משמעות ההסתברות שמתלווה לכל ערך של המשתנה

חישוב מספר צירופים

אם נזרוק 2 מטבעות הרבה מאוד פעמים, למשל מיליון פעמים (1,000,000 פעמים)

אזי, סביר שהערכים של המשתנה המקרי יתפלגו כדלקמן:
בכ- `1/4` מהזריקות יהיו 0 הצלחות.   (כ-250,000 פעמים)
בכ- `1/2` מהזריקות יהיו 1 הצלחות.   (כ-500,000 פעמים)
בכ- `1/4` מהזריקות יהיו 2 הצלחות.   (כ-250,000 פעמים)

 

אילו, באופן תאורטי, היתה לנו אפשרות לזרוק את המטבעות אינסוף פעמים אז:
בדיוק ב- `1/4` מהזריקות יהיו 0 הצלחות.
בדיוק ב- `1/2` מהזריקות יהיו 1 הצלחות.
בדיוק ב- `1/4` מהזריקות יהיו 2 הצלחות.

טבלת ההתפלגות מתייחסת למקרה התאורטי של אוכלוסיה אינסופית.

 

חישוב מספר הצירופים האפשריים בסדרת ניסויים כלשהי

את מספר הצירופים האפשריים ניתן לחשב עפ"י הנוסחא הבאה:

דוגמאות:

  1. בסבב של 3 זריקות לסל, מספר האפשרויות הוא 8 `(3^2=)` .
  2. בסבב בן 10 זריקות לסל, מספר האפשרויות הוא 1,024  `(10^2=)` .
  3. בזריקת 2 קוביות, מספר האפשרויות הוא 36  `(6^2=)` .
  4. בזריקת 4 קוביות, מספר האפשרויות הוא 1,296  `(6^4=)` .

 

דוגמא עם מטבעות לא הוגנים (מזויפים)

נניח עכשיו ששתי המטבעות מזויפים וההסתברות לקבלת הצלחה בכל זריקה היא 0.8 (80%)
וההסתברות לכישלון היא 0.2 (20%).

 

הכנת טבלת האפשרויות וחישוב ההסתברויות (טבלה 2.6)

טבלת אפשרויות – טורים 1-4
חישוב ההסתברויות – טור 5

טבלה #2.6

האפשרויות

הצרופים האפשריים

סה"כ הצלחות בכל אפשרות

הסתברות

של האפשרות

מטבע ראשונה

מטבע שנייה

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

אפשרות א'

1

1

2

`0.64 (=0.8*0.8)`

אפשרות ב'

1

0

1

`0.16(=0.2*0.8)`

אפשרות ג'

0

1

1

`0.16(=0.8*0.2)`

אפשרות ד'

0

0

0

`0.04(=0.2*0.2)`

סה"כ

 

 

 

  1.00

 

הצגת ההתפלגות בטבלה ובתרשים:

                            טבלה #2.7 : טבלת ההתפלגות                                       

ערך

הסתברות

0

0.04 (4%)

1

0.32 (32%)

2

0.64 (64%)

סה"כ

1.00 (100%)

 תרשים 2.8

הסבר לטבלה 2.7 ותרשים 2.8

ההתפלגות משקפת את חישוב ההסתברויות בטבלה 2.6 טור 5.

  • ההסתברות ל- 0 הצלחות מתקבלת מאפשרות ד'.
  • ההסתברות ל- 1 הצלחה מתקבלת מאפשרויות ב ו- ג'. ` (0.32 = 2*0.16 )`
  • ההסתברות ל- 2 הצלחות מתקבלת מאפשרות א'.

חישוב התוחלת וסטיית התקן (בזריקת 2 מטבעות הוגנים)  

חישוב התוחלת

את החישוב נערוך במסגרת טבלה 2.9 המשמשת כטבלת עזר. טבלה 2.9 מתבססת על טבלה 2.5.

טבלה #2.9

ערך המשתנה
(מס' ההצלחות באפשרות)

ההסתברות

התרומה לתוחלת

ž‚

(1)

(2)‚

(3)ƒ

2

0.25

`(2*0.25)=0.50`

1

0.5

`(1*0.5)=0.5`

0

0.25

`(0*0.25)=0.00`

 

1.00

1.00  (התוחלת)

 

חישוב סטיית התקן

את סטיית התקן ניתן לחשב באמצעות חישוב השונות, שאותה נחשב במסגרת טבלה 2.10 המשמשת כטבלת עזר.

טבלה #2.10

הערך

התוחלת

הפער מהתוחלת

-‚

הפער בריבוע

הסתברות

האפשרות

התרומה לשונות

„ž…(5)*(4)

(1)

‚(2)

(3)ƒ

„(4)

…(5)

†(6)

2

1

1

1

0.25

`0.25 (1*0.25=)`

1

1

0

0

0.5

`0.00 (0*0.5=)`

0

1

1-

1

0.25

`0.25 (1*0.25=)`

 

 

 

 

1.00

0.50   (השונות)

התוחלת היא הממוצע של ההצלחות בזריקות המטבעות בהיתחשב בהסתברויותיהן.

סטיית התקן היא השורש של השונות: `0.707 =sqrt(0.5`


חישוב התוחלת וסטיית התקן (בזריקת 2 מטבעות מזוייפים)

חישוב התוחלת

את החישוב נערוך במסגרת טבלה 2.11 המשמשת כטבלת עזר. טבלה 2.11 מתבססת על טבלה 2.7.

טבלה #2.11

ערך המשתנה
(מס' ההצלחות באפשרות)

ההסתברות

התרומה לתוחלת

ž‚(2)*(1)

(1)

(2)‚

ƒ(3)

2

0.64

`(2*0.64=) 1.28`

1

0.32

`(1*0.32=)0.32`

0

0.04

`(0*0.04=)0.00`

 

1.00

1.60   (התוחלת)

 

חישוב סטיית התקן

את החישוב נערוך במסגרת טבלה 2.12 המשמשת כטבלת עזר.

טבלה #2.12

הערך

התוחלת

הפער מהתוחלת

-‚

הפער בריבוע

הסתברות

האפשרות

התרומה לשונות

„ž…



‚

ƒ

„

…

†

2

1.6

0.4

0.16

0.64

 `(0.16*0.64=) 0.1024`

1

1.6

0.6-

0.36

0.32

`(0.32*0.36=) 0.1152`

0

1.6

1.6-

2.56

0.04

`(2.56*0.04=) 0.1024`

 

 

 

 

1.00

0.32  (השונות)

סטיית התקן היא השורש של השונות: `0.566 =sqrt(0.32`


הפתעה לטובה – חישוב תוחלת וסטיית תקן ברגע

הסטטיסטיקאים גילו שניתן בקלות רבה לחשב תוחלת וסטיית תקן של משתנה מקרי בינומי.

תוחלת = מספר הניסויים כפול ההסתברות להצלחה בכל ניסוי.

שונות = התוחלת כפול ההסתברות לכישלון בכל ניסוי.

סטיית תקן 

דוגמאות

1. המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות הוגנים.

(מספר הניסויים)
(ההסתברות להצלחה)
2
*
0.5
התוחלת:  1  =
(התוחלת)
(ההסתברות לכשלון)
1
*
0.5
השונות:  0.5  =

סטיית התקן:  `0.707=sqrt(0.5`

זכרו את דרך החישוב הפשוטה הזו, עוד נשתמש בה בהמשך.

2. המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות לא הוגנים עם הסתברות להצלחה 0.8.

(מספר הניסויים) (ההסתברות להצלחה)
2 * 0.8 התוחלת:  1.6  =
(התוחלת) (ההסתברות לכשלון)
1.6 * 0.2 השונות:  0.32  =

סטיית התקן:  `0.566=sqrt(0.32`

3. המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 10 מטבעות הוגנים.

(מספר הניסויים) (ההסתברות להצלחה)
10 * 0.5 התוחלת:  5  =
(התוחלת)
(ההסתברות לכשלון)
5
*
0.5
השונות:  2.5  =

סטיית התקן:  `1.58=sqrt(2.5`

4. המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 10 מטבעות לא הוגנים, שבהם:

ההסתברות ל- 1 (הצלחה) = 0.9

ההסתברות ל- 0 (כשלון)   = 0.1

(מספר הניסויים) (ההסתברות להצלחה)
10 * 0.9 התוחלת:  9  =
(התוחלת) (ההסתברות לכשלון)
9 * 0.1 השונות:  0.9  =

סטיית התקן:  `0.949=sqrt(0.9`

סטטיסטיקה למתקדמים

תוכן עניינים

נושאים נוספים

Loading data ...
Coin Compare
View chart compare
View table compare
שינוי גודל פונט
ניגודיות