ישנם מקרים שהמילה תוחלת מחליפה את המילה ממוצע. המקרה השכיח ביותר הוא כאשר המשקל (באחוזים) של כל קבוצה מתקבל על בסיס אומדן ולא בעקבות ספירה מדויקת של מספר הפרטים בקבוצה וחישוב חלקם באוכלוסיית היעד. למעשה, במקרים אלו גם גודל אוכלוסיית היעד אינו רלוונטי לחישוב הממוצע. 

נשמע מעורפל? בצדק.

אך אנו מקווים שהחל מהדוגמא השניה בסידרת 3 הדוגמאות הבאות – שהן דומות להפליא לדוגמאות שכבר פתרנו – הערפל יתפוגג.

דוגמא 1 – המספרה של משה

למשה הוצע לפתוח מספרה. מאחר והוא בחור שקול ויסודי הוא החליט לבחון לעומק את סיכויי ההצלחה. לשם כך הוא נפגש עם 100 מחבריו שהם בעלי מספרות וקיבל מהם מידע לגבי רווחיות המספרות שבבעלותם. מהמידע שאסף עולה התמונה הבאה: 

20 מספרות מרוויחות לשנה 100K ש”ח

50 מספרות מרוויחות לשנה 50k ש”ח

30 מספרות מפסידות לשנה 30k ש”ח

הצגת מספרים בקיצור מקובל להציג נתון שלילי ב-2 צורות:

האות k משמשת תחליף ל-000. לדוגמא, כותבים 100k ש״ח במקום 100,000 ש״ח.
בכל פעם שכתובת – קרא אותה:אלף.
k- היא קיצר של KILO ששווה ל-1000.
  1. עם סימן מינוס משמאלו 30k–
  2. בסוגריים (30k)

כהרגלנו, לצורך הפשטות, צמצמנו ל-3 את מגוון נתוני התצפיות.

מהנתונים עולה שרוב המספרות רווחיות וזה עודד את משה. אך הוא ביקש לעבוד בצורה יותר מקצועית וחישב את הרווח הממוצע למספרה. התוצאה שקיבל היא 36k ש”ח, על פי החישוב הבא.

1. ארגון הנתונים – תרגול
בשלב זה אנו מקפידים בכל דוגמא לארגן את הנתונים ואף להשתמש באיור. אולם בעוד מספר דוגמאות תגלו שהנתונים מסתדרים לכם בקלות בטבלה, ואף תבצעו חישובים בקיצור.
אוכלוסיית היעד – 100 מספרות.
נתוני התצפיות – 100K ש”ח, 50K ש”ח ו- 30K– ש”ח

 

הצבת הנתונים בטבלה

טבלה #3.8

מיספור הקבוצה

מאפייני 
הקבוצה  

נתוני התצפית של הקבוצה (רווח שנתי)

מספר הפרטים בכל קבוצה

משקל 
הקבוצה

תרומת הקבוצה 
לממוצע 
 … 3×5 

1

2

3

4

5…

6†

קבוצה 1

אין

100K

ש”ח

20 מספרות

20%

20K

ש”ח

קבוצה 2

אין

50K

“

50   “

50%

25K

“

קבוצה 3

אין

30K–

“

30   “

30%

9K–

“

סה”כ

–

–

100  “

100%

36K 

ממוצע

ש”ח

 

 

 

 

 

 

 

 

 

מה עושים עם הממוצע? – חכו בסבלנות.

דוגמא 2 – המספרה של שמעון 

שמעון, עולה חדש מארגנטינה, שעבד שם כספר, מחליט גם כן לבחון פתיחת מספרה. לשמעון אין חברים בעלי מספרות. אך הוא בחור אינטליגנטי והחליט להיוועץ עם יועץ כלכלי. היועץ בחן את הנושא והציג לשמעון את מסקנותיו כדלקמן:
  • יש סיכוי של 70% שתרוויח 100kש”ח לשנה.
  • וסיכוי של 30% שתפסיד 50kש”ח לשנה.

 

המשמעות של מסקנות היועץ

המשמעות של מסקנות היועץ הן פשוטות. לדבריו, אילו שמעון היה פותח היום הרבה מספרות, (למשל 1,000) אזי:
  • כ- 70% מהן היו מרוויחות 100kש”ח
  • וכ- 30% היו מפסידות 50K ש”ח.
לצורך הפשטות דאגנו שנתוני היועץ יציגו רק שני נתוני תצפיות אפשריים: רווח 100K ש”ח, והפסד 50K ש”ח.
אם אומנם המציאות תהיה כדברי היועץ, או שהיא תהיה הפוכה, לא ניתן לדעת, אך זוהי הערכתו של היועץ ונניח בהמשך ששמעון מאמץ אותה.

 

חישוב ממוצע הרווח על פי נתוני היועץ

בדוגמא זו המונח תוחלת יחליף את המונח ממוצע.
את החישוב נבצע ב-2 מסלולים:
  1. המסלול המוכר לנו, ולשם כך נניח ששמעון פותח 10 מספרות, ושהן מתחלקות למספרות מרוויחות ומספרות מפסידות בדיוק לפי הערכת היועץ.
  2. מסלול מקוצר.

חישוב על פי המסלול המוכר

ארגון הנתונים:
אוכלוסיית היעד – 10 מספרות.
נתוני התצפיות – ישנן 2 אפשרויות: 100K ש”ח ו-(50K ש”ח).

חישוב תוחלת במקום ממוצע

 הצבת הנתונים בטבלה

טבלה #3.9

מיספור הקבוצה

מאפייני הקבוצה    

נתוני התצפית של הקבוצה (רווחי המספרות)

מספר הפרטים בכל קבוצה

משקל הקבוצה

תרומת הקבוצה לממוצע …
3×5

1

2‚

3ƒ

4„

…5

†6

קבוצה 1

אין מאפיינים

100K  ש”ח

7

70%

K70  ש”ח

קבוצה 2

 אין  מאפיינים

(50K)  ש”ח

3

30%

(K15) ש”ח

סה”כ

 

 

 

100%

K55  ש”ח

תוחלת

כלומר – תוחלת הרווח למספרה הוא 55K ש”ח.

חישוב במסלול מקוצר

רקע

היועץ במסקנותיו, למעשה כבר סידר לנו את התצפיות בקבוצות, וגם נתן לקבוצות משקלים.לנו נשאר רק לכפול את נתוני התצפיות במשקלים

מונחים בעלי משמעות זהה.
  1. ממוצע ותוחלת – ממוצע ותוחלת הם 2 מונחים בעלי אותה משמעות. בספר סטטיסטיקה למתחילים מוסבר בהרחבה מתי נכון להשתמש באחד ומתי בשני.
    כאן רק נרמוז שנכון להשתמש במונח תוחלת כאשר החישוב מתבסס על הסתברויות או סיכויים ובמונח ממוצע כאשר החישוב מתבסס על משקל יחסי.
  2. משקל יחסי, הסתברויות וסיכוי – משקל יחסי, הסתברות וסיכוי הם 3 מונחים בעלי אותה משמעות.
    בספר סטטיסטיקה למתחילים מוסבר בהרחבה מתי נכון להשתמש בכל אחד מהם. בספר זה לא נרחיב. כל אחד יכול להשתמש כרצונו לפי הענין והתחושה הפנימית. (שהיא בד”כ מדוייקת) 
הסבר – מתוך דברי היועץ אנו מניחים שישנן רק שתי אפשרויות של נתוני תצפיות.
  1. 100K ש”ח (רווח),
  2. 50K– ש”ח (הפסד).
על פי שתי תצפיות אלו מתארגנות שתי קבוצות.

משקל כל קבוצה הוא הסיכוי שבו נקב היועץ. שכן, המשמעות של המונח סיכוי הוא שלא חשוב כמה מספרות נפתח, תמיד:
  • 70%  מהן יהיו בקבוצת ה- 100K ש”ח
  • ו-30%       ”    ”        ”      ה-  50K– ש”ח.
לאור זאת אנו ממלאים את הטבלה תוך חיסכון בחישוב טור 5. (כפי שקבע היועץ).

טבלה #3.10

מיספור הקבוצה

מאפייני הקבוצה  

נתוני התצפית של הקבוצה

(רווחי המספרות)

מספר הפרטים בכל קבוצה

משקל הקבוצה

תרומת הקבוצה לממוצע 
3×5

1

2‚

ƒ3

4„

…5

6†

קבוצה 1

אין מאפיינים

K100  ש”ח

אין משמעות

70%

K70 ש”ח

קבוצה 2

אין   “

K50- “

אין משמעות

30%

K15- “

סה”כ

 

 

 

100%

K55  ש”ח

תוחלת

 דוגמא 3 – דוד (שם בדוי) בוחן גם כן פתיחת מספרה

באורח לא מפתיע רבים בציבור נמשכים לענף המספרות וביניהם גם דוד שעובד במוסך.
לדוד אין חברים ספרים וגם לא כסף ליועצים. הוא ביקש את עזרתנו. אנו הצענו לו שיחשוב בדרך המקובלת, לפיה ידמיין שיש באפשרותו לפתוח מספרות רבות וכן שייתכנו רק 4 תוצאות אפשריות לרווח שנתי:

  1. 100K ש”ח  
  2. 70K ש”ח  
  3. 20K ש”ח 
  4. 50K– ש”ח

הדרכנו אותו שינסה להעריך כיצד התפלגו (=התחלקו) המספרות הדמיוניות הנ”ל באחוזים בין 4 התוצאות האפשריות, או במלים פשוטות יותר: איזה אחוז מהמספרות ירוויחו 100K ש”ח, איזה אחוז (מהמספרות) ירוויחו 70K ש”ח, איזה אחוז ירויחו  20K ש”ח, ואיזה אחוז יפסידו 50K– ש”ח.

הסברנו לו שאת ההערכות שיקבל יציב בטור 5 בטבלה 3.11 ומתוכן יחשב את טור 6 ואת התוחלת. דוד הבין אותנו, וחישב את תוחלת הרווח.

טבלה #3.11

מיספור הקבוצה

מאפייני הקבוצה  

נתוני התצפית של הקבוצה (רווחי המספרות)

מספר הפרטים בכל קבוצה

משקל הקבוצה

תרומת הקבוצה לתוחלת

 … 3×5 ƒ

1

‚2

3ƒ

4

…5

†6

קבוצה 1

אין מאפיינים

100K  ש”ח

    ——–

20%

K20  ש”ח

קבוצה 2

אין      “

70K   “

  ———

20%

K14  “

קבוצה 3

אין      “

20K   “

  ———

50%

K10 “

קבוצה 4

אין      “

(50K)  “

  ———

10%

(K5) “

סה”כ

 

 

100

100%

 תוחלת K39 “

 על סמך הערכותיו של דוד תוחלת הרווח הצפויה היא 39k ש”ח.