מעקב אחר משתנה מקרי בינומי המבוסס על 3 ניסיונות
המשתנה: מספר ההצלחות של מייקל ג'ורדן בסבב של 3 זריקות לסל מקו העונשין.
ערכי המשתנה: 3,2,1,0.
ההסתברות להצלחה: 0.9 (מבוסס על ניסיון העבר).
ההסתברות לכישלון: 0.1 (מבוסס על ניסיון העבר).
מספר האפשרויות: `(2^3=)8`

 

א. הצבת טבלת האפשרויות. טבלה 2.13 טורים 1-5
1 מציין הצלחה.
0 מציין כישלון.

טבלה #2.13 : טבלת האפשרויות

האפשרויות

הצרופים האפשריים

מספר 
ההצלחות

זריקה 
ראשונה

זריקה 
שנייה

זריקה 
שלישית

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

אפשרות א'

1

1

1

3

אפשרות ב'

1

1

0

2

אפשרות ג'

1

0

1

2

אפשרות ד'

1

0

0

1

אפשרות ה'

0

1

1

2

אפשרות ו'

0

1

0

1

אפשרות ז'

0

0

1

1

אפשרות ח'

0

0

0

0

 

ב.  חישוב ההסתברות להתרחשות של כל אפשרות (טור 6)

בטור 6 מפורטת דרך חישוב ההסתברות להתרחשות כל אחת מהאפשרויות ההסתברות להתרחשות של אפשרות א' היא הגבוהה ביותר (0.729) וההסתברות להתרחשות אפשרות ח' היא הנמוכה ביותר (0.001).

טבלה #2.14

האפשרויות

הצרופים האפשריים

מספר ההצלחות

הסתברות

האפשרות

זריקה ראשונה

זריקה שנייה

זריקה שלישית

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

 (6)

אפשרות א'

1

1

1

3

`0.729(=0.9*0.9*0.9)`

אפשרות ב'

1

1

0

2

`0.081(=0.1*0.9*0.9)`

אפשרות ג'

1

0

1

2

`0.081(=0.9*0.1*0.9)`

אפשרות ד'

1

0

0

1

`0.009(=0.1*0.1*0.9)`

אפשרות ה'

0

1

1

2

`0.081(=0.1*0.9*0.9)`

אפשרות ו'

0

1

0

1

`0.009(=0.1*0.9*0.1)`

אפשרות ז'

0

0

1

1

`0.009(=0.9*0.1*0.1)`

אפשרות ח'

0

0

0

0

`0.001(=0.1*0.1*0.1)`

 

ג.  הכנת טבלת ההתפלגות (טבלה 2.15)

טבלה 2.13 משמשת טבלת עזר להכנת טבלת ההתפלגות (טבלה 2.15).

ערך המשתנה

(מספר ההצלחות)

ההסתברות

0

0.001

1

0.027

2

0.243

3

0.729

סה”כ

1.000

הערך 0
ערך 0 נמצא רק באפשרות ח'.
לפיכך, ההסתברות לקבלת הערך היא 0.001.

 

הערך 1
ערך 1 נמצא ב – 3 אפשרויות: ד', ו'  ו- ז'.                               
ההסתברות של כל אפשרות היא 0.009.
לפיכך, ההסתברות לקבלת הערך היא: `0.027[=3*0.009]`

 

הערך 2
ערך 2 נמצא ב- 3 אפשרויות:  ב', ג' ו- ה'.
ההסתברות של כל אפשרות היא 0.081.
לפיכך, ההסתברות לקבלת הערך היא: `0.243[=3*0.081]`

 

ערך 3
ערך 3 נמצא רק באפשרות א'.
לפיכך, ההסתברות לקבלת הערך היא: 0.729

 

הכנת טבלת אפשרויות בלי להתבלבל

בפעמים הראשונות שמכינים וממלאים טבלת אפשרויות ניתן בקלות להתבלבל בסדר המילוי.

קיימת דרך פשוטה למילוי הטבלאות. נסביר אותה לגבי 3 סוגי של טבלאות.

טבלה המתייחסת ל- 2 ניסיונות, טבלה המתייחסת ל- 3 ניסיונות וטבלה המתייחסת ל- 4 ניסיונות.
את אותו הגיון יש להפעיל בטבלאות המתייחסות ליותר ניסיונות.

 

1. טבלה המתייחסת ל – 2 ניסיונות (טבלה 2.6)
בטבלה זו ישנן 4 שורות, שורה לכל אפשרות ו- 2 טורים, טור לכל ניסוי (טורים 2 ו- 3).
האפשרות הראשונה היא (1,1) (מודגש בצבע).
האפשרות האחרונה היא (0,0).
נתייחס לטורים
טור 2 – הערך מתחלף (מ- 1 ל- 0) לאחר `1/2` מהאפשרויות (לאחר 2 שורות).
טור 3 – הערך מתחלף לסירוגין בכל `1/4` מהאפשרויות (בכל שורה).
הסתברות להצלחה בכל זריקה היא 0.8 ההסתברות לכשלון 0.2

טבלה #2.6

האפשרויות

מטבע ראשון

מטבע שני

סה”כ הצלחות באפשרות

הסתברות האפשרות

(1)

(2)

(3)

(4)

 (5)

אפשרות א'

1

1

2

`0.64(=0.8*0.8)`

אפשרות ב'

1

0

1

`0.16(=0.2*0.8)`

אפשרות ג'

0

1

1

`0.16(=0.2*0.8)`

אפשרות ד'

0

0

0

`0.04(=0.2*0.2)`

סה”כ

 

 

 

1.00

 

2. טבלה המתייחסת ל- 3 ניסיונות (טבלה 2.14)
בטבלה זו ישנן 8 שורות (שורה לכל אפשרות) ו- 3 טורים, טור לכל ניסוי (טורים 2, 3 ו- 4).
האפשרות הראשונה היא (1,1,1) (מודגש בצבע).
האפשרות האחרונה היא  (0,0,0).
נתייחס לטורים
טור 2 – הערך מתחלף לאחר `1/2` מהאפשרויות (לאחר 4 שורות).
טור 3 – הערך מתחלף לסירוגין כל `1/4` מהאפשרות (כל 2 שורות).
טור 4 – הערך מתחלף לסירוגין כל `1/8` מהאפשרויות (כל שורה).
ההסתברות להצלחה בכל זריקה היא 0.9 ההסתברות לכשלון 0.1

טבלה #2.14

האפשרויות

הצרופים האפשריים

מספר ההצלחות

הסתברות האפשרות

זריקה ראשונה

זריקה שנייה

זריקה שלישית

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

 (6)

אפשרות א'

1

1

1

3

`0.729(=0.9*0.9*0.9)`

אפשרות ב'

1

1

0

2

`0.081(=0.1*0.9*0.9)`

אפשרות ג'

1

0

1

2

`0.081(=0.9*0.1*0.9)`

אפשרות ד'

1

0

0

1

`0.009(=0.1*0.1*0.9)`

אפשרות ה'

0

1

1

2

`0.081(=0.1*0.9*0.9)`

אפשרות ו'

0

1

0

1

`0.009(=0.1*0.9*0.1)`

אפשרות ז'

0

0

1

1

`0.009(=0.9*0.1*0.1)`

אפשרות ח'

0

0

0

0

`0.001 (=0.1*0.1*0.1)`

 

3. טבלה המתייחסת ל – 4 ניסיונות
 בטבלה זו ישנן 16 אפשרויות ו- 4 טורים.
האפשרות הראשונה היא (1,1,1,1).
האפשרות אחרונה מסתיימת ב (0,0,0,0).
נתייחס לטורים
טור 2 – הערך מתחלף לאחר `1/2` מהאפשרויות (לאחר 8 שורות).
טור 3 –  הערך מתחלף לסירוגין כל `1/4` מהאפשרויות (כל 4 שורות).
טור 4 –  הערך מתחלף לסירוגין כל `1/8` מהאפשרויות (כל 2 שורות).
טור 5 –  הערך מתחלף לסירוגין כל `1/16` מהאפשרויות (כל שורה).

טבלה #2.16

האפשרות

זריקה 
ראשונה

זריקה 
שנייה

זריקה 
שלישית

זריקה 
רביעית

מספר 
ההצלחות

הסתברות האפשרות

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

 (6) (7)

אפשרות א'

1

1

1

1

4

`(0.9*0.9*0.9*0.9=)0.6561`

אפשרות ב'

1

1

1

0

3

`(0.9*0.9*0.9*0.1=)0.0729`

אפשרות ג'

1

1

0

1

3

`(0.9*0.9*0.1*0.9=)0.0729`

אפשרות ד'

1

1

0

0

2

`(0.9*0.9*0.1*0.1=)0.0081`

אפשרות ה'

1

0

1

1

3

`(0.9*0.1*0.9*0.9=)0.0729`

אפשרות ו'

1

0

1

0

2

`(0.9*0.1*0.9*0.1=)0.0081`

אפשרות ז'

1

0

0

1

2

`(0.9*0.1*0.1*0.9=)0.0081`

אפשרות ח'

1

0

0

0

1

`(0.9*0.1*0.1*0.1=)0.0009`

אפשרות ט'

0

1

1

1

3

`(0.1*0.9*0.9*0.9=)0.0729`

אפשרות י'

0

1

1

0

2

`(0.1*0.9*0.9*0.1=)0.0081`

אפשרות י”א

0

1

0

1

2

`(0.1*0.9*0.1*0.9=)0.0081`

אפשרות י”ב

0

1

0

0

1

`(0.1*0.9*0.1*0.1=)0.0009`

אפשרות י”ג

0

0

1

1

2

`(0.1*0.1*0.9*0.9=)0.0081`

אפשרות י”ד

0

0

1

0

1

`(0.1*0.1*0.9*0.1=)0.0009`

אפשרות ט”ו

0

0

0

1

1

`(0.1*0.1*0.1*0.9=)0.0009`

אפשרות ט”ז

0

0

0

0

0

`(0.1*0.1*0.1*0.1=)0.0001`

 

העיקרון בכל הטבלאות
הסימן מתחלף כדקלמן:
בטור האחרון (טור 5)- כל שורה.
בטור שלפניו- כל 2 שורות.
בטור שלפניו- כל 4 שורות.
בטור שלפניו- כל 8 שורות.
וכך הלאה, בכפולות של 2.

 

קיצור דרך: שימוש במחשבון

כאשר מספר הניסויים הולך וגדל, הכנת טבלת האפשרויות הופכת להיות משימה לא פשוטה.
ב – 5 ניסויים מספר האפשרויות מגיע ל- `32(=2^5)`
ב – 10 ניסויים מספר האפשרויות מגיע ל- `1,024 (=2^10)`
למזלנו המחשבון בא לעזרתנו ומציג לנו בלחיצת מקש כמה צירופים אפשריים ישנם לקבלת כל אחד מהערכים של המשתנה המקרי.
לשם כך יש להזין למחשבון 2 נתונים:
  1. מספר הניסיונות שאנו מבצעים
  2. מספר ההצלחות (באיזה ערך של המשתנה המקרי אנו מעוניינים)

 

דוגמא 1

נתייחס לדוגמא שבה מייקל ג'ורדן זורק 3 פעמים לסל.  כזכור ישנן 8 צרופים אפשריים והערכים האפשריים הם 0, 1, 2, 3.

הפעלת המחשבון

(החץ בטור 2 מסמן את סדר ההקשות במחשבון)

טבלה 2.17

המטרה הפעולה במחשבון

התוצאה

(מספר הצרופים האפשריים)
מס' הניסוי `larr`  מקש `larr`  הערך המבוקש
(1) (2) (3)
חישוב מספר הצרופים האפשריים לערך 0 ` [0] larr [NCR] larr [3]` 1
חישוב מספר הצרופים האפשריים לערך 1 ` [1] larr [NCR] larr [3]` 3
חישוב מספר הצרופים האפשריים לערך 2 ` [2] larr [NCR] larr [3]` 3
חישוב מספר הצרופים האפשריים לערך 3 ` [3] larr [NCR] larr [3]` 1
סה”כ 8