תכונות האומדים

### שיטת הריבועים הפחותים

– השיטה שבה תוכנת אקסל מחשבת את הערכים של ( beta ) ו- ( alpha ) נקראת שיטת הריבועים הפחותים. החישוב נעשה תוך שימוש בנוסחאות שפותחו ע"י מתמטיקאים.
– הנוסחאות עצמן נקראות **אומדים**, והערכים של ( beta ) ו- ( alpha ), המחושבים עפ"י הנוסחאות האלה מהמדגם הספציפי, נקראים **אומדנים**.
– האומדים לפי שיטת הריבועים הפחותים נקראים אומדי הריבועים הפחותים (אר"פ) או אומדי OLS (ראשי תיבות של Ordinary Least Squares).

### תכונות האומדים

– עבור כל מדגם נשתמש באותה נוסחא כדי לחשב את ( beta ) ו- ( alpha ). כלומר, האומדים לא משתנים ממדגם למדגם (הנוסחאות לא תלויות במדגם).
– האומדנים, לעומת זאת, עשויים להשתנות ממדגם למדגם. כלומר, האומדים מניבים ערכים שהם משתנים מקריים כי האומדנים המחושבים לפיהם הם תלויי מדגם. כל מדגם יתן ערך אחר.

### תכונות סטטיסטיות של אומדי הריבועים הפחותים

1. הם חסרי הטיה.
2. שונותם קטנה יחסית לאומדים בשיטות אחרות.

#### הסבר התכונות

– **אומדי הריבועים הפחותים הם חסרי הטיה**: אם נשתמש באומדי הריבועים הפחותים כדי לחשב את ( beta ), אזי הסיכוי ש- ( hat{beta} ) שנקבל יהיה **גדול** מ- ( beta ) האמיתי, זהה לסיכוי שהוא יהיה **קטן** ממנו. במילים אחרות: מרכז פעמון ההתפלגות של ( hat{beta} ) נמצא ב- ( beta ) האמיתי.

– **אומדי הריבועים הפחותים הם בעלי שונות קטנה יחסית**: השונות של אומדי הריבועים הפחותים היא קטנה יחסית. הדבר גורם לכך שהאומדנים המתקבלים במדגמים שונים יהיו מפוזרים ברובם הגדול באזור קטן על ציר המספרים.

#### הדגמת התכונות בתרשימים

– אם אומד הוא גם חסר הטיה וגם בעל שונות קטנה, אז בסיכוי גבוה האומדן המתקבל ממנו יהיה מדוייק יחסית.
– למשל, נניח כי ( beta = 3 ), והאומד שבו אנו משתמשים כדי לחשב את ( beta ) הוא אומד חסר הטיה עם שונות נמוכה. התרשים ממחיש את הדבר:
– לפי התרשים, בגלל שהשונות קטנה, ב- 95% מהמקרים ( hat{beta} ) שיתקבל יהיה בין 2.9 לבין 3.1. ואם הערך האמיתי הוא 3, הרי שהערך הנאמד הוא לא רחוק ממנו והוא משקף אותו בצורה טובה.

– נתבונן כעת במקרה שבו האומד מוטה (לא חסר הטיה), למשל, נניח שמרכז ההתפלגות נמצא ב- 3.5 (ולא ב- 3), והשונות היא כמו בתרשים הקודם.
– לפי התרשים, ב- 95% מהמקרים ( hat{beta} ) שיתקבל יהיה בין 3.4 לבין 3.6. מכיוון שהערך האמיתי הוא 3, הרי שהערך הנאמד רחוק מהערך האמיתי ואיננו משקף אותו בצורה טובה.

– נתבונן במקרה שבו האומד חסר הטיה אך בעל שונות גדולה.
– לפי התרשים, ב- 95% מהמקרים ( hat{beta} ) שיתקבל יהיה בין 0.5 לבין 5.5. מכיוון שהערך האמיתי הוא 3, הרי שהערך הנאמד רחוק מהערך האמיתי ואיננו משקף אותו בצורה טובה.

### לסיכום

אומדי הריבועים הפחותים הם חסרי הטיה עם שונות קטנה (כמו בתרשים הראשון), ולכן האומדנים הנובעים מהם (( hat{beta} ) ו- ( hat{alpha} )) משקפים באופן מדוייק יחסית את הערכים האמיתיים (( beta ) ו- ( alpha )).