משתנה מקרי אחיד

התפלגות אחידה

התפלגות אחידה היא התפלגות שבה קיים סיכוי זהה לקבל את כל אחד מערכי המשתנה המקרי.

• דוגמה 1 – מתייחסת להטלת קובייה
  • נגדיר משתנה מקרי שהוא: המספר המתקבל בזריקת קובייה. המשתנה המקרי הזה יכול לקבל 6 ערכים (=6 תוצאות אפשריות). הסיכוי לקבל כל ערך הוא `1/6`.
  • היות וערכי המשתנה המקרי הם מספרים שלמים (מ 1 עד 6) זוהי התפלגות בדידה (משתנה מקרי בדיד). במקרים רבים הערכים בהתפלגות אחידה הם גם מספרים עוקבים.
• דוגמה 2 – מתייחסת ל-8 שחיינים בעלי אותה רמה
  • 8 שחיינים בעלי אותה רמת שחייה מתחרים ביניהם. החולצות שלהם ממוספרות מ 1 עד 8. המשתנה המקרי בדוגמה זו יהיה: מספר החולצה המנצחת.
  • המשתנה המקרי יכול לקבל את הערכים 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. ההסתברות לקבל כל ערך היא זהה, כי הם בעלי אותה רמה.
• דוגמה 3 – מתייחסת לסביבון
  • מסובבים סביבון שעליו מופיעים המספרים 7, 8, 9, 10. נגדיר משתנה מקרי שהוא המספר המתקבל שהסביבון נופל. קיימת הסתברות שווה לקבל כל אחד מ 4 ערכי ההתפלגות שהיא `1/4`.

חישוב התוחלת של משתנה מקרי בדיד שהתפלגותו אחידה

נחשב את התוחלת של כל אחד מהמשתנים המקריים בשלוש הדוגמאות שהצגנו לעיל, בעזרת טבלת התפלגות של כל משתנה מקרי:

1. מהלך 1- אנו כופלים כל ערך בהסתברות לקבלתו.
2. מהלך 2- מסכמים את התוצאות שהתקבלו במהלך 1. תוצאת הסיכום היא התוחלת.

חישוב התוחלת של כל אחד מהמשתנים הנ"ל מוצג בטבלה:

• תוצאת הקובייה: 3.5
• השחיין המנצח: 4.5
• תוצאת הסביבון: 8.5

חישוב התוחלת בדרך פשוטה וקצרה (בהתפלגות אחידה ובדידה)

נלמד נוסחה קלה לחשב את התוחלת כאשר מדובר במשתנה מקרי בדיד שהתפלגותו אחידה: התוחלת היא הממוצע של 2 הערכים בקצוות. הערך הנמוך ביותר והערך הגבוה ביותר.

• בדוגמת הקוביה: `(1+6)/2=3.5`
• בדוגמת השחיינים: `(1+8)/2=4.5`
• בדוגמת הסביבון: `(7+10)/2=8.5`

חישוב סטיית התקן של משתנה מקרי בדיד שהתפלגותו אחידה

סטיית התקן היא שורש השונות. לכן, נחשב תחילה את השונות.

1. מהלך 1- מעלים בחזקה את הפער שבין כל ערך לתוחלת, וכופלים את התוצאה בהסתברות לקבלת הערך.
2. מהלך 2- מסכמים את התוצאות שהתקבלו במהלך 1. התוצאה היא השונות.

חישוב השונות בכל אחד מהמשתנים הנ"ל מוצג בטבלה:

• תוצאת הקובייה: `sqrt(2(11)/12)=1.708`
• השחיין המנצח: `sqrt(5.252)=2.291`
• תוצאת הסביבון: `sqrt(1.25)=1.118`

נוסחה מקוצרת לחישוב השונות

מעלים בריבוע את מספר הערכים האפשריים של המשתנה המקרי, מפחיתים 1, ואת התוצאה מחלקים ב-12: `(n^2-1)/12`

• בדוגמת הקוביה: `(6^2-1)/12=35/12=2(11)/12`
• בדוגמת השחיינים: `(8^2-1)/12=63/12=5.25`
• בדוגמת הסביבון: `(4^2-1)/12=15/12=1.25`

כדי למצוא את סטיית התקן יש להוציא שורש לשונות.