מקדם ההסבר או איכות הרגרסיה

### כפי שלמדנו בפרק 3

אם באמידה באמצעות תוכנת אקסל, נסמן 5 שורות במקום 2, נקבל מידע נוסף על האמידה. בפרק זה נתמקד בערך הראשון המופיע בשורה השלישית. ערך זה נקרא ( R^2 ), והוא תמיד מספר בין 0 ל-1.

( R^2 ) מרמז על איכות הרגרסיה, והוא עונה על השאלה: באיזו עוצמה מסביר המשתנה המסביר את המשתנה המוסבר?

במודל, ככל ש-( R^2 ) קרוב יותר ל-1, הרגרסיה איכותית יותר, דהיינו X מסביר את Y באופן טוב יותר. ככל ש-( R^2 ) קרוב יותר ל-0, הרגרסיה פחות איכותית, דהיינו יכולת ההסבר שיש ל-X לגבי Y קטנה יותר.

### דוגמא

חוקר א' מאמין ש-X מסביר את Y, ואילו חוקר ב' מאמין כי Z מסביר את Y.

– המודל של חוקר א' הוא ( Y = aX + b ).
– המודל של חוקר ב' הוא ( Y = cZ + d ).

נתוני התצפיות מופיעים בטבלה הבאה:

| תצפית מס' | Y | X | Z |
|———–|—-|—-|—-|
| 1 | 23 | 1 | 11 |
| 2 | 16 | 2 | 6 |
| 3 | 5 | 3 | 1 |
| 4 | 32 | 4 | 14 |
| 5 | 15 | 5 | 5 |
| 6 | 30 | 6 | 12 |
| 7 | 21 | 7 | 7 |
| 8 | 12 | 8 | 2 |
| 9 | 35 | 9 | 13 |
| 10 | 18 | 10 | 4 |
| 11 | 41 | 11 | 15 |
| 12 | 28 | 12 | 8 |
| 13 | 33 | 13 | 10 |
| 14 | 20 | 14 | 3 |
| 15 | 33 | 15 | 9 |

לאחר האמידה התקבלו הגרפים הבאים:

#### חוקר א'

#### חוקר ב'


מכיוון שבגרף של חוקר ב' הנקודות מרוכזות יותר סביב הקו, הרגרסיה שלו היא באיכות גבוהה יותר. רגרסיה באיכות גבוהה יותר פירושה שהמודל מסביר טוב יותר את המדגם.

נבדוק מהו ערך ה-( R^2 ) בכל אחת מהאמידות:


– באמידה של חוקר א' הוא 0.2087.
– באמידה של חוקר ב' הוא 0.8145.

( R^2 ) של חוקר ב' גדול מ-( R^2 ) של חוקר א', ולכן אנו יכולים לטעון כי Z מסביר את Y טוב יותר מאשר X.

### הערה

מותר להשוות בין שני מודלים באמצעות ( R^2 ) רק אם מתקיימים שני תנאים:

1. לשני המודלים אותו משתנה מוסבר.
2. לשני המודלים אותו מספר של משתנים מסבירים (כולל חותך).

המודלים של החוקרים הנ"ל עומדים בתנאים אלה. בשניהם המשתנה המוסבר הוא Y, ובשניהם יש משתנה מסביר אחד וחותך.

### ערכי הקצה של ( R^2 )

כאשר ( R^2 = 1 ), אז ההסבר הוא מושלם, וכל הנקודות של המדגם נמצאות על קו הרגרסיה. כאשר ( R^2 = 0 ), הרגרסיה איננה מסבירה דבר.