סטטיסטיקה — הצגת הנתונים

סקר שילווה אותנו לכל אורך הפרק

סטודנט לסוציולוגיה ערך סקר אנונימי במשרד של סוכן ביטוח גדול המעסיק 30 עובדים. כל עובד נתבקש למלא שאלון בן 5 שאלות:

בחברה אין עובדים שצעירים מגיל .20 כל מי שלא עבר את יום ההולדת השלושים שייך לקבוצה 20- .30 מי שעבר את יום ההולדת השלושים, אפילו ביום אחד, אך עדיין לא הגיע לגיל ,40 שייך לקבוצה 40-.30 מי שיום הולדתו העגול )30,40,50 וכו'( חל בדיוק ביום מילוי השאלון, התבקש לשייך את עצמו לאפשרות הצעירה יותר. למשל, עובד שבדיוק ביום מילוי השאלון הוא בן ,30 יסמן 30-20 ולא 40-.30

הנתונים הגולמיים

הסטודנט ערך את התשובות לשאלונים בטבלה הבאה באופן מקרי:

כל שורה בטבלה זו נקראת תצפית . אוסף כל התצפיות נקרא מדגם . הטבלה הזו היא המדגם. במקרה זה המדגם מכיל 30 תצפיות. האינפורמציה המצויה במדגם היא מפורטת מאוד ועמוסה מאוד בפרטים. כאשר הסטודנט ירצה לחקור,למשל, רק את סעיף המין של העובדים, הוא יעדיף לערוך טבלה חדשה, קצרה יותר ואינפורמטיבית יותר, כפי שנראה מיד.

התייחסות למין של העובדים

כאשר הסטודנט יחקור את המין של העובדים הוא יערוך טבלה כדוגמת הטבלה הבאה:

בטבלה זו המין הוא המשתנה הנחקר. מדוע משתנה? מכיוון שהמין הוא תכונה שאיננה קבועה אצל כל העובדים אלא משתנה מעובד לעובד. עובד יכול להיות "גבר" או "אשה", או בשפה מקצועית יותר: משתנה המין יכול לקבל שני ערכים: "גבר" ו – "אשה". הטבלה שלעיל נקראת טבלת שכיחויות. יש בה שלושה טורים: * בטור הראשון מופיעים הערכים שיכול לקבל המשתנה הנחקר: "גבר" או "אשה". * בטור השני תופיע השכיחות של כל ערך: מול הערך "גבר" יופיע מספר הגברים במשרד ומול הערך "אשה" יופיע מספר הנשים במשרד. * בטור השלישי תופיע השכיחות היחסית של כל ערך באחוזים: בשורה של הגברים יופיע אחוז הגברים מכלל העובדים במשרד, ובשורה של הנשים יופיע אחוז הנשים מכלל העובדים במשרד. לפי טבלה זו במשרד עובדים 8 גברים והם מהווים %27 מכלל העובדים במשרד. מספרן של הנשים גדול יותר, ,22 והן מהוות %73 מכלל העובדים במשרד. בטבלת שכיחויות נהוג להוסיף שורה נוספת )השורה האחרונה( שבה יופיעו הסיכומים של הטורים. נעיר כי במקרה של המין אין חשיבות לסדר הרישום בטבלה והסטודנט היה יכול לכתוב את הנשים בשורה הראשונה ואת הגברים בשניה. את טבלת השכיחויות ניתן להציג באופן ויזואלי באמצעות דיאגרמת עוגה:

הדיאגרמה נקראת דיאגרמת עוגה על שום צורתה העגולה. כל ערך )נשים או גברים( מקבל שטח בעוגה לפי השכיחות היחסית שלו. במקרה שלנו הגברים מקבלים %27 מהשטח )ואכן רואים שהגברים מקבלים קצת יותר מרבע עוגה( והנשים מקבלות את %73 הנותרים. הדיאגרמה והטבלאות עונות לנו על השאלה: מהי ההתפלגות של המין בקרב עובדי המשרד? ההתפלגות היא האופן שבו מתחלקים עובדי המשרד לגברים ונשים. במשרד אחר, למשל, היתה יכולה להיות התפלגות אחרת.

התייחסות למצב המשפחתי של העובדים

אותו תהליך של ארגון נתונים ניתן לעשות גם על סעיף המצב המשפחתי. כלומר, לבדוק את ההתפלגות של המצב המשפחתי בקרב עובדי המשרד. גם המצב המשפחתי הוא משתנה שבו אין חשיבות לסדר. משתנה המצב המשפחתי יכול לקבל את הערכים "גרוש", "נשוי", "רווק" ו"אלמן", כאשר הסדר ביניהם איננו חשוב. לפיכך, נבנה טבלת שכיחויות באופן הבא: )1( בטור הראשון נכתוב את הערכים הנ"ל )גרוש, נשוי,רווק,אלמן( בכל סדר שנחפוץ – זהו טור הערך. )2( בטור השני נכתוב עבור כל ערך את השכיחות שלו )מספר העובדים( – זהו טור השכיחות. )3( נחשב עבור כל ערך את החלק שהוא מהווה מכלל כמות הנתונים. )4( בטור השלישי נכתוב בו את תוצאות החישוב של סעיף )3( – זהו טור השכיחות היחסית. שני הטורים הראשונים:

חישוב השכיחויות היחסיות: עבור רווק/רווק :

עבור אלמן/אלמנה:

עבור גרוש/גרושה:

עבור נשוי/נשואה:

עבור הקבוצה האחרונה )נשוי/נשואה( ניתן לחשב גם באמצעות השלמה ל – %100: סכום ולמצוא את האחוזים של כל הקבוצות הראשונות הוא ולכן כדי להשלים

ל – %100 האחוזים של הקבוצה האחרונה יש לחסר .

בשל בעיות עיגול מספרים יש הבדל קטן בין שני החישובים: בראשון קיבלנו %63.33 ובשני %.63.34 אנחנו נעדיף את השני כדי שכל השכיחויות היחסיות יסתכמו ל – %100 בדיוק. כעת נוסיף את החישובים כטור שלישי בטבלה ונקבל את טבלת השכיחויות:

לאחר שאירגנו את הנתונים בטבלה נוכל לייצג את ההתפלגות של המצב המשפחתי באמצעות דיאגרמת עוגה. הפעם יהיו בעוגה 4 "פרוסות":

הצגה משותפת של המין והמצב המשפחתי

ניתן לשלב ביחד את הצגת הנתונים בשני הסעיפים יחד: סעיף המין וסעיף המצב המשפחתי. אם קודם בדקנו את התפלגות המצב המשפחתי בקרב כלל עובדי המשרד, נבדוק כעת את התפלגות המצב המשפחתי בקרב הגברים במשרד לחוד ובקרב הנשים במשרד לחוד. טבלת שכיחויות של המצב המשפחתי בקרב הגברים בלבד:

טבלת שכיחויות של המצב המשפחתי בקרב הנשים בלבד:

את שתי הטבלאות הנ"ל ניתן להציג כטבלה אחת:

קל לראות שהתפלגות המצב המשפחתי בקרב הגברים במשרד די דומה לזו שבקרב הנשים. למשל, הנשואים מהווים את הרוב הן בקרב הגברים )%63( והן בקרב הנשים )%64(. נוכל להשוות את הדיאגרמות של שתי ההתפלגויות ולהתרשם מהדמיון גם באופן ויזואלי. בקרב הגברים: בקרב הנשים:

לעיתים מציגים השוואה כזאת לא באמצעות שתי דיאגרמות עוגה אלא באמצעות דיאגרמת טבעת . נשים – טבעת חיצונית גברים – טבעת פנימית

התייחסות לסטטוס בעבודה של העובדים

כעת פנה הסטודנט לחקור את הסטטוס בעבודה. סעיף זה שונה מהסעיפים הקודמים כיוון שכאן יש משמעות לסדר בין הערכים: הדרג הזוטר הוא הנמוך ביותר, אחריו בא הדרג הבינוני ואחריו הדרג הבכיר, שהוא הדרג הגבוה ביותר. בגלל המשמעות שיש לסדר, נבנה את טבלת השכיחויות, כך שהערכים של משתנה הסטטוס בעבודה יופיעו לפי הסדר שלהם, בד"כ מהנמוך לגבוה.

מכיוון שיש חשיבות לסדר נוכל לסדר את ערכי המשתנה על הציר האופקי לפי הסדר שלהם ולהתוות דיאגרמת עמודות. ש כ י ח ו ת דרג בכיר דרג בינוני דרג זוטר סטטוס בעבודה בדיאגרמת עמודות מופיעים על הציר האופקי הערכים כשהם מסודרים לפי הסדר מהנמוך לגבוה. הציר האנכי הוא ציר השכיחות, לכל ערך שעל הציר האופקי תתאים עמודה שהגובה שלה יהיה השכיחות של הערך. למשל, העמודה המייצגת את הדרג הזוטר היא בגובה ,17 כיוון שיש 17 עובדים בדרג זוטר. אפשר להציג את דיאגרמת העמודות לפי השכיחות היחסית. התמונה שתתקבל תהיה זהה, רק הערכים שעל הציר האנכי יהיו שונים וייצגו את השכיחות היחסית באחוזים.

הצגה משותפת של המין והסטטוס בעבודה

כשם שהצגנו קודם לכן טבלה משולבת והצגה גרפית משולבת של סעיף המין עם סעיף המצב המשפחתי, נציג גם כאן טבלה משולבת של סעיף הסטטוס בעבודה עם סעיף המין.

ונוכל להציג דיאגרמת עמודות לסטטוס בעבודה עם הפרדה לנשים וגברים בשני אופנים. אפשר להציג את העמודות זו ליד זו ולראות טוב יותר את ההפרש ביניהן: דרג בכיר דרג בינוני דרג זוטר נשים גברים אפשר להציג את העמודות זו על גבי זו ולראות טוב יותר את הסכום שלהן: דרג בכיר דרג בינוני דרג זוטר נשים גברים

התייחסות למספר הילדים של העובדים

בסעיף של מספר הילדים אנו נתקלים לראשונה בערכים שהם מספריים. אבל בניית טבלת השכיחויות תעשה באותו אופן:

יש לשים לב : בטבלאות שראינו עד כה הופיעו מילים בטור של הערך ומספרים בטור של השכיחות. מכיוון שמשתנה מספר הילדים מקבל ערכים מספריים )0,1,2,3,4( מופיעים מספרים גם בטור של הערך וגם בטור של השכיחות. כדי לא להתבלבל נזכור כי בטור של השכיחות מופיע המספר המייצג כמה פעמים הופיע המספר שבטור הערך. כלומר: יש 5 מקרים של עובדים עם 0 ילדים. יש 6 מקרים של עובדים עם 1 ילד. יש 10 מקרים של עובדים עם 2 ילדים. יש 7 מקרים של עובדים עם 3 ילדים. יש 2 מקרים של עובדים עם 4 ילדים. הקריאה באופן הפוך לא נכונה. בדוק! ההצגה הגרפית של התפלגות מספר הילדים תהיה באמצעות דיאגרמת מקלות: מס' מקרים

מס' הערה: גם כאן, אפשר להציג את הדיאגרמה כך שעל הציר האנכי תופיע השכיחות היחסית במקום השכיחות.

התייחסות לגילם של העובדים

גם הערכים שמקבל משתנה הגיל הם ערכים מספריים. אבל בכל זאת יש הבדל בין משתנה מספר הילדים לבין משתנה הגיל. במשתנה מספר הילדים, בין הערך הנמוך ביותר שהוא 0 לבין הערך הגבוה ביותר שהוא ,4 יכולים להתקבל רק ערכים מסויימים, במקרה הזה, מספרים שלמים בלבד: ,1 ,2 ,3 וזאת כיוון שאין אפשרות למצב של 2.78 ילדים, למשל. במשתנה הגיל, לעומת זאת, בין הערך הנמוך ביותר שהוא ,20 לבין הערך הגבוה ביותר שהוא ,60 יכולים להתקבל כל הערכים: אפשר להיות בגיל ,33.25 או בגיל ,45.5 ואפילו בגיל .27.357 לכן משתנה הגיל יקרא משתנה רציף . משתנה מספר הילדים יקרא משתנה בדיד . מכיוון שבמשתנה רציף כמות הערכים האפשריים היא אינסופית לא נוכל ליצור טבלת שכיחויות שתכיל את כולם. לפיכך נאגד את הערכים למחלקות: את כל העובדים שבשנות העשרים לחייהם נאגד במחלקה 30-,20 את אלה שבשנות השלושים לחייהם במחלקה 40-,30 וכך הלאה. במקרה שלנו המחלקות הן בעצם קבוצות גיל. המחלקה תופיע בטור הראשון של טבלת השכיחויות, ובטור השני תופיע השכיחות, כלומר מספר העובדים הנמצאים בכל מחלקת גיל. בטור השלישי נוסיף את השכיחות היחסית. להלן טבלת השכיחויות המייצגת את התפלגות משתנה הגיל:

ההצגה הויזואלית של התפלגות של משתנה רציף תעשה באמצעות היסטוגרמה . מהי היסטוגרמה? היסטוגרמה היא גרף של עמודות צמודות זו לזו. לכל מחלקה יש עמודה משלה. יש עמודה לקבוצת הגיל 30-,20 עמודה נפרדת לקבוצת הגיל 40-,30 וכך הלאה. לכל עמודה יש גובה ויש רוחב. כיצד נקבע רוחב העמודה? הרוחב של העמודה הינו רוחב המחלקה , כלומר גודל הטווח של המחלקה. במקרה שלנו, הרוחב של כל מחלקה הוא ,10 כיוון שהטווח של כל מחלקה הוא 10 שנים. בין 20 ל-03 יש 10 שנים. בין 30 ל-04 יש 10 שנים, וכו'. כיצד נקבע גובה העמודה? כאן נצטרך לעשות חישוב קצר. מכיוון שלעמודה יש גם רוחב וגם גובה הרי שיש לה גם שטח, שהוא המכפלה של הגובה והרוחב. הסטטיסטיקאים החליטו שהשטח של העמודה יהיה השכיחות היחסית של קבוצת הגיל שאותה היא מייצגת. למשל עבור המחלקה 30-,20 רוחב העמודה יהיה ,10 ושטח העמודה יהיה .17 כעת נוכל לחשב את גובה העמודה: ) (.

גובה העמודה מכונה צפיפות . לפני ציור ההיסטוגרמה נוסיף לטבלה עוד שני טורים: רוחב המחלקה )שהוא רוחב העמודה(, וצפיפות )שהיא גובה העמודה(.

ההיסטוגרמה תראה כך:

השטח הכולל של העמודות מסתכם ל – %.100 עובדה זו חשובה, ונשתמש בה בהמשך כאשר נלמד על העקום הנורמלי.

סיכום

בפרק זה ראינו כי מדגם המכיל הרבה תצפיות הינו לא נוח להתבוננות, ולכן למדנו כיצד לנתח נתונים מהמדגם בטבלת שכיחויות וכן לתת להם ביטוי ויזואלי. ראינו כמה סוגים של משתנים: משתנים מספריים )מספר הילדים, הגיל( ומשתנים שאינם מספריים )המין, המצב המשפחתי, הסטטוס בעבודה(. במשתנים המספריים הסדר של הערכים תמיד חשוב. במשתנים שאינם מספריים הסדר יכול להיות חשוב )הסטטוס בעבודה( או לא חשוב )המין, המצב המשפחתי(. מכיוון שעניינה אותנו השאלה כיצד מתפלגים הערכים שיכול לקבל המשתנה, הצגנו את ההתפלגות הן בטבלת שכיחויות והן באופן ויזואלי. טבלאות השכיחויות של כל המשתנים הנ"ל דומות בצורתן, אך ההצגה הויזואלית שונה. נראה את אופן ההצגה הויזואלית של כל משתנה בטבלה הבאה:

שאלות לפרק 2:

ענה נכון/לא נכון על השאלות הבאות:

.1 כל תצפית מכילה כמה מדגמים. נכון/לא נכון .2 כל מדגם מכיל כמה תצפיות. נכון/לא נכון .3 בסקר טלפוני, נשאלו 200 אנשים האם הם בעד או נגד מדיניות הממשלה. %20 ענו כי הם בעד מדיניות הממשלה ו – %80 ענו כי הם נגד מדיניות זו. תוצאה זאת רצוי להציג בדיאגרמת עמודות משום שהמשתנה אינו מספרי והסדר בו חשוב. נכון/לא נכון .4 בסקר טלפוני, נשאלו 200 אנשים האם הם מרוצים או לא מרוצים ממצבם הכלכלי. %40 ענו כי הם מרוצים ממצבם הכלכלי. מכאן, ש – 60 אנשים ענו כי הם אינם מרוצים ממצבם הכלכלי. נכון/לא נכון .5 אם מחברים את השכיחויות היחסיות של כל המקרים האפשריים, התוצאה תהיה תמיד %.100 נכון/לא נכון .6 בסקר מסוים נשאלו כל המשתתפים מהו שכרם החודשי. משתנה השכר הוא דוגמה למשתנה מספרי בדיד. נכון/לא נכון .7 בסקר מסוים נשאלו כל המשתתפים מהו שכרם החודשי. את התפלגות התוצאות לגבי משתנה השכר ניתן להציג באמצעות היסטוגרמה. נכון/לא נכון .8 חוקר רצה לדעת כיצד מתפלגות המשפחות מבחינת מספר המכוניות שיש ברשותן. לשם כך הוא ערך סקר בו נשאל כל משתתף כמה מכוניות יש בביתו ),0 ,1 ,2 או 3 ומעלה(. את התוצאות רצוי להציג בדיאגרמת מקלות משום שהמשתנה הוא משתנה מספרי בדיד. .9 דיאגרמה עוגה מורכבת תמיד מ-2 חלקים )"נתחים"( שמסתכמים ל – %.100 נכון/לא נכון .10 דיאגרמת טבעות היא דרך נוחה יותר להציג שתי דיאגרמות עוגה. נכון/לא נכון .11 מדגם הוא אוסף של תצפיות. נכון/לא נכון .12 במשתנים מספריים , לדוגמא גובה של ילדים, הסדר של הערכים תמיד חשוב. נכון/לא נכון .13 במשתנים שאינם מספריים הסדר של הערכים תמיד חשוב. נכון/לא נכון .14 דיאגרמת עוגה היא ההצגה הויזואלית המתאימה ביותר למשתנה מספרי בדיד לדוגמא.

נכון/לא נכון

.15 היסטוגרמה היא ההצגה הויזואלית המתאימה למשתנה מספרי רציף. נכון/לא נכון