פונקציית תועלת מסוג מינימום

הקדמה

פונקציית תועלת מינימום מתייחסת לסל המכיל 2 מוצרים משלימים לחלוטין, עבור צרכן כלשהו.

לדוגמה, 2 המוצרים בסל הם:

1. נעליים (ללא שרוכים)
2. שרוכים

הצרכן יפיק תועלת 0 אם הסל יכיל רק שרוכים ו- 0 זוגות נעליים או רק זוגות נעליים ו- 0 שרוכים. כדי שהצרכן יפיק תועלת מהסל הוא צריך להכיל מינימום זוג נעליים אחד ו- 2 שרוכים (שרוך לכל נעל).

אם נוסיף לסל המכיל זוג נעליים ו- 2 שרוכים, עוד שרוכים, ללא תוספת נעליים, או עוד נעליים ללא תוספת שרוכים, הצרכן לא יפיק מהסל המורחב תועלת נוספת.

סימולים

לזוגות נעליים נקרא מוצר x ולשרוכים מוצר y.

גרעינים

להרכב המינימלי של סל מוצרים שמניב תועלת נקרא: גרעין. לדוגמה:

• מ- 1 זוג נעליים ו- 2 שרוכים ניתן להפיק 1 גרעין.
• מ- 2 זוגות נעליים ו- 4 שרוכים ניתן להפיק 2 גרעינים.
• מ- 3 זוגות נעליים ו- 6 שרוכים ניתן להפיק 3 גרעינים.
• מ- 3 זוגות נעליים ו- 10 שרוכים ניתן להפיק גם רק 3 גרעינים.

רמת התועלת שמניב גרעין

אנו מניחים שכל גרעין מניב 1 יחידת תועלת (10 גרעינים מניבים 10 יח' תועלת).

דוגמה נוספת

משה אוכל רק פשטידות שעשויות מ- 2 ביצים (שלמות) ו- 3 עגבניות (שלמות).

הכוונה היא ש- 1 עגבניה ו- 2 ביצים לא מאפשרות לייצר 1/3 פשטידה. נסמל ביצים ב- x ועגבניות ב- y.

כל פשטידה מהווה גרעין. כל גרעין מכיל 2 ביצים ו- 3 עגבניות ומניב 1 יח' תועלת. אם בסל ימצאו 23 ביצים ו- 16 עגבניות אזי הוא יכיל רק 5 גרעינים ושארית של 13 ביצים ו- 1 עגבנייה. הסל מניב 5 יח' תועלת. השארית לא מניבה כל תועלת. את מספר הגרעינים קיבלנו בדרך הבאה: את כמות הביצים חילקנו ב- 2 ואת כמות העגבניות ב- 3 והסתכלנו על השלם שהתקבל, ללא השארית.

התוצאה הנמוכה מבין השתיים נוקבת במספר הגרעינים בסל.

סימול הפונקציה ומשמעותה

את פונקציית המינימום מסמלים כך: U(x,y)=min(αx,βy)

• x – מציין את מספר היחידות ממוצר x בסל.
• y – מציין את מספר היחידות ממוצר y בסל.

המשמעות של α ו- β

α מציינת כמה יחידות תועלת (גרעינים) יכולה לספק 1 יחידה ממוצר x.

β מציינת כמה יחידות תועלת (גרעינים) יכולה לספק 1 יחידה ממוצר y.

בדר"כ 1 יחידה ממוצר x יכולה לספק פחות מ-1 יחידת תועלת (=פחות מגרעין אחד) וכך גם לגבי מוצר y.

ניעזר בדוגמת הפשטידה המיוצרת מ- 2 ביצים (מוצר x) ו- 3 עגבניות (מוצר y).

α מציינת כמה יחידות תועלת יכולה לספק 1 ביצה, והתוצאה: ½ יחידה. כלומר α=½.

β מציינת כמה יחידות תועלת יכולה לספק 1 עגבנייה, והתוצאה: ⅓ יחידה. כלומר β=⅓.

המכפלה x·α מציינת: כמה יחידות תועלת יכולות לספק x ביצים.

המכפלה y·β מציינת: כמה יחידות תועלת יכולות לספק y עגבניות.

אם לצרכן סל שהרכבו (10,6) [x=10,y=6]

אזי:

• 10 ביצים יכולות לספק כ- 5 יח' תועלת.
• 6 עגבניות יכולות לספק כ- 2 יח' תועלת.

מהרכב סל זה ניתן להפיק רק 2 יח' תועלת. קיים בסל עודף של 6 ביצים שלא מניבות כל תועלת.

הסימול min(αx,βy) בא לציין שכמות יחידות התועלת שניתן להפיק מסל שהרכבו (x,y) נקבעת על פי התוצאה המינימלית שמתקבלת מ- 2 המכפלות בסוגריים.

בדוגמה שלנו:

• αx=1/2*10=5
• βy=1/3*6=2

המכפלה המינימלית היא 2 יח' תועלת.

במילים אחרות, הסל מניב רק 2 יח' תועלת.

סלים אופטימלים

רק סלים שמכילים גרעינים ללא שארית נחשבים עבורנו סלים אופטימלים, שכן המוצרים בשארית עולים כסף, אך אינם תורמים לתועלת.

התנאי לסל אופטימלי

כאשר בהרכב הסל אין שאריות מתקיים השיוויון: αx=βy כך שכל אחד מהמוצרים בסל יכול לספק אותה כמות של יחידות תועלת.

בדוגמת הפשטידות, בסל המכיל (20,30) [x=20,y=30] מתקיים [20·½=30·⅓].

הכמות מכל מוצר בסל מספיקה כדי להניב 10 יח' תועלת ולפיכך הסל יניב 10 יח' תועלת.

היחס בין x ל- y בסלים האופטימלים

כאשר αx=βy, אזי y=α/βx – קיבלנו משוואה של קו ישר שנסמלו L.

קו L עולה מראשית הצירים בשיפוע של α/β. בנתוני הדוגמא: (1/2:1/3=)3/2

תרשים 4 מציג את שיפוע קו L.

פרשנות לקו L

כל נקודה בתרשים 4 מייצגת הרכב של סל. הסלים האופטימליים נמצאים רק על קו L.

הצגה גרפית של סלים לא אופטימלים

כל סל בתרשים 5, שאינו על קו L, מכיל מוצרים שאינם תורמים מאומה לתועלת הצרכן.

לדוגמה:

1. סל 'a מכיל 2 ביצים ו- 7.5 עגבניות. אך הוא מניב אותה תועלת כמו סל a המכיל 2 ביצים ו- 3 עגבניות. כלומר סל 'a מכיל שארית בת 4.5 עגבניות שאינן תורמות מאומה לתועלת הסל (ברור שהצרכן לא ירכוש אותן).
2. סל 'b מכיל 10 ביצים ו- 9 עגבניות, אך הוא מניב אותה תועלת כמו סל b המכיל 6 ביצים ו- 9 עגבניות. כלומר הסל מכיל שארית בת 4 ביצים שאינן תורמות מאומה לתועלת הסל (ברור שהצרכן לא ירכוש אותן).

באופן כללי, כל הסלים שאינם על קו L מכילים יחידות של מוצרים שאינן תורמות לתועלת.

שיפוע הרצועה מעל הסלים האופטימיליים

כאשר מניחים שכל גרעין בסל מניב אותה רמת תועלת, הרצועה תעלה בקו ישר מעל לקו L.

תוואי עקומת האדישות (תרשים 6)

עקומה בצורת זווית שיורדת משמאל לימין.

כל הסלים הנמצאים על אותה עקומת אדישות (על אותה הזווית) נותנים את אותה התועלת. רק הסלים שנמצאים גם על קו L הם סלים אופטימלים, שכן עלותם מינימלית.

מציאת הסל הנבחר

ערכי הסל הנבחר מקיימים 2 תנאי שוויון:

1. I=xPx+yPy הסל ממוקם על קו התקציב
2. y=α/βx הסל ממוקם על קו L

מפתרון 2 תנאי השיוויון מתקבלות התוצאות של x ו- y בצורת משוואה.

משוואה 1 y=(βI)/(βPx+αPy) (= פונקציית הביקוש ל- x)

משוואה 2 y=(αI)/(βPx+αPy) (= פונקציית הביקוש ל- y).

ל-2 המשואות אותו מכנה והבדל קל במונה.

תוואי עקומת הביקוש בפונקציית מינימום (תרשים 6)

תוואי עקומת הביקוש המתקבל מפונקציית הביקוש הוא קמור שיורד משמאל לימין

x=(βI)/(βPx+αPy)