שאלה 1

בלול תרנגולות מסויים 40% מהביצים הן בגודל 1 והשאר בגודל 2. בתוך תבנית ביצים מסודרות 30 ביצים שנבחרו באופן מקרי מלול זה.

1. מהי ההסתברות שיהיו בתבנית בדיוק 15 ביצים בגודל 1?
2. מהי ההסתברות שיהיו בתבנית לפחות 15 ביצים בגודל 1?

פתרון שאלה 1

הקדמה

כל בחירה של ביצה לשם הכנסתה לתבנית מהווה ניסוי. מכיוון ש- 40% מהביצים הן בגודל 1, ההסתברות להצלחה היא 0.4 וההסתברות לכשלון היא 0.6. אנו מבצעים 30 ניסויים זהים.

סעיף א'

חישוב ההסתברות לקבל בדיוק 15 הצלחות

1. חישוב מספר הצירופים האפשריים: 155,117,520
2. חישוב ההסתברות של צירוף אפשרי בודד: 0.4^15 * 0.6^15 = 5.049 * 10^-10
3. הפתרון: 155,117,520 * 5.049 * 10^-10 = 0.0783

סעיף ב'

1. בדיקת קיום התנאים לדמיון עם התפלגות נורמלית
   • תנאי 1: 12 = 30 * 0.4 . התנאי מתקיים כי 5 < 12 .
   • תנאי 2: 18 = 30 * 0.6 . התנאי מתקיים כי 5 < 18.
2. חישוב התוחלת, השונות וס"ת
   • התוחלת: 12 = 30 * 0.4
   • השונות: 18 = 30 * 0.6
   • ס"ת: 2.683 = sqrt(7.2)
3. תקנון הערך 15: (15-12)/2.683 = 1.1
4. מציאת השטח שמשמאל ל- 15, ע"י חיפוש ציון התקן 1.1 בטבלת ההתפלגות הנורמלית. התוצאה 0.8643.
5. מציאת השטח שמימין ל-15 (כי השאלה היא שיהיו לפחות 15 ביצים, כלומר מ-15 ומעלה): 0.1357 = 0.8643 – 1

לסיכום: ההסתברות שבתבנית יהיו לפחות 15 ביצים בגודל 1 היא (בקירוב) 0.1357.

שאלה 2

רמי ניגש למבחן שבו יש 10 שאלות. לכל שאלה יש 4 תשובות אפשריות שמהן רמי צריך לבחור את התשובה הנכונה. יש רק תשובה נכונה אחת לכל שאלה:

1. אם רמי עונה על השאלות באופן מקרי, מה ההסתברות שהוא יענה נכון בדיוק על 2 שאלות?
2. מהי התוחלת של מספר התשובות הנכונות? מהי השונות? מהי סטיית התקן?
3. האם להתפלגות הבינומית הנ"ל יש דמיון להתפלגות נורמלית?
4. מה ההסתברות שרמי יפתור לכל היותר 2 שאלות?

פתרון שאלה 2

הקדמה

כל תשובה במבחן מהווה ניסוי שבו:

• הסיכוי להצלחה הוא: 0.25.
• הסיכוי לכישלון הוא: 0.75.
• מספר הניסויים: 10.

סעיף א'

צריך לחשב הסתברות לקבלת ערך מסויים. לשם כך, ניעזר במחשבון:

1. חישוב מספר הצירופים האפשריים: 45
2. חישוב ההסתברות של צירוף אפשרי בודד: 0.25^2 * 0.75^8 = 0.006257
3. הפתרון: 45 * 0.006257 = 0.2816

סעיף ב'

חישוב התוחלת: 10 * 0.25 = 2.5

משמעות התוחלת היא שבממוצע רמי יענה נכון על 2.5 שאלות (¼ מהשאלות).

חישוב השונות: 2.5 * 0.75 = 1.875

חישוב סטיית התקן: 1.369 = sqrt(1.875)

סעיף ג'

בחינת התנאים לדמיון:

• תנאי 1: 10 * 0.25 = 2.5 . התנאי לא מתקיים כי 5 > 2.5.
• תנאי 2: 10 * 0.75 = 7.5 . התנאי מתקיים כי 5 < 7.5.

המסקנה: אין דמיון. מספיק שאחד התנאים לא מתקיים כדי שלא ייווצר דמיון.

סעיף ד'

ההסתברות לפתור לכל היותר 2 שאלות שווה ל:

[ההסתברות לפתור בדיוק 0 שאלות + ההסתברות לפתור בדיוק 1 שאלה + ההסתברות לפתור בדיוק 2 שאלות].

לא נוכל להשתמש בקירוב להתפלגות הנורמלית, כי ראינו בסעיף ג' כי אין דמיון.

אבל, במקרה זה, החישוב הרגיל איננו כל כך ארוך.

את ההסתברות לפתור בדיוק 2 שאלות כבר חישבנו. התוצאה: 0.2816.

נחשב את שאר ההסתברויות (בעזרת מחשבון).

ההסתברות לפתור בדיוק 1 שאלה:

1. חישוב מספר הצירופים האפשריים: 10
2. חישוב ההסתברות של צירוף אפשרי בודד: 0.25^1 * 0.75^9 = 0.01877
3. הפתרון: 10 * 0.01877 = 0.1877

ההסתברות לפתור בדיוק 0 שאלות:

1. חישוב מספר הצירופים האפשריים: 1
2. חישוב ההסתברות של צירוף אפשרי בודד: 0.25^0 * 0.75^10 = 0.0563
3. הפתרון: 1 * 0.0563 = 0.0563

נסכם את ההסתברויות להצלחה ב-0 שאלות, ב-1 שאלה, וב-2 שאלות:

0.0563 + 0.1877 + 0.2816 = 0.5256

ולכן, ההסתברות שרמי יפתור לכל היותר 2 שאלות היא 0.5256.