הקדמה
פונקציית תועלת מינימום מתייחסת לסל המכיל 2 מוצרים משלימים לחלוטין, עבור צרכן כלשהו.
- נעליים (ללא שרוכים)
- שרוכים.
הצרכן יפיק תועלת 0 אם הסל יכיל רק שרוכים ו- 0 זוגות נעליים או רק זוגות נעליים ו- 0 שרוכים. כדי שהצרכן יפיק תועלת מהסל הוא צריך להכיל מינימום זוג נעליים אחד ו- 2 שרוכים (שרוך לכל נעל).
אם נוסיף לסל המכיל זוג נעליים ו- 2 שרוכים, עוד שרוכים, ללא תוספת נעליים, או עוד נעליים ללא תוספת שרוכים, הצרכן לא יפיק מהסל המורחב תועלת נוספת.
סימולים: לזוגות נעליים נקרא מוצר x ולשרוכים מוצר y.
גרעינים
להרכב המינימלי של סל מוצרים שמניב תועלת נקרא: גרעין. לדוגמה:
רמת התועלת שמניב גרעין
אנו מניחים שכל גרעין מניב 1 יחידת תועלת (10 גרעינים מניבים 10 יח' תועלת).
דוגמה נוספת
משה אוכל רק פשטידות שעשויות מ- 2 ביצים (שלמות) ו- 3 עגבניות (שלמות).
הכוונה היא ש- 1 עגבניה ו- 2 ביצים לא מאפשרות לייצר 1/3 פשטידה.
נסמל ביצים ב- x ועגבניות ב- y.
כל פשטידה מהווה גרעין.
כל גרעין מכיל 2 ביצים ו- 3 עגבניות ומניב 1 יח' תועלת.
אם בסל ימצאו 23 ביצים ו- 16 עגבניות אזי הוא יכיל רק 5 גרעינים ושארית של 13 ביצים ו- 1 עגבנייה.
הסל מניב 5 יח' תועלת.
השארית לא מניבה כל תועלת.
את מספר הגרעינים קיבלנו בדרך הבאה: את כמות הביצים חילקנו ב- 2 ואת כמות העגבניות ב- 3 והסתכלנו על השלם שהתקבל, ללא השארית.
התוצאה הנמוכה מבין השתיים נוקבת במספר הגרעינים בסל.
סימול הפונקציה ומשמעותה
את פונקציית המינימום מסמלים כך: `(U(x,y)=min(alphax,betay`
- x – מציין את מספר היחידות ממוצר x בסל.
- y – מציין את מספר היחידות ממוצר y בסל.
המשמעות של α ו- β
הסימול min(αx,βy) בא לציין שכמות יחידות התועלת שניתן להפיק מסל שהרכבו (x,y) נקבעת על פי התוצאה המינימלית שמתקבלת מ- 2 המכפלות בסוגריים.
בדוגמה שלנו:
` alphax=1/2*10=5`
` betay=1/3*6=5`
המכפלה המינימלית היא 2 יח' תועלת.
במילים אחרות, הסל מניב רק 2 יח' תועלת.
סלים אופטימלים
רק סלים שמכילים גרעינים ללא שארית נחשבים עבורנו סלים אופטימלים, שכן המוצרים בשארית עולים כסף, אך אינם תורמים לתועלת.
התנאי לסל אופטימלי
כאשר בהרכב הסל אין שאריות מתקיים השיוויון: αx=βy כך שכל אחד מהמוצרים בסל יכול לספק אותה כמות של יחידות תועלת.
בדוגמת הפשטידות, בסל המכיל (20,30) [x=20,y=30] מתקיים [20·½=30·⅓].
הכמות מכל מוצר בסל מספיקה כדי להניב 10 יח' תועלת ולפיכך הסל יניב 10 יח' תועלת.
היחס בין x ל- y בסלים האופטימלים
תרשים 4
כאשר αx=βy, אזי `y=alpha/betax` – קיבלנו משוואה של קו ישר שנסמלו L.
קו L עולה מראשית הצירים בשיפוע של `alpha/beta` בנתוני הדוגמא: `(1/2:1/3=)3/2`
תרשים 4 מציג את שיפוע קו L.
פרשנות לקו L
כל נקודה בתרשים 4 מייצגת הרכב של סל.
הסלים האופטימליים נמצאים רק על קו L.
הצגה גרפית של סלים לא אופטימלים
כל סל בתרשים 5, שאינו על קו L, מכיל מוצרים שאינם תורמים מאומה לתועלת הצרכן.
לדוגמה:
- סל ‘a מכיל 2 ביצים ו- 7.5 עגבניות. אך הוא מניב אותה תועלת כמו סל a המכיל 2 ביצים ו- 3 עגבניות.
כלומר סל ‘a מכיל שארית בת 4.5 עגבניות שאינן תורמות מאומה לתועלת הסל (ברור שהצרכן לא ירכוש אותן). - סל ‘b מכיל 10 ביצים ו- 9 עגבניות, אך הוא מניב אותה תועלת כמו סל b המכיל 6 ביצים ו- 9 עגבניות.
כלומר הסל מכיל שארית בת 4 ביצים שאינן תורמות מאומה לתועלת הסל (ברור שהצרכן לא ירכוש אותן).
תרשים 5
באופן כללי, כל הסלים שאינם על קו L מכילים יחידות של מוצרים שאינן תורמות לתועלת.
שיפוע הרצועה מעל הסלים האופטימיליים
כאשר מניחים שכל גרעין בסל מניב אותה רמת תועלת, הרצועה תעלה בקו ישר מעל לקו L.
תוואי עקומת האדישות (תרשים 6)
תרשים 6
עקומה בצורת זווית שיורדת משמאל לימין.
כל הסלים הנמצאים על אותה עקומת אדישות (על אותה הזווית) נותנים את אותה התועלת. רק הסלים שנמצאים גם על קו L הם סלים אופטימלים, שכן עלותם מינימלית.
מציאת הסל הנבחר
ערכי הסל הנבחר מקיימים 2 תנאי שוויון:
- `I=xP_(x)+yP_(y)` הסל ממוקם על קו התקציב
- `y=alpha/betax` הסל ממוקם על קו L
מפתרון 2 תנאי השיוויון מתקבלות התוצאות של x ו- y בצורת משוואה.
משוואה 1 `y=(beta*I)/(beta*P_(x)+alpha*P_(y))` (= פונקציית הביקוש ל- x)
משוואה 2 `y=(alpha*1)/(beta*P_(x)+alpha*P_(y))` (= פונקציית הביקוש ל- y).
ל-2 המשואות אותו מכנה והבדל קל במונה.
תרשים 6
תוואי עקומת הביקוש בפונקציית מינימום (תרשים 6)
תוואי עקומת הביקוש המתקבל מפונקציית הביקוש הוא קמור שיורד משמאל לימין
`x=(beta*I)/(beta*P_(x)+alpha*P_(y))`
