חזית יעילה משופרת — מודל CAPM

חזית יעילה משופרת (מודל CAPM – Capital Asset Pricing Model)

נכיר תחילה 2 מונחים חדשים, בליווי תרשים 16: (1) קו שוק ההון – CML (Capital Market Line): CML הוא קו היוצא מהנקודה rf ומשיק לחזית היעילה. (2) סל השוק (m): הסל שבנקודת ההשקה (של CML עם החזית היעילה) נקרא סל השוק, וסימולו m (קיצור של Market). סל השוק הוא סל תיאורטי שהרכבו לא ידוע, אך מקובל בכל מדינה לייחס אותו לסל מניות מוביל בה — כגון S&P ו-DJ (בארה"ב), Nikkei (יפן), Dax (גרמניה) וכיו"ב — או לחילופין לסל מניות כלל-עולמי. ישנם המייחסים את סל השוק לסל המכיל את כל המניות בשוק בהרכב כלשהו, על פי שווי השוק שלהן.

כל נקודה על CML, כפי שתיווכחו מההסבר בהמשך, מייצגת תיק השקעות שמכיל שני מרכיבים: סל השוק (m) ונכס חסר סיכון (rf). ההרכב הפנימי שלהם משתנה מנקודה לנקודה על CML. תיקי ההשקעות הממוקמים על CML הופכים להיות חלופה משופרת לחזית היעילה, למעט סל השוק עצמו (m) שמשותף לשניהם.

תיקים יעילים ומימונם

לכל תיק על קו CML נקרא "תיק יעיל". נתייחס ל-3 נקודות על קו CML (תרשים 16): נקודה rf – מייצגת תיק יעיל שמכיל 100% מ-rf ו-0% מ-m. נקודה M – מייצגת תיק יעיל שמכיל 0% מ-rf ו-100% מ-m. נקודה A – מייצגת תיק יעיל שמכיל rf ו-m ביחס פנימי כלשהו ביניהם. אנו מניחים שכל התיקים היעילים בתחום שבין rf ל-m ממומנים באמצעות הון עצמי; ההון העצמי מהווה 100% מההשקעה בתיק היעיל, והוא מתחלק בין 2 המרכיבים בהתאם להרכב הפנימי שלהם. נקודה F, הממוקמת מימין ל-M, מייצגת תיק יעיל שמרכיב סל השוק (m) בו גדול מההון העצמי — כלומר ההשקעה בסל השוק גדולה מ-100%. אנו מניחים שסך ההשקעה שמעבר ל-100% בסל השוק ממומן באמצעות הלוואה שהתשואה וסטיית התקן שלה משתווים לאלו של rf. נקודה למחשבה: ככל שאנו משקיעים יותר ויותר כסף בסל השוק (M) על חשבון השקעה בנכס חסר סיכון (rf), אנו למעשה זזים ימינה על גבי קו ה-CML.

משקיעים נועזים

למשקיעים שמחזיקים בתיק יעיל שמרכיב סל השוק בו גדול מ-100% נקרא בהמשך משקיעים נועזים.

הבחנה בין משקיעים רגילים למשקיעים נועזים

אצל משקיעים רגילים ההשקעה בתיק יעיל ממומנת מהון עצמי בלבד (תרשים 17): התיק היעיל = הון עצמי 100%, המתחלק בין סל השוק לבין נכס חסר הסיכון (rf), ובסך הכול 100%. אצל משקיעים נועזים, התיק היעיל — שמומן בחלקו בהלוואות — מכיל רק את תיק השוק (m). אנו מניחים כאן כי ריבית חסרת הסיכון זהה ללווים ולמלווים, ושווה ל-rf. בתיק זה ההשקעה ב-rf היא שלילית — כלומר לא מלווים למישהו אלא לווים ממישהו כדי להגדיל את ההשקעה בתיק השוק מעבר להון העצמי. תרשים 18 מציג דוגמה כיצד ההון העצמי וההלוואות מממנים את התיק היעיל: התיק היעיל = הון עצמי 100% + הלוואות 40% = סל השוק 140%. התייחסות לאחוזים: האחוזים המתלווים להלוואות ולסל השוק מתבססים על כך שסכום ההון העצמי מוגדר כ-100%. אם, לדוגמה, סכום ההון העצמי הוא 1,000 ש"ח, אזי: הלוואות 40% = 400 ש"ח, וסל השוק 140% = 1,400 ש"ח. המשמעות היא שבסל השוק יושקעו 1,400 ש"ח — 1,000 ש"ח מההון העצמי ו-400 ש"ח מהלוואות.

כל התיקים היעילים ממוקמים על קו CML

ההוכחה: ההסבר לכך שכל תיק יעיל (שמכיל m ו-rf) חייב להימצא על הקו הישר CML הוא פשוט, ומבוסס על 2 המשוואות לחישוב תוחלת וסטיית תקן של תיק השקעות המכיל נכס חסר סיכון (אם הריבית למלווים וללווים שונה, קו CML ייראה אחרת):

נבודד בנוסחה 2 את W_m ונקבל: W_m = σ_p ÷ σ_m. נציב במשוואה 1 במקום W_m, ונקבל לאחר עיבוד קצר את משוואה 3:

משוואה 3 מייצגת קו ישר במישור סיכון-תוחלת, ששני הפרמטרים שלו זהים לקו CML: (1) נקודת החיתוך היא rf; (2) השיפוע הוא (E(m) − rf) ÷ σ(m), ובתרשים 19 מומחש השיפוע של קו CML. הנתונים σ(m)=0.08, E(m)=0.12 ו-rf=0.10 תמיד ידועים, ולפיכך משוואת קו CML ידועה.

לדוגמה, כאשר E(m)=0.12, σ(m)=0.08 ו-rf=0.10, משוואת הקו היא:

במשוואה זו התוחלת (E(P)) היא פונקציה של הסיכון (σ(P)). הנוסחה מאפשרת לנו לחשב מהי התשואה שתתקבל בתיק יעיל בכל רמת סיכון שנבחר.

שיפוע CML מכונה: פרמיית סיכון

שיפוע CML נוקב באחוזי התשואה המתווספים לתיק בעקבות תוספת של 1% לסיכון שלו. כלומר, תוספת התשואה מייצגת את הפרמיה הנדרשת עבור כל גידול של 1% בסיכון.

הבחנה בין אחוזים לנקודות אחוז

כאשר התשואה גדלה מ-5% ל-6%, אזי: הגידול באחוזים הוא (6−5)/5 · 100 = 20%; הגידול בנקודות אחוז הוא 1 נקודת אחוז (השווה לפער בין האחוזים בשני המועדים, [6% − 5%]). שיפוע CML ופרמיית הסיכון מקבלים ביטוי בנקודות אחוז: כאשר השיפוע הוא 2, המשמעות היא שעבור גידול של 1 נקודת אחוז בסיכון, המשקיעים מקבלים גידול של 2 נקודות אחוז בתשואה.

השימוש המעשי ב-CML

כל משקיע בוחר בתיק יעיל שרמת הסיכון בו נושקת לטעמו, ובהתאם לה הוא מחשב את התוחלת שהתיק היעיל יניב לו. לדוגמה, אם הנוסחה של CML היא E(p) = 0.04 + 0.25·σ(p), והמשקיע בוחר להשקיע בתיק יעיל שרמת הסיכון בו היא 5% (כלומר σ(p) = 0.05), אזי:

כלומר תשואה של 5.25%. אם הוא יוריד את רמת הסיכון ל-3% (σ(p) = 0.03), התיק יניב לו תשואה של 4.75%.

משקיעים פשוטים ומשקיעים נועזים – הרחבה

טבלה 10 מציגה נתונים לגבי 4 משקיעים: 2 רגילים ו-2 נועזים. הטבלה מפרטת את ההון העצמי ההתחלתי של כל משקיע, את הרכב התיק היעיל שלו, ואצל הנועזים גם את סכום ההלוואה שקיבלו. לצורך הפשטות הנחנו שההון העצמי של כולם הוא 1,000 ש"ח. הערות: (1) משקיעים נועזים אינם משקיעים בנכס חסר סיכון rf — אין הצדקה כלכלית לקחת הלוואה כדי להשקיע ב-rf, שכן עלות ההלוואה שווה לרווח הצפוי ממנה (הנחנו שהפרמטרים של ההלוואה שווים לאלו של rf). (2) אצל הנועזים, בטור rf, ה-% הוא בסימן מינוס — ההשקעה שלהם ב-rf שלילית, שכן הם קיבלו הלוואה, וזה ההיפך מהשקעה ב-rf.

חישוב התוחלת וסטיית תקן בתיק היעיל של הנועזים

הנועזים הם משקיעים ג' ו-ד' שהרכב התיק שלהם מפורט בטבלה 10. החישוב מתבסס על הנוסחאות המותאמות למשקיעים פשוטים (טבלה 11, שורה ראשונה), אלא שלגבי נועזים: (1) המשקל של סל השוק, W(m), יהיה בהתאם ליחס שבין סל השוק לבין ההון העצמי; (2) המשקל של rf, W(rf), יהיה בהתאם ליחס שבין סכום ההלוואה לבין ההון העצמי, אך בסימן מינוס. טבלה 11 מדגימה את דרך חישוב הפרמטרים בתיקי ההשקעות של ג' ו-ד', כשהפרמטרים של m ו-rf הם כדלקמן:

טבלה 11 — חישוב הפרמטרים של משקיעים ג' ו-ד':

מסקנה: ככל שהמשקיע מגדיל את היחס שבין סל השוק להונו העצמי, גדלים במקביל גם התשואה וגם הסיכון, כפי שניתן לראות מטבלה 12 המרכזת את השקעותיהם של כל ארבעת המשקיעים (חלק מהנתונים עליכם למצוא בעצמכם):