הוכחת חוקי הגזירה

nauutv 1

הקדמה

אמנם הקדמנו וטענו שהוכחת חוקי הגזירה די מיותרת לכלכלנים, אך עם זאת מצאנו לנכון להמחיש את דרך החשיבה המתמטית בהקשר של חוקי הגזירה.

כדוגמה נתייחס לפונקציה  `f(x)=x^2` .

 

חישוב שיפוע הפונקציה בערך x כלשהו

נרצה לחשב את השיפוע בנקודה B.

הנקודה היא `(X_B , X^2_B)`. הנקודה A קרובה ל-B וערכיה הם `(X_A , X^2_A)`. 

ההסבר מלווה בתרשים בהמשך.

 

סימולים

הערך `X_A` הוא הערך הנושק ל- `X_B` מימין או משמאל.

הנקודה A היא תוצאת הפונקציה בערך  `X_A` . כלומר  `X^2_A` .

הנקודה B היא תוצאת הפונקציה בערך . כלומר `X^2_B` .

`Deltay` מוגדר כ- `[f(X_A),f(X_B)]`  . כלומר  `[X^2_A,X^2_B]` .

`Deltax` מוגדר כ-`[X_A-X_B]` .

השבר `(Deltay)/(Deltax)` כאשר `X_A=>X_B`  מייצג את שיפוע הפונקציה בנקודה B

(במילים: כאשר `X_A`  שואף ל-`X_B`  ונקודה A מתלכדת עם נקודה B).

נציב במקום `Deltay` , את הביטוי `[X^2_A-X^2_B]`  ובמקום `Deltax` את הביטוי  `[X_A-X_B]`   ונקבל את משוואה 1.

משוואה 1:  `[(X^2_A-X^2_B)/(X_A-X_B)]=(Deltay)/(Deltax)`

נתייחס לאיבר בסוגריים במשוואה 1: כאשר `X_A=>X_B` `X_A` מתלכד עם `X_B`  והנקודה A מתלכדת עם B.

אם בעקבות ההתלכדות נציב `X_B`  במקום `X_A` , נקבל 0 במונה ו-0 במכנה, ותוצאת השבר היא 0 `[0/0=]` , שמשמעותה: השיפוע בכל נקודה על העקום הוא 0. אנו כמובן יודעים שזה לא נכון.

 

התחכום

המתמטיקאים מפרקים את המונה ל- 2 מכפלות:

 `(X_A-X_B)(X_A+X_B)=[X^2_A-X^2_B]`  ומתקבלת משוואה 2.

משוואה 2:    `((X_A-X_B)(X_A+X_B))/(X_A-X_B)=(Deltay)/(Deltax)`

אם נציב עכשיו `X_B`  במקום `X_A`  נקבל `2X_B` .

יוצא אפוא שכאשר  `f(x)=x^2`

הנגזרת היא:    `f'(x)=2x`

 

תחכומים דומים משמשים בהוכחת שאר חוקי הגזירה.

 

math_book_banner

מתמטיקה א' – לכלכלנים

תוכן עניינים