משתנה מקרי גיאומטרי

התפלגות גיאומטרית

נתון, שההסתברות שלו לקלוע בזריקה בודדת היא 0.9. ומכאן, ההסתברות להחטאה היא 0.1.

1. ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך 1 היא ההסתברות שהכדורסלן יקלע כבר בזריקה הראשונה (0 החטאות). ההסתברות לכך היא 0.9.
2. ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך 2 מתקבלת ממכפלה של:
   • ההסתברות להחטאה אחת – 0.1.
   • ההסתברות לקליעה – 0.9.

   והתוצאה: (0.9*0.1=)0.09

3. ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך 3 מתקבלת ממכפלה של:
   • ההסתברות להחטיא את 2 הזריקות הראשונות ברצף – (0.1*0.1=)0.01
   • ההסתברות לקליעה אחת – 0.9.

   והתוצאה: (0.9*0.01=)0.009

4. ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך k מתקבלת ממכפלה של:
   • ההסתברות להחטיא את 1–k הזריקות הראשונות ברצף (שהיא 0.1^(k-1))
   • ההסתברות שיקלע בזריקה ה-k-ית (שהיא 0.9).

   והתוצאה: 0.1^(k-1)*0.9=0.0009

משתנה שמתפלג באופן כזה נקרא משתנה מקרי גאומטרי.

באופן כללי: אם ההסתברות להצלחה בנסיון יחיד היא P (וההסתברות לכשלון P-1), אז ההסתברות לקבלת ערך k היא (1-P)^(k-1)*P

בדוגמה שלנו, k מסמל את מספר הזריקות לסל.

טבלת ההתפלגות בדוגמה זו היא:

הטבלה היא אינסופית.

חישוב התוחלת של משתנה מקרי גאומטרי

את התוחלת ניתן לחשב בשני מהלכים:

מהלך 1- הכפלת כל ערך בהסתברות לקבלתו.

מהלך 2- סכום המכפלות הנ"ל.

אך היות והערכים מגיעים לאינסוף, לא נוכל לעולם להשלים את מהלך 1.

למזלנו, מתמטיקאים מצאו דרך קצרה ופשוטה לחשב את הסכום האינסופי הזה. והיא: 1 חלקי ההסתברות להצליח בזריקה בודדת.

בדוגמה שלנו התוחלת היא: 1/0.9=1(1)/(9).

חישוב השונות של משתנה מקרי גאומטרי

גם עבור השונות נשתמש בנוסחה קצרה ופשוטה שהמתמטיקאים פיתחו והיא: ההסתברות להחטיא (=1 פחות ההסתברות להצליח), חלקי ריבוע ההסתברות להצליח.

בדוגמה שלנו:

השונות היא: [1/0.9^2=]0.123457

סטית התקן (=שורש השונות) היא: sqrt(0.123457=)0.3514.