מאיפה הגיעה נוסחת השורשים

מצגת-גלילה לכיתות ט'–י'. הנוסחה שכולם משננים לא נופלת מהשמיים — היא ריבוע שחסרה לו פינה. גוללים, גוררים, ובסוף היא פשוט מופיעה.

1

חלקת אדמה, ובלי נוסחה אחת

נכנסים דרך שאלה שאפשר לפתור בידיים. בשלב הזה עוד אין x ואין משוואה.

לפני כאלף ומאתיים שנה, בבגדד, נשאלה שאלה כזאת: יש חלקה מרובעת, ולצידה רצועה ברוחב 10 אמות שנצמדת אליה לכל גובהה. יחד הן 39 אמות מרובעות. מה אורך צלע המרובע?

שטח המרובע4.0
שטח הרצועה20.0
יחד24.0
2.0 × 2.0 + 10 × 2.0 = 24.0
הסכום עכשיוהיעד: 39

גרור עד שהסכום יגיע בדיוק לסימון.

מצאת: 3. עכשיו השאלה האמיתית — איך היית מוצא את זה בלי לגרור? כל מה שבא מכאן הוא התשובה לשאלה הזאת.
2

חותכים את הרצועה לשניים

מהלך אחד בלבד, והוא לא משנה שום שטח. רק את הצורה.

הרצועה ברוחב 10 נחתכת לשתי רצועות ברוחב 5, ואחת מהן מוסטת מהצד למטה. השטח הכולל נשאר 39 — לא הוספנו ולא הורדנו כלום. קיבלנו צורה בצורת האות L.

x
הרצועה עדיין שלמה.
3

הפינה החסרה — גרור אותה למקום

כאן נמצא כל הסיפור. אם תשלים את הפינה, תקבל ריבוע שלם — וריבוע שלם אפשר לפתור.

ל-L חסרה פינה כדי להיות ריבוע. הפינה הזאת היא בדיוק 5 × 5 — כי כל אחת מהרצועות רוחבה 5. קח את הריבוע המסומן וגרור אותו לתוך החור.

x 5 5 5 × 5
צורת ה-L39
הפינה שהוספת—
הריבוע השלם—
צלע הריבוע השלם—

גרור את הריבוע לתוך החור המסומן בקו מקווקו.

הצלע של הריבוע הגדול היא x + 5, והיא יצאה 8.
לכן x = 8 − 5 = 3 — וזה בדיוק המספר שחיפשת בגרירה למעלה.
בדיקה: 3 × 3 + 10 × 3 = 9 + 30 = 39 ✓
4

עכשיו עם המספרים שלך

התרגול לא מחכה לסוף. בחר רצועה ושטח משלך, וראה את אותם ארבעה צעדים רצים עליהם.

הרוחב 10 והשטח 39 לא היו מיוחדים. תן מספרים אחרים — הציור יזוז איתם.

חצי מהרוחב5
הפינה החסרה25
הריבוע השלם64
הצלע8

x = 8 − 5 = 3

x בריבוע שני חצאי הרצועה הפינה שמשלימים
5

אותו ציור, באותיות

כאן אין מה לגרור. ההפשטה נקראת, לא משוחקת — ולכן היא טקסט וציור קבוע.
x² (b/2)·x (b/2)·x (b/2)² x + b/2 x + b/2

שני המלבנים האפורים הם יחד b·x, כי כל אחד מהם הוא (b/2)·x.

הפינה המסומנת היא תמיד (b/2)² — לא משנה מה x.

והצלע של הריבוע הגדול היא תמיד x + b/2.

x² + b·x + (b/2)² = c + (b/2)²
(x + b/2)² = c + (b/2)²

זה כל התרגיל. כל מה שנשאר הוא לסדר אותיות.

6

והנוסחה — צעד אחד בכל לחיצה

אותו מהלך בדיוק, על המשוואה הכללית. לכל שורה יש משפט אחד שמסביר למה מותר.

עד עכשיו המקדם של x² היה 1, והמספר החופשי עבר צד. בכיתה כותבים את זה כך: a·x² + b·x + c = 0. אותו ציור בדיוק — רק שקודם מחלקים הכול ב-a.

  1. a·x² + b·x + c = 0מכאן מתחילים.
  2. x² + (b/a)·x + c/a = 0מחלקים הכול ב-a, כדי שהמקדם של x² יהיה 1 — בדיוק כמו בציור.
  3. x² + (b/a)·x = −c/aמעבירים את המספר החופשי לצד השני — כמו שהשטח 39 ישב לבדו.
  4. x² + (b/a)·x + (b/2a)² = −c/a + (b/2a)²משלימים את הפינה החסרה. מוסיפים אותה לשני האגפים, כי מוסיפים לשניהם אותו דבר.
  5. (x + b/2a)² = (b² − 4ac) / 4a²משמאל יש ריבוע שלם. מימין פשוט חיברנו שני שברים.
  6. x + b/2a = ±√(b² − 4ac) / 2aמוציאים שורש. מספר שהריבוע שלו ידוע יכול להיות חיובי או שלילי — ומכאן שני הפתרונות.
  7. x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) / 2aמעבירים אגף. זו הנוסחה — ובנית אותה בעצמך.
שלב 1 מתוך 7
7

מה שלא יכולת לעשות בשלב 1

שם גררת עד שהגעת ל-39. כאן מקלידים שלושה מספרים ומקבלים תשובה מיד — וגם רואים אותה.
a b c x² + 10x − 39 = 0
שורש ראשון3
שורש שני−13

8

ומה אם הפינה גדולה מהריבוע?

הסוף אינו סיכום. זו השאלה הבאה, והיא נפתחת מתוך אותו ציור.

בציור, (x + 5)² יצא 64 — שטח של ריבוע אמיתי. אבל אם המספר החופשי גדול מדי, האגף הימני יוצא שלילי. גרור וראה מה קורה.

(x + 5)² = 64

השאלה שנשארת פתוחה: אין ריבוע ששטחו שלילי — לא על נייר ולא באדמה. ובכל זאת, מתמטיקאים לא מחקו את השורה הזאת; הם שאלו מה יקרה אם בכל זאת נמשיך. התשובה שלהם היא מספר חדש לגמרי, שאותו לומדים בשנה הבאה.

ושאלה שאפשר לנסות כבר עכשיו: בציור, הפינה החסרה תמיד ריבוע. מה היה משתנה אילו הרצועה נחתכה לשלושה חלקים במקום לשניים?

בדיקה עצמית של הדף: רץ…

אב-טיפוס פנימי. כל התרגילים, הניסוחים והקוד נכתבו כאן במיוחד. הבעיה בשלב 1 היא בעיה היסטורית קלאסית (אל-ח'ואריזמי, המאה ה-9) — הניסוח שלנו.