התפלגות גיאומטרית
נתון, שההסתברות שלו לקלוע בזריקה בודדת היא 0.9. ומכאן, ההסתברות להחטאה היא 0.1.
- ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך 1 היא ההסתברות שהכדורסלן יקלע כבר בזריקה הראשונה (0 החטאות). ההסתברות לכך היא 0.9.
- ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך 2 מתקבלת ממכפלה של:
1. ההסתברות להחטאה אחת – 0.1.
2. ההסתברות לקליעה – 0.9.
והתוצאה: `(0.9*0.1=)0.09` . - ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך 3 מתקבלת ממכפלה של:
1. ההסתברות להחטיא את 2 הזריקות הראשונות ברצף – `(0.1*0.1=)0.01` .
2. ההסתברות לקליעה אחת – 0.9.
והתוצאה: `(0.9*0.01=)0.009` . - ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך k מתקבלת ממכפלה של:
1. ההסתברות להחטיא את 1– k הזריקות הראשונות ברצף (שהיא `0.1^(k-1)` )
2. ההסתברות שיקלע בזריקה ה-k-ית (שהיא 0.9).
והתוצאה: `0.1^(k-1)*0.9=0.0009`
משתנה שמתפלג באופן כזה נקרא משתנה מקרי גאומטרי.
באופן כללי: אם ההסתברות להצלחה בנסיון יחיד היא P (וההסתברות לכשלון P-1), אז ההסתברות לקבלת ערך k היא `(1-P)^(k-1)*P`
בדוגמה שלנו, k מסמל את מספר הזריקות לסל.
טבלת ההתפלגות בדוגמה זו היא:
|
טבלה #2.21 |
|||||
|
הערך (k) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
ההסתברות (P) |
0.9 |
0.09 |
0.009 |
0.0009 |
0.00009 |
הטבלה היא אינסופית.
חישוב התוחלת של משתנה מקרי גאומטרי
את התוחלת ניתן לחשב בשני מהלכים:
מהלך 1- הכפלת כל ערך בהסתברות לקבלתו.
מהלך 2- סכום המכפלות הנ”ל.
אך היות והערכים מגיעים לאינסוף, לא נוכל לעולם להשלים את מהלך 1.
למזלנו, מתמטיקאים מצאו דרך קצרה ופשוטה לחשב את הסכום האינסופי הזה.
והיא: 1 חלקי ההסתברות להצליח בזריקה בודדת.
בדוגמה שלנו התוחלת היא: `1/0.9=1(1)/(9)` .
חישוב השונות של משתנה מקרי גאומטרי
גם עבור השונות נשתמש בנוסחה קצרה ופשוטה שהמתמטיקאים פיתחו והיא:
ההסתברות להחטיא (=1 פחות ההסתברות להצליח), חלקי ריבוע ההסתברות להצליח.
בדוגמה שלנו:
השונות היא: `[1/0.9^2=]0.123457`
סטית התקן (=שורש השונות) היא: `sqrt(0.123457=)0.3514` .
