L ל- K) |
---|---|---|
קוב דאגלס `x=L^alpha*K^beta` | `alpha/beta*K/L=P_L/P_K` | `K=P_L/P_K*beta/alpha*L` |
פונקציה לינארית `x=alphaL+betaK` | כאשר `P_L` זול רק L כאשר `P_L` יקר רק K |
0 = K 0 = L |
פונקציה מינימום `x=min(alphaL,betaK)` | `alphaL=betaK` | `K=alpha/beta*L` |
פונקציה אדיטיבית `x=L^alpha+K^alpha` | `(K/L)^(1-alpha)=P_L/P_K` | `K=(P_L/P_K)^(1/(1-alpha))*L` |
קו ההתרחבות בטווח הארוך ובטווח הקצר
בטווח הארוך הייצור יעיל שכן יש באפשרותנו לרכוש את הסל הזול ביותר (הסל הנבחר). הסלים הנבחרים הם רצף הנקודות על קו ההתרחבות.
התרחבות בטווח הקצר
הטווח הקצר מוגדר כפרק הזמן שבו יש באפשרותנו להגדיל רק את כמות העובדים, אך לא את כמות המכונות. בטווח הקצר כמות המכונות נשארת קבועה. לאור זאת, כאשר אנו מגדילים את התפוקה, כמות המכונות נשארת קבועה ואנו מוסיפים רק עובדים.
חישוב התפוקה כפונקציה של L בלבד
אם נציב בפונקציית הייצור במקום K את החלופה שלו בערכים של L כפי שמתקבל בקו ההתרחבות לטווח ארוך (טבלה 1), נקבל את x כפונקציה של L.
- למשל, בפונקציית ייצור מסוג KD (קוב דאגלס) שצורתה: `x=L^alpha*K^beta`, קו ההתרחבות הוא: `K=beta/alpha*P_L/P_K*L`.
- אם נציב בפונקציית הייצור את הביטוי `[beta/alpha*P_L/P_K*L]` במקום K נקבל: `x=L^alpha*(beta/alpha*P_L/P_K*L)^beta`.
- x הוא פונקציה של L: `x=L^(alpha+beta)*(beta/alpha*P_L/P_K)^beta`
הצגת L כפונקציה של x
אם נבודד את L נקבל את L ע"י העלאת כל חלקי המשוואה בחזקת `1/(alpha+beta)` כפונקציה של x:
- `L=1/x^(a+b)*(beta/alpha*P_K/P_L)^(beta/(alpha+beta))`
חישוב התפוקה כפונקציה של K בלבד
באותה טכניקה שבה הצגנו את L כפונקציה של x, ניתן להציג את K כפונקציה של x.
- מתחילים בקו ההתרחבות ומציגים את L כפונקציה של K, ובפונקציית הייצור מציבים במקום L את החלופה שלו בערכים של K.
- לדוגמא, נתייחס לפונקציית ייצור מסוג KD.
- קו ההתרחבות הוא: `K=beta/alpha*P_L/P_K*L`
- נבודד את L ונקבל: `L=alpha/beta*P_K/P_L*K` (L הוא פונקציה של K).
- נציב בפונקציית הייצור את הביטוי `[alpha/beta*P_K/P_L*K]` במקום L ונקבל: `X=(alpha/beta*P_K/P_L*K)^alpha*K^beta`
- קיבלנו את x כפונקציה של K: `X=K^(alpha+beta)*(alpha/beta*P_K/P_L*)^alpha`
הצגת K כפונקציה של x
נבודד את K ונקבל את K ע"י העלאת כל חלקי המשוואה בחזקת `1/(alpha+beta)` כפונקציה של X:
- `K=x^(1/(alpha+beta))*(beta/alpha*P_L/P_K)^(alpha/(alpha+beta))`