mba_books3_new

מאורעות משלימים

מאורעות משלימים

מאורע א' מהווה מאורע משלים למאורע ב' אם הוא כולל את כל התוצאות האפשריות שלא נכללו במאורע ב'.

לדוגמא : (מתייחסת להטלת קוביות)
מאורע א' – קבלת התוצאה 6
מאורע ב' – קבלת אחת מהתוצאות 1,2,3,4,5.
שני המאורעות הנ"ל הם מאורעות משלימים כי כל התוצאות האפשריות שלא מופיעות במאורע א', הן בדיוק האפשרויות המופיעות במאורע ב', ולהיפך. לכן, כאשר מאורע ב' הוא מאורע משלים למאורע א' אזי באופן אוטומטי מאורע א' הוא מאורע משלים למאורע ב'.
אם נקבץ את התוצאות המגדירות את מאורע א' (6) ואת התוצאות המגדירות את מאורע ב' (1,2,3,4,5) לקבוצה אחת נקבל את כל מרחב המדגם (1,2,3,4,5,6). לכן, ההסתברות שיתרחש אחד מהמאורעות המשלימים היא תמיד 1 (או באחוזים: 100%).
כל תוצאה שנקבל חייבת לגרום למאורע כלשהו מתוך המאורעות המשלימים.

 

דוגמאות נוספות למאורעות משלימים

דוגמא 1

הניסוי: הטלת קוביה
מאורע א': התקבל מספר זוגי
מאורע ב': התקבל מספר אי – זוגי
 
האם המאורעות הנ"ל הם מאורעות משלימים?
התשובה היא כן.
וההסבר: התוצאות האפשריות במאורע א' הן 2,4,6.
כעת נשאל את עצמנו מהן כל התוצאות האפשריות שלא נכללות במאורע א'? ונשיב: 1,3,5.
אבל תוצאות אלו הן בדיוק התוצאות המוגדרות ע"י מאורע ב'. לכן המאורעות משלימים.

דוגמא 2

הניסוי: הטלת קוביה
מאורע א': התקבל מספר זוגי
מאורע ב': התקבל מספר שקטן מ – 4
האם המאורעות הנ"ל הם מאורעות משלימים?
התשובה היא לא.
וההסבר: התוצאות האפשריות במאורע א' הן 2,4,6.
התוצאות האפשריות במאורע ב' הן 1,2,3.
מאורע ב' לא כולל את כל התוצאות האפשריות שלא נכללו במאורע א', ואפילו יש בו תוצאה אחת שנמצאת גם במאורע א' (התוצאה 2).

זהו כלל חשוב: אם שני מאורעות משלימים לא יתכן שיהיו תוצאות שיופיעו בשני המאורעות.

 

שימוש במאורעות משלימים כדי לחשב הסתברות

אם מאורע א' ומאורע ב' הם משלימים אז ההסתברות של מאורע א' ועוד ההסתברות של מאורע ב' שווה בדיוק 1 (100%). כיצד נוכל להשתמש בעובדה זו?

הנה מקרה שידגים לנו זאת:

נזכר בניסוי של הטלת שתי קוביות בו זמנית. כבר ראינו את מרחב המדגם של ניסוי זה, וכן ראינו שגודל מרחב המדגם הזה הוא 36.
נגדיר מאורע: התקבלו שני מספרים שונים זה מזה.
אם נלך בדרך הרגילה, כפי שלמדנו, נציג בצורה ויזואלית את המאורע ונמצא את גודלו.
הצגת המאורע בצורה ויזואלית תראה כך:

 

המלבנים הלבנים כוללים את התוצאות שבהם המיספרים שווים או במילים אחרות התוצאות שאינן נכללות במאורע.
גודל המאורע הוא 30 (כי יש 30 צמדים של קוביות שמראות מספרים שונים).
מכאן נוכל לחשב את ההסתברות של המאורע והיא גודל המאורע (30) חלקי גודל מרחב המדגם (36).
לכן ההסתברות תהיה `5/6 = 30/36`

דרך זו היא דרך ארוכה, כיוון שכתיבת המאורע לוקחת זמן רב.

נראה דרך אחרת:

תחילה נשים לב כי למאורע שעליו אנו מדברים כאן (התקבלו מספרים שונים) יש מאורע משלים והוא "התקבלו מספרים זהים". אם נתבונן בתרשים של המאורע שלנו לעיל נוכל לראות שהוא בעצם כל מרחב המדגם של הטלת שתי קוביות, למעט האלכסון (משמאל לימין) שמכיל את המקרים שבהם המספרים זהים.

בדוגמא קודמת, כבר חישבנו את ההסתברות לקבל מספרים זהים והיא היתה `1/6` . המאורע שלנו, שבו מתקבלים מספרים שונים, הוא מאורע משלים למאורע, שבו מתקבלים מספרים זהים. לכן ההסתברות של המאורע שלנו (מתקבלים מספרים שונים) היא  `5/6=1/6-1` .

סטטיסטיקה למתחילים

תוכן עניינים