תוואי עקומות האדישות
`u(x,y)=x^(alpha)*y^(beta)`
התוואי שמאפיין את עקומות האדישות שמתקבלות מפונקציית K&D הוא עקומה קמורה שיורדת משמאל לימין.
תרשים 1
מציאת הסל הנבחר
במיקום הסל הנבחר ערכי x ו- y מקיימים 2 תנאי שוויון:
משוואה 1: `I=x*P_(0)+y*P_(0)` הסל ממוקם על קו התקציב
משוואה 2: `(Uy(x,y))/(Py)=(Ux(x,y))/(Px)` עלות התועלת שווה ב-2 המוצרים.
מפתרון 2 תנאי השיוויון מתקבלות התוצאות של x ו-y בצורת משוואה. (להזכירכם – α ו- β הם פרמטרים של החזקות בפונקציה מסוג קוב דאגלס).
1. `x=(alpha*I)/((alpha+beta)*Px)`
2. `y=(beta*I)/((alpha+beta)*Py)`
פירוט מהלכי הפתרון
נציב את הנגזרות הרלוונטיות במשוואה 2, המחייבת שוויון עלות-תועלת:
`(alphax^(alpha-1)y^(beta))/(P_(x))=(betax^(alpha)y^(beta-1))/(P_(y))`
| תזכורת: |
| `u_(x)(x^(alpha))=alpha*x^((alpha-1))` |
| `u_(y)(y^(beta))=beta*y^((beta-1))` |
כידוע, `x=x^(alpha)/x^(alpha-1)`
נעזר בזהות זו, נבודד את y ונקבל: `y=beta/alpha *P_(x)/P_(y) * x`
נציב משוואה זו במשוואת קו התקציב:
`I=x*P_(x)+beta/alpha *P_(x)/P_(y) * x *P_(y)=x*(P_(x)+beta/alpha *P_(x))=x*(alpha+beta)/(alpha) *P_(x)`
`x=(alpha*I)/(alpha+beta*P_(x))`
קיבלנו את x. כעת נציב במשוואה שקיבלנו עבור y לעיל: `y=beta/alpha*P_(x)/P_(y)*(alpha*I)/((alpha+beta)*P_(x))=(beta*I)/((alpha+beta)*P_(y))`
הבחנה בין: פונקציית הביקוש ל- x ועקומת הביקוש ל- x
הקדמה
בהצגה גרפית של פונקציה, מקובל להציב את ערכי המשתנה על ציר ה- x ואת ערכי התוצאה על ציר ה- y.
בתרשים 2 מוצגת פונקציית הביקוש ל- x שצורתה `x=(alpha*I)/(alpha+beta*P_(x))`
Px – הוא המשתנה.
x – היא התוצאה.
תרשים 2
עקומת הביקוש
למרות זאת, כאשר מתייחסים לעקומת הביקוש ל- x המשתנה PL מוצג על ציר ה- y ואילו התוצאה x מוצגת על ציר ה- x, כמו בתרשים 3.
תרשים 3
את פונקציית עקומת הביקוש ניתן לקבל בקלות מפונקציית הביקוש על ידי כך שמבודדים את Px ומקבלים: `P_(x)=(alpha*I)/((alpha+beta)*x)`
x הופך למשתנה ו-Px לתוצאה.
היפוך הצירים בעקומת הביקוש נעשה מטעמי נוחות.
תוואי עקומת הביקוש כפי שמתקבל מפונקציית הביקוש
תרשים 3 מאפיין את התוואי.
עקום קמור שיורד משמאל לימין.
צורת העקומה מתאימה לאינטואיציה הכלכלית: ככל שמחיר המוצר גבוה יותר, כך הכמות המבוקשת לאותו מוצר יורדת.
