שינויים בצורת רצועות האורך והרוחב של הפונקציה

צורת רצועות הרוחב

צורת רצועות הרוחב יכולה להשתנות מרצועה לרצועה וכך גם רצועות האורך.

דוגמה 1

נניח שהפונקציה יוצרת מעטפת של חצי כדור עליון. רצועות הרוחב תלכנה ותגדלנה ככל שנתקדם מקצה הכדור למרכזו ותשובנה לקטון ככל שנתרחק מהמרכז, וכך גם רצועות האורך (כמו במבט מלמעלה בתרשים 5.16).

המחשת רצועות רוחב של חצי כדור

המחשת גודלן וצורתן של 7 רצועות רוחב מוצגת בתרשים 5.16.

• מבט מלמעלה
• מבט מלפנים (מכיוון ציר x)

במבט מלמעלה הרצועות נראות כקווים ישרים המתלכדים עם קווי הרוחב (במבט מלמעלה לא רואים את צורת הקשת).

במבט מלפנים רואים בבירור את הקשתות שהולכות וגדלות.

המחשת רצועות אורך של חצי כדור

המחשת גודלן וצורתן של 7 רצועות אורך מוצגת בתרשים 5.17.

דוגמה 2

נניח שהפונקציה יוצרת מעטפת בצורת חציו העליון של צינור, שמונח במקביל לציר ה y, כפי שמוצג בתרשים 5.18.

כאן רצועות הרוחב שוות בגודלן, וכך גם רצועות האורך, כפי שנראה בתרשימים 5.19 ו- 5.20.

שיפוע רצועות הרוחב מעל אותו קו אורך (למשל קו אורך 3)

במתמטיקה מקובל לנסח את המשפט בכותרת, בצורה הבאה: "שיפוע רצועות הרוחב מעל אותו ערך של x" (למשל x = 3).

כאשר רצועות הרוחב שונות אחת מהשנייה, קרוב לוודאי שהשיפוע שלהן מעל אותו ערך של x (=קו אורך כלשהו) יהיה שונה מרצועה לרצועה, כפי שניתן לראות בתרשים 5.21 שבו מוצגות 4 רצועות רוחב של כדור.

השיפוע שלהן מעל הערך x=3 שונה מרצועה לרצועה וכך גם ביחס לכל ערך אחר של x, מלבד x=4 שבו השיפוע בכל הרצועות שווה אפס (תרשים 5.22)

כאשר רצועות הרוחב זהות אחת לשנייה, כמו בדוגמת הגליל, השיפוע שלהן באותו ערך של x יהיה זהה, כפי שמוצג בתרשים שלהלן.

שיפוע רצועות האורך מעל אותו ערך של y (למשל y=4)

כאשר רצועות האורך שונות אחת מהשנייה, קרוב לוודאי שגם השיפוע שלהן מעל אותו ערך של y (=קו רוחב כלשהו) יהיה שונה מרצועה לרצועה. ואילו כאשר הרצועות זהות אחת לשנייה, גם השיפוע שלהן זהה מעל אותו ערך של y, בדיוק כפי שראינו ברצועות הרוחב.