משתנה מקרי נורמלי

התפלגות נורמלית

משתנה מקרי נורמלי הוא משתנה מקרי רציף, שכן הוא יכול לקבל רצף של ערכים. הנושא נלמד בספר "סטטיסטיקה למתחילים". בספר זה נרענן את המונחים העיקריים.

1. שמות וסימולים

1. להתפלגות נורמלית אנו קוראים גם פעמון (מכיוון שגרף ההתפלגות הוא בצורת פעמון).
2. סימול ההתפלגות הנורמלית: (N(μ,σ
   • μ – תוחלת.
   • σ – סטיית תקן (ס"ת).

   לדוגמה התפלגות בעלת תוחלת 10 וס"ת 3 תסומל: (N(10,3).

3. μ+Zσ – ערך הנמצא במרחק Z ס"ת מעל התוחלת.
   
   μ-Zσ – ערך הנמצא במרחק Z ס"ת מתחת לתוחלת.

2. שטחים מציינים הסתברות

1. כל שטח הפעמון מסתכם ב- 1 או 100%.
2. שטח ההתפלגות הכלוא בתחום כלשהו מציין את ההסתברות לקבלת ערך כלשהו באותו תחום.

3. תכונות משותפות לכל הפעמונים

ערכים בפעמונים שונים שמרחקם בס"ת מהתוחלת שווה, גם השטחים הכלואים משמאלם שווים.

דוגמאות:

בתרשים 2.32 מתוארות שתי התפלגויות נורמליות בעלות סטיית תקן שונה (בתרשים השמאלי סטיית התקן קטנה יותר) ב- 2 הפעמונים שבתרשים, מסתכם השטח הכלוא משמאל לערכים [μ+1σ] (שטחים α ו- β) ב- 0.8413 (84.13% משטח הפעמון).

תרשים 2.32

בתרשים 2.33 מתוארות שתי התפלגויות נורמליות בעלות סטיית תקן שונה (בתרשים השמאלי סטיית התקן קטנה יותר). ב- 2 הפעמונים שבתרשים, מסתכם השטח הכלוא משמאל לערכים [μ-1σ] (שטחים 'α ו- 'β) ב- 0.3085 (30.85% משטח הפעמון).

תרשים 2.33

4. תכונות הנובעות מהסימטריות של הפעמון

השטח הכלוא בתחום שבין התוחלת לכמות כלשהי של ס"ת מעליה (מימין), שווה לשטח הכלוא בתחום שבין התוחלת לאותה כמות של ס"ת מתחתיה (משמאל). במילים אחרות, השטח שבין μ ל-[μ+1σ] שווה לשטח בתחום שבין μ ל-[μ-1σ]. כל אחד מהשטחים מהווה 43.13% מההתפלגות.

5. נקודות ציון חשובות

40% משטח ההתפלגות כלוא בתחום שבין התוחלת ל- 1.28 ס"ת מכל צד שלה. מכאן, שהשטח בתחום שבין [μ-1.28σ] לבין [μ+1.28σ] מהווה 80% משטח הפעמון.

45% בתחום שבין התוחלת ל- 1.64 ס"ת מכל צד. מכאן, שהשטח בתחום שבין [μ-1.64σ] לבין [μ+1.64σ] מהווה 90% משטח הפעמון.

47.5% משטח ההתפלגות כלוא בתחום שבין התוחלת ל- 1.96 ס"ת מכל צד. מכאן, שהשטח בתחום שבין [μ-1.96σ] לבין [μ+1.96σ] מהווה 95% משטח הפעמון.

איור 2.34

6. פעמון סטנדרטי

פעמון סטנדרטי הוא פעמון שהפרמטרים שלו הם μ=0, σ=1. סימולו (N(0,1. בפעמון סטנדרטי כל 1 יח' ערך על ציר ה- x שווה ל- 1 ס"ת. כלומר: [σ=1 יח'].

הערך 2 מרוחק 2 ס"ת מהתוחלת (מצד ימין) והערך 3- מרוחק 3 ס"ת מהתוחלת (מצד שמאל).

אם לדוגמה במדינה א' הטמפרטורה מתפלגת בצורת פעמון סטנדרטי (N(0,1 כפי שמוצג בתרשים 2.35 אזי 1⁰ מרוחקת 1 ס"ת מהתוחלת ו- 3⁰ מרוחקת 3 ס"ת מהתוחלת.

בפעמון סטנדרטי לא צריך לחשב את המרחק בס"ת של ערך כלשהו מהתוחלת (לתקנן), שכן הערך עצמו נוקב במרחק שלו בס"ת מהתוחלת.

תרשים 2.35 – התפלגות הטמפרטורה במדינה א'

7. טבלת הפעמון הסטנדרטי

הטבלה נוקבת בשטח הכלוא משמאל לכל ערך בפעמון הסטנדרטי. כאמור כל ערך נוקב במרחק שלו מהתוחלת.

8. תִקְנוּן

תקנון היא הפעולה שבאמצעותה מחשבים בפעמון לא סטנדרטי את המרחק בס"ת של ערך כלשהו מהתוחלת. התקנון נעשה באמצעות הנוסחה: Z=(X-μ)/σ.
כאשר Z הוא הערך לאחר התקנון (נקרא ציון התקן), ו-X הוא הערך שאותו מתקננים.

דוגמה

בהתפלגות שבה μ=10 ו- σ=2 ציון התקן של הערך 14 הוא: (14-10)/2 = 2.

ציון התקן של הערך 2 הוא: (2-10)/2 = -4.

פרשנות

הערך 14 נמצא במרחק של 2 ס"ת מעל התוחלת.

הערך 2 נמצא במרחק של 4 ס"ת מתחת לתוחלת.

תרשים 2.37

9. חישוב שטחים הכלואים משמאל לערך כלשהו בפעמון לא סטנדרטי

1. מחשבים את ציון התקן של הערך.
2. מוצאים את השטח הכלוא משמאל לציון התקן בעזרת טבלת הפעמון הסטנדרטי.

10. חישוב שטחים הכלואים בתחום כלשהו

חישוב השטח הכלוא בתחום כלשהו נעשה באמצעות פעולת חיסור. אנו מוצאים את השטח הכלוא עד לקצה הימני של התחום ומחסירים ממנו את השטח הכלוא עד תחילת התחום.

לדוגמה, נחשב את השטח שבין [μ+1σ] ל- [μ+2σ]:

תרשים 2.38