פרק אחד, שמונה איורים, ואף לא אחד מהם קפוא. כל דבר שמופיע כאן אפשר לגרור, ומה שנגרר משנה גם את הגרף וגם את הנוסחה באותו רגע. לכיתות י׳–י״ב.
אתה זורק כדור. הוא עולה, מאט, עוצר לרגע, ויורד. המסלול שהוא מצייר באוויר הוא פרבולה — וזה לא דימוי, זו בדיוק אותה צורה שתפגוש בבגרות. גרור את קצה החץ: הכיוון שלו הוא הזווית שבה זרקת, האורך שלו הוא העוצמה. הנוסחה שמתחת לגרף היא המסלול שיצא לך עכשיו.
הנקודה בצבע הענבר היא השיא, הכהה היא הנחיתה. שים לב: כשהזווית עולה מעל 45° הכדור עף גבוה יותר אבל פחות רחוק.
כל פרבולה בעולם היא גרסה מתוחה, כווצת או הפוכה של אותה צורה אחת: y = x². המספר שמכפיל אותה, a, הוא היחיד שמחליט. גרור את הנקודה מעלה ומטה, או הזז את הסרגל. שים לב מה קורה כש-a מתקרב לאפס, ומה קורה כשהוא חוצה אותו.
הקו הכהה מודד את רוחב הפרבולה בגובה 1. זה מה ש-a באמת עושה: ככל שהוא גדול יותר, הפרבולה צרה יותר. הקו המקווקו החיוור הוא תמיד y = x², לצורך השוואה.
עכשיו תפוס את הנקודה הכי נמוכה של הפרבולה — הקודקוד — וגרור אותה לאן שתרצה. הצורה לא משתנית בכלל; רק המקום. המספרים p ו-q בביטוי הם בדיוק הקואורדינטות של הנקודה שאתה מחזיק. זו הסיבה שצורת הקודקוד נוחה: היא אומרת לך איפה הפרבולה יושבת בלי שום חישוב.
שתי השורות למעלה תמיד מתארות את אותה עקומה. השנייה היא מה שיופיע בתרגיל; הראשונה היא מה שאתה רואה.
גרור את הפרבולה מעלה ומטה, ותסתכל על שתי הנקודות הכהות. הן מתקרבות זו לזו, נוגעות לרגע, ואז נעלמות. המספר D שמתחת סופר בדיוק את זה: כשהוא חיובי יש שתי נקודות, כשהוא אפס יש אחת, וכשהוא שלילי אין. אתה לא צריך לזכור את זה — אתה רואה את זה קורה.
הגרירה נדבקת לרגע שבו D = 0 — כדי שתספיק לראות אותו.
אותה עקומה בדיוק נכתבת בשתי דרכים. לחץ על המתג וראה: הכתב משתנה, הגרף לא זז אפילו פיקסל. זה כל הסיפור של "השלמה לריבוע" — לא הפכנו פונקציה לפונקציה אחרת, רק כתבנו אותה בצורה שמראה את הקודקוד. הנקודה האדומה בודקת את זה בשבילך: שני הביטויים נותנים בה את אותו מספר.
הקו המקווקו הכהה נוגע בפרבולה בשתי נקודות. עכשיו קצר את המרחק ביניהן עם הסרגל, ותראה את שתי הנקודות מתאחדות והקו מתייצב. המספר שהוא מתקרב אליו הוא בדיוק 2ax + b — וזו הנגזרת, לפני שקראת לה בשם. גרור את הנקודה בצבע הענבר לאורך העקומה כדי לראות איך השיפוע משתנה ממקום למקום.
משוך את הסרגל עד הסוף שמאלה: ההפרש בין שני המספרים שואף לאפס. זה כל הרעיון של גבול, ואפשר לראות אותו קורה.
יש לך 40 מטר גדר, ואתה רוצה לגדר חלקה מלבנית גדולה ככל האפשר. גרור את הצלע הימנית: המלבן משתנה, והנקודה בגרף שמשמאל מטפסת. הגרף הזה — שטח כפונקציה של רוחב — הוא בעצמו פרבולה, וזו הסיבה שיש מקסימום אחד ולא שניים. כשתגיע אליו, הוא יסמן את עצמו.
לפניך פרבולה ומשוואה, בלי שום סימון. גרור את הנקודה בצבע הענבר למקום שבו אתה חושב שנמצא הקודקוד, ואת שתי הכהות למקומות שבהם העקומה חוצה את הציר — ואז בדוק. לא נגמר לך תרגילים: כל לחיצה על "תרגיל חדש" מייצרת אחד אחר.