סטטיסטיקה — הסתברות

הסתברות – מערכה ראשונה

הגדרה מקדמית

המילה הסתברות באה לציין סיכוי להתממשות של תוצאה כלשהי.

לדוגמא:

בזריקת מטבע יכולות להתקבל שתי תוצאות בלבד: "עץ" או "פלי". כאשר שואלים מה ההסתברות לקבל "פלי" בזריקת מטבע, הכוונה: מה הסיכוי לקבל "פלי" בזריקת מטבע? בדוגמא של המטבע )ובהמשך גם בדוגמא של קוביות(, ההסתברות למעשה ידועה מראש והיא נגזרת מהצורה הפיזית של המטבע שגורמת לכך שלכל צד יש סיכוי זהה להופיע והוא )בזריקת קוביה לכל צד יש סיכוי של להופיע(. כאשר אנו מטילים מטבע או קוביה מספר מסויים של פעמים אנו מקבלים מדגם ויכולים לחשב את ביצוע

ההטלות. הצפויה באופן תאורטי. כלומר: ההסתברות מתקבלת כפרי חישוב )תאורטי(. ישנן עוד דוגמאות רבות שבהן ההסתברות היא פרי חישוב )תאורטי( כדוגמת סיכוי זכיה בהגרלות.

ההסתברות במבחן המציאות

כדי לחוש את נושא ההסתברות נביא כמה דוגמאות שבמסגרתן נבחן עד כמה התוצאות שנקבל מתקרבות להסתברות המתקבלת על בסיס חישוב תיאורטי.

דוגמא 1 – הטלת מטבע 200 פעמים

הטלנו מטבע 200 פעמים, בכל הטלה רשמנו את מה שקיבלנו )"עץ" או "פלי"( וסיכמנו את התוצאות בטבלה הבאה:

הערך	השכיחות	השכיחות	ההסתברות
	)מספר הפעמים	היחסית	)השכיחות היחסית
	שהתקבל כל ערך(		הצפויה(
		)בפועל(
"עץ"	96	%48	%50
"פלי"	104	%52	%50
סה"כ	200	%100	%100

שימו לב שאנו מחלקים את התוצאות ל – 2 קבוצות )"עץ" ו"פלי"( ובודקים את השכיחות היחסית של כל קבוצה כפי שאנו מקבלים בסדרת ההטלות, לעומת ההסתברות המחושבת מראש של כל קבוצה. כצפוי השכיחות היחסית קרובה להסתברות התאורטית אך לא זהה לה.

דוגמא 2 – הטלת מטבע 1,000 פעמים

בדוגמא זו אנו מטילים את המטבע הרבה יותר פעמים )1,000 פעמים(. התוצאות שקיבלנו מוצגות בטבלה:

הערך	השכיחות	השכיחות	ההסתברות
	)מספר הפעמים	היחסית	)השכיחות היחסית
	שהתקבל כל ערך(		הצפויה(
		)בפועל(
"עץ"	510	%51	%50
"פלי"	490	%49	%50
סה"כ	1000	%100	%100

השכיחות היחסית יותר קרובה להסתברות התאורטית מאשר במקרה של 200 הטלות, אך עדיין לא זהה לה.

דוגמא 3 – הטלת מטבע 10,000 פעם

בדוגמא זו נטיל את המטבע מספר רב מאוד של פעמים )10,000 פעמים(. התוצאות שקיבלנו מוצגות בטבלה:

הערך	השכיחות	השכיחות	ההסתברות
	)מספר הפעמים	היחסית	)השכיחות היחסית
	שהתקבל כל ערך(		הצפויה(
		)בפועל(
"עץ"	4960	%49.6	%50
"פלי"	5040	%50.4	%50
סה"כ	10000	%100.0	%100

אם נתבונן בכל 3 הדוגמאות ביחד, נראה כי באף אחת מהן השכיחות היחסית לא שווה להסתברות התיאורטית )%,50 %50(, אך עם זאת ככל שמספר ההטלות גדול יותר השכיחות היחסית מתקרבת להסתברות התיאורטית. למעשה, ההסתברות היא השכיחות היחסית שאנו מצפים שתתקבל אם נטיל את המטבע אינסוף פעמים .

הטלת קוביה

נעבור מהטלת מטבע להטלת קוביה. בהטלת קוביה יכולות להתקבל 6 תוצאות אפשריות: .1,2,3,4,5,6 ההסתברות לקבלת כל תוצאה כזאת היא , או באחוזים .

בדומה למקרה המטבע, נביא כאן 2 דוגמאות שגם בהן נראה כי ככל שמספר ההטלות גדול יותר, השכיחות היחסית שמתקבלת מתקרבת להסתברות.

דוגמא 1 – הטלת קוביה 120 פעם

התוצאה שקיבלנו:

הערך	השכיחות	השכיחות	ההסתברות
	)מספר הפעמים	היחסית	)השכיחות היחסית
	שהתקבל כל ערך(		הצפויה(
		)בפועל(
1	15	%12.5	%16.6
2	22	%18.3	%16.6
3	26	%21.6	%16.6
4	21	%17.5	%16.6
5	10	%8.3	%16.6
6	26	%21.6	%16.6
סה"כ	120	%100.0	%100.0

דוגמא 2 – הטלת קוביה 12,000 פעמים

התוצאה שקיבלנו:

הערך	השכיחות	השכיחות	ההסתברות
	)מספר הפעמים	היחסית	)השכיחות היחסית
	שהתקבל כל ערך(		הצפויה(
		)בפועל(
1	1950	%16.3	%16.6
2	1901	%15.8	%16.6
3	2233	%18.6	%16.6
4	1942	%16.2	%16.6
5	2185	%18.2	%16.6
6	1789	%14.9	%16.6
סה"כ	12000	%100.0	%100.0

גם בשתי הדוגמאות של הטלת הקוביה השכיחות היחסית של כל ערך אינה תואמת להסתברות התיאורטית, אך ככל שמספר הזריקות עולה השכיחות היחסית מתקרבת להסתברות התיאורטית.

הסתברויות שלא ניתן לחשבן מראש

בדוגמאות של המטבע והקוביה ניתן לדעת את ההסתברות של כל קבוצה מראש. מנגד אם נמיין את ילדי כתות א' בישראל ל – 100 קבוצות גובה לא נוכל לחשב מראש את ההסתברות של כל קבוצה. במקרים מסוג זה אנו יכולים רק לאמוד את ההסתברות על בסיס תוצאות של מדגם. עוד נרחיב בנושא זה.

מונחים

לפני שנתקדם למערכה השנייה של פרק ההסתברות נלמד כמה מונחים נוספים שיעזרו לנו להתמקצע. המונחים הם: ניסוי מרחב המדגם גודל מרחב המדגם מאורע גודל המאורע

ניסוי

המונח ניסוי מתייחס לכל פעולה שתוצאותיה אינן ידועות מראש. זריקת מטבע הוא ניסוי שכן התוצאה יכולה להיות פלי או עץ. זריקת קוביה הוא ניסוי שכן התוצאה יכולה להיות כל מספר בין1 ל – .6

מרחב המדגם

מרחב המדגם נותן ביטוי לכל התוצאות האפשריות בניסוי. לדוגמא: בזריקת מטבע מרחב המדגם הוא "עץ" ו"פלי". כיוון שאלו הן כל התוצאות האפשריות של הניסוי. בזריקת קוביה מרחב המדגם הוא .1,2,3,4,5,6

גודל מרחב המדגם

מספר הערכים השונים במרחב המדגם נקרא גודל מרחב המדגם.

דוגמאות:

גודל מרחב המדגם של הטלת מטבע הוא 2 )עץ או פלי( גודל מרחב המדגם של הטלת קוביה הוא 6 )1,2,3,4,5,6( גודל מרחב המדגם של שליפת קלף מחפיסה )ללא ג'וקרים( הוא 52

דוגמא מסכמת

נשנן את המונחים החדשים על רקע דוגמא נוספת: הטלה של 2 מטבעות )בו זמנית( הניסוי : הטלה בודדת של 2 מטבעות. מרחב המדגם : נשאל את עצמנו מהן התוצאות האפשריות שבהן יכול להסתיים הניסוי. התשובה היא: עע )"עץ" במטבע הראשונה ו"עץ" במטבע השניה( עפ )"עץ" במטבע הראשונה ו"פלי" במטבע השניה( פע )"פלי" במטבע הראשונה ו"עץ" במטבע השניה( פפ )"פלי" במטבע הראשונה ו"פלי" במטבע השניה( גודל מרחב המדגם : 4 )כי במרחב המדגם יש 4 אפשרויות(

מאורע

מאורע מתרחש כאשר בניסוי כלשהו מתקבלת תוצאה שאותה "סימנו" מראש )תוצאת יעד(. נתייחס לניסוי של הטלת קוביה. אם סימנו מראש את התוצאות 2 ו – 3 )מתוך כלל 6 התוצאות האפשריות( אזי אם התוצאה שתתקבל בהטלת הקוביה היא 2 או 3 אנו "חוגגים" מאורע. כלומר, אנו מכריזים כי המאורע התרחש. אם בהטלת הקוביה היתה מתקבלת אחת מהתוצאות האחרות )1,4,5,6( היינו אומרים כי המאורע לא התרחש. דוגמא נוספת: אם בהטלת קוביה נגדיר את "תוצאת היעד" להיות מספר זוגי, כלומר אנו מסמנים מראש את התוצאות ,2,4,6 אזי אם התוצאה המתקבלת בהטלת הקוביה היא מספר זוגי )2 או 4 או 6( אנו "חוגגים" מאורע. בכל מקרה אחר )1,3,5( אנו אומרים כי המאורע לא התרחש.

גודל המאורע

גודל המאורע הוא מספר הערכים השונים במאורע שאותו הגדרנו.

דוגמאות:

גודל המאורע "התקבל מספר זוגי בהטלת קוביה" הוא 3 )כי במאורע יש 3 ערכים: 2,4,6( גודל המאורע "התקבל מלך בשליפת קלף מחפיסה" הוא 4 )כי במאורע יש 4 ערכים: מלך-עלה, מלך-לב, מלך-תלתן, מלך-יהלום(.

הסתברות – מערכה שניה

הסתברות של מאורע

כדי לחשב את ההסתברות לקבל מאורע כלשהו דרושים לנו 2 נתונים: .1 גודל המאורע. .2 גודל מרחב המדגם. נחלק את הנתון הראשון בשני ונקבל את ההסתברות של המאורע. ) הערה: הדבר נכון רק בחלק מהמקרים, ואנחנו נעסוק רק במקרים אלה. גם קורסי המבוא באוניברסיטה עוסקים בעיקר במקרים אלה. בשפה המקצועית מקרים אלו נקראים מרחבי הסתברות סימטריים(. דוגמא 1 – מה ההסתברות לקבלת מספר אי – זוגי בהטלת קוביה? הניסוי : הטלת קוביה המאורע )במילים(: התקבל מספר אי – זוגי מהגדרת הניסוי נוכל למצוא את מרחב המדגם ואת גודלו: מרחב המדגם : 1,2,3,4,5,6 גודל מרחב המדגם : 6 מהגדרת המאורע במילים נוכל לתארו במספרים וכן למצוא את גודלו: המאורע : 1,3,5 גודל המאורע : 3 כדי לחשב את ההסתברות למאורע אנו זקוקים לגודל המאורע )3( ולגודל מרחב המדגם )6(. אם

נחלק את הראשון בשני נקבל את ההסתברות למאורע שיתקבל מספר אי – זוגי:

דוגמא 2 – מה ההסתברות שבהטלת שתי קוביות נקבל מספרים זהים? הניסוי : הטלת 2 קוביות בו זמנית המאורע )במילים(: התקבלו מספרים זהים. מהגדרת הניסוי נוכל למצוא את מרחב המדגם ואת גודלו: מרחב המדגם : בזריקת צמד קוביות, אפשר לקבל את כל הצמדים המופיעים בתרשים שלהלן:

מקרא שורה 1 שורה 2 שורה 3 שורה 4 שורה 5 שורה 6 בשורה הראשונה מוצגים כל הצמדים האפשריים כאשר הקוביה הלבנה היא על מס' .1 בשורה השניה מוצגים כל הצמדים האפשריים כאשר הקוביה הלבנה היא על מס' .2 וכך הלאה. גודל מרחב המדגם : 36 )באיור יש 36 צמדים אפשריים( מהגדרת המאורע במילים נוכל לתארו במספרים וכן למצוא את גודלו: המאורע :

גודל המאורע : 6 כדי לחשב את ההסתברות למאורע אנו זקוקים לגודל המאורע )6( ולגודל מרחב המדגם )36(. אם נחלק את הראשון בשני נקבל את ההסתברות למאורע שבו בהטלה של שתי קוביות יתקבלו שני

מספרים זהים:

מאורעות משלימים

מאורע א' מהווה מאורע משלים למאורע ב' אם הוא כולל את כל התוצאות האפשריות שלא נכללו במאורע ב'. לדוגמא : )מתייחסת להטלת קוביות( מאורע א' – קבלת התוצאה 6 מאורע ב' – קבלת אחת מהתוצאות .1,2,3,4,5 שני המאורעות הנ"ל הם מאורעות משלימים כי כל התוצאות האפשריות שלא מופיעות במאורע א', הן בדיוק האפשרויות המופיעות במאורע ב', ולהיפך. לכן, כאשר מאורע ב' הוא מאורע משלים למאורע א' אזי באופן אוטומטי מאורע א' הוא מאורע משלים למאורע ב'. אם נקבץ את התוצאות המגדירות את מאורע א' )6( ואת התוצאות המגדירות את מאורע ב' )1,2,3,4,5( לקבוצה אחת נקבל את כל מרחב המדגם )1,2,3,4,5,6(. לכן, ההסתברות שיתרחש אחד מהמאורעות המשלימים היא תמיד 1 )או באחוזים: %100(. כל תוצאה שנקבל חייבת לגרום למאורע כלשהו מתוך המאורעות המשלימים.

דוגמאות נוספות למאורעות משלימים

דוגמא 1 הניסוי: הטלת קוביה מאורע א': התקבל מספר זוגי מאורע ב': התקבל מספר אי – זוגי האם המאורעות הנ"ל הם מאורעות משלימים? התשובה היא כן. וההסבר: התוצאות האפשריות במאורע א' הן .2,4,6 כעת נשאל את עצמנו מהן כל התוצאות האפשריות שלא נכללות במאורע א'? ונשיב: .1,3,5 אבל תוצאות אלו הן בדיוק התוצאות המוגדרות ע"י מאורע ב'. לכן המאורעות משלימים. דוגמא 2 הניסוי: הטלת קוביה מאורע א': התקבל מספר זוגי מאורע ב': התקבל מספר שקטן מ – 4 האם המאורעות הנ"ל הם מאורעות משלימים? התשובה היא לא. וההסבר: התוצאות האפשריות במאורע א' הן .2,4,6 התוצאות האפשריות במאורע ב' הן .1,2,3 מאורע ב' לא כולל את כל התוצאות האפשריות שלא נכללו במאורע א', ואפילו יש בו תוצאה אחת שנמצאת גם במאורע א' )התוצאה 2(. זהו כלל חשוב: אם שני מאורעות משלימים לא יתכן שיהיו תוצאות שיופיעו בשני המאורעות.

שימוש במאורעות משלימים כדי לחשב הסתברות

אם מאורע א' ומאורע ב' הם משלימים אז ההסתברות של מאורע א' ועוד ההסתברות של מאורע ב' שווה בדיוק 1 )%100(. כיצד נוכל להשתמש בעובדה זו? הנה מקרה שידגים לנו זאת: נזכר בניסוי של הטלת שתי קוביות בו זמנית. כבר ראינו את מרחב המדגם של ניסוי זה, וכן ראינו שגודל מרחב המדגם הזה הוא .36 נגדיר מאורע: התקבלו שני מספרים שונים זה מזה. אם נלך בדרך הרגילה, כפי שלמדנו, נציג בצורה ויזואלית את המאורע ונמצא את גודלו. הצגת המאורע בצורה ויזואלית תראה כך:

המלבנים הלבנים כוללים את התוצאות שבהם המיספרים שווים או במילים אחרות התוצאות שאינן נכללות במאורע. גודל המאורע הוא 30 )כי יש 30 צמדים של קוביות שמראות מספרים שונים(. מכאן נוכל לחשב את ההסתברות של המאורע והיא גודל המאורע )30( חלקי גודל מרחב המדגם

לכן ההסתברות תהיה

דרך זו היא דרך ארוכה, כיוון שכתיבת המאורע לוקחת זמן רב. נראה דרך אחרת: תחילה נשים לב כי למאורע שעליו אנו מדברים כאן )התקבלו מספרים שונים( יש מאורע משלים והוא "התקבלו מספרים זהים". אם נתבונן בתרשים של המאורע שלנו לעיל נוכל לראות שהוא בעצם כל מרחב המדגם של הטלת שתי קוביות, למעט האלכסון )משמאל לימין( שמכיל את המקרים שבהם המספרים זהים. בדוגמא קודמת, כבר חישבנו את ההסתברות לקבל מספרים זהים והיא היתה . המאורע שלנו, שבו מתקבלים מספרים שונים , הוא מאורע משלים למאורע, שבו מתקבלים מספרים זהים . לכן

ההסתברות של המאורע שלנו )מתקבלים מספרים שונים( היא .

הסתברות – מערכה שלישית

בחלק הקודם למדנו על מאורעות משלימים . בחלק זה נמשיך לעסוק ביחסים בין שני מאורעות. במהלך חלק זה נשתמש בניסוי של הוצאת כדור מכד. תאור הניסוי: נניח כי יש לנו כד ובו 5 כדורים.

אדום אדום ירוק ירוק לבן

) )אדום עם פסים( )אדום עם נקודות( )ירוק עם פסים( )ירוק עם נקודות( לבן עם פסים ( אנו שולחים יד אל תוך הכד )כשעינינו מכוסות( ושולפים כדור אחד באופן מקרי. באמצעות ניסוי זה נדגים את המונחים והחישובים שבחלק זה.

מאורעות עם חפיפה כלשהי ביניהם

על הניסוי של הוצאת כדור מהכד נגדיר שני מאורעות: מאורע א' – הוצאת כדור עם פסים:

לבן אדום ירוק

מאורע ב' – הוצאת כדור ירוק: ) ירוק עם פסים( )ירוק עם נקודות( הכדור הירוק עם הפסים משותף ל – 2 המאורעות. יש חפיפה בין המאורעות.

מאורעות זרים

מאורעות שאין ביניהם חפיפה נקראים מאורעות זרים .

דוגמא:

מאורע א' – הוצאת כדור עם פסים:

ירוק

מאורע ב' – הוצאת כדור ירוק עם נקודות:

אין אף כדור משותף ל – 2 המאורעות, כלומר אין שום חפיפה בין המאורעות. לפיכך המאורעות הם מאורעות זרים. חישוב ההסתברות שיתרחש אחד משני מאורעות )לפחות( נתבונן שוב בשני המאורעות שהיתה ביניהם חפיפה: מאורע א' – הוצאת כדור עם פסים:

לבן אדום ירוק

מאורע ב' – הוצאת כדור ירוק: ) ירוק עם פסים( )ירוק עם נקודות( מהי ההסתברות שיתרחש לפחות אחד מבין שני המאורעות? נוכל לאחד את שני המאורעות הללו למאורע אחד:

לבן אדום ירוק

) ירוק עם פסים( )ירוק עם נקודות( גודל המאורע המאוחד הוא 4 גודל מרחב המדגם הוא 5 )יש 5 כדורים בכד( ולכן ההסתברות שאנו מחפשים היא

החישוב כאשר המאורעות זרים

נתבונן שוב בשני המאורעות הזרים: מאורע א' – הוצאת כדור עם פסים:

ירוק

מאורע ב' – הוצאת כדור ירוק עם נקודות:

גם כאן נוכל לאחד את המאורעות למאורע אחד:

אדום ירוק לבן

) ירוק עם פסים( )ירוק עם נקודות( ולהגיע למסקנה שההסתברות שיתרחש לפחות אחד מהמאורעות א' או ב' היא )ההסבר: 4 כדורים ]מתוך 5[ יכולים להביא להתרחשות המאורע המאוחד(. אבל כאן, בגלל שהמאורעות זרים יש לנו דרך נוספת: שלב א': נחשב את ההסתברות של מאורע א' ונקבל )ההסבר: 3 כדורים ]מתוך 5[ יכולים להביא להתרחשות מאורע א'(. שלב ב': נחשב את ההסתברות של מאורע ב' ונקבל )ההסבר: כדור 1 ]מתוך 5[ יכולים להביא להתרחשות מאורע ב'(. שלב ג': נסכם את שתי ההסתברויות הנ"ל )שלב א' + שלב ב'( ונקבל כלומר קיימת הסתברות של )%80( שהכדור שנשלוף מהכד יביא להתרחשות של מאורע א' או למאורע ב'. חישוב זה נעשה תוך שימוש ב עקרון החיבור )חיברנו שתי הסתברויות(. יש לשים לב כי עקרון החיבור תקף רק כאשר מדובר במאורעות זרים.

אותה דוגמא תוך שימוש במאורעות משלימים

נתבונן שוב באותם שני המאורעות: מאורע א' – הוצאת כדור עם פסים מאורע ב' – הוצאת כדור ירוק עם נקודות במקרה הזה אפשר לחשב את ההסתברות שיתרחש אחד מהם גם באמצעות מאורעות משלימים. ישנו רק כדור אחד )אדום עם נקודות( שהוצאתו לא תביא, להתרחשות מאורע א' או מאורע ב'. לכן הוצאת כדור אדום עם נקודות הוא המאורע המשלים למאורעות א' ו – ב' כאשר הם מאוחדים. ההסתברות להוצאתו של הכדור הבודד הזה היא . הוצאתו של כל כדור אחר חייבת להביא להתרחשותו של מאורע א' או מאורע ב'.

ולכן ההסתברות שאחד מהמאורעות א' או ב' יתרחשו היא

התייחסות ל – 2 מאורעות שהתרחשו בו זמנית

נתבונן שוב בשני המאורעות שכבר ראינו: מאורע א' – הוצאת כדור עם פסים:

לבן אדום ירוק

מאורע ב' – הוצאת כדור ירוק: ) ירוק עם פסים( )ירוק עם נקודות( כעת נשאל מהי ההסתברות ששני המאורעות יתרחשו בו זמנית? לפי החפיפה שיש ביניהם אנו רואים כי רק אם נוציא כדור ירוק עם פסים נוכל לומר שגם מאורע א' התרחש וגם מאורע ב' התרחש. כלומר אנו מחפשים את ההסתברות למאורע שלהלן:

גודל המאורע הוא 1 גודל מרחב המדגם הוא 5 )להזכירכם: בכד 5 כדורים( ולכן ההסתברות שמאורע א' ו – ב' יתרחשו בו זמנית היא .

מדדים

כאשר עסקנו במדגמים סטטיסטיים למדנו לחשב את הממוצע )מדד מרכז( ואת סטית התקן )מדד פיזור(. גם כאן כאשר אין לנו מדגמים )כלומר, תוצאות ממשיות של ניסויים( אלא רק תוצאות תאורטיות של ניסויים )כלומר, הסתברויות( נוכל להגדיר ולחשב מדדים. מדד המרכז במקרה זה הוא התוחלת . התוחלת היא בעצם הממוצע התאורטי, הממוצע שאנו מצפים לקבל אם ניסוי מסויים יתנהג בדיוק כפי שאנו מצפים לפי ההסתברויות.

תוחלת – הבנת המשמעות תוך כדי משחק

אתה מוזמן להשתתף במשחק שהוראותיו הם כדלקמן: .1 עליך לזרוק קוביה 600 פעם )כל זריקה מכונה:סיבוב(. .2 בכל סיבוב אתה זוכה בסכום כספי בש"ח הזהה לתוצאות הקוביה. מספר 1 מזכה אותך ב – 1 ש"ח מספר 2 מזכה אותך ב – 2 ש"ח וכך הלאה. .3 עבור השתתפות במשחק עליך לשלם מראש 1800 ש"ח . )3 ש"ח לסיבוב(. האם כדאי לך להשתתף במשחק? התשובה היא שלא תוכל לדעת מראש בבטחון של %.100 יכול להיות מקרה שבו יתקבלו קצת יותר מספרים נמוכים מאשר מספרים גבוהים ואז תפסיד. לעומת זאת אם יתקבלו יותר מספרים גבוהים מאשר נמוכים תוכל להרוויח. מכיוון שלא נותנים לך את התוצאה הקונקרטית של המשחק לפני המשחק, תצטרך לקבל את ההחלטה לפי התוצאה התאורטית של המשחק. וכאן נכנסת התוחלת לפעולה. מכיוון שההסתברות לקבלתו של כל אחד מהמספרים היא , כל אחד מהמספרים יופיע באופן תאורטי בדיוק 100 פעמים במהלך המשחק )זוהי השכיחות התאורטית(. כדי לקבל החלטה עליך לחשב אם סך כל הזכיות שלך גדול או קטן מהתשלום. חישוב סך הזכיות:

המספר הזוכה	כמות הפעמים	סכום הזכייה
1	100 פעם	100 ש"ח
2	100	200
3	100	300
4	100	400
5	100	500
6	100	600
סה"כ	600 פעם	2,100 ש"ח

ממוצע סכום הזכיה לסיבוב 3.5 ש"ח )2,100 חלקי 600 פעם( והמסקנה – כדאי להשתתף במשחק שכן תרויח בממוצע בכל סיבוב

אילו התשלום הנדרש היה 4.0 ש"ח לסיבוב , ובסה"כ 2400 ש"ח, לא היה כדאי להשתתף במשחק. אילו התשלום הנדרש היה 3.5 ש"ח ,היית אדיש.

תוחלת הרווח

הממוצע התאורטי לסכום הזכיה לסיבוב נקרא: תוחלת הרווח . תוחלת הרווח במשחק זה היא 3.5 ש"ח.

חישוב התוחלת בדרך אחרת

שלב א' – נחשב מהי ההסתברות לקבלת כל מספר בקוביה ונציב אותו בטבלה:

בקוביה המספר	1	2	3	4	5	6
הסתברות	6 1	6 1	6 1	6 1	6 1	6 1

שלב ב' – חישוב סך הזכיה וממוצע הזכיה לסיבוב, תוך שימוש בהסתברויות.

				סכום הזכיה ב – 600 סיבובים				סכום הזכיה בסיבוב אחד
			דרך החישוב				דרך החישוב
המספר
	הסתברות	מספר	סכום	סה"כ סכום	הסתברות	מספר	סכום	סה"כ סכום
שמתקבל
	לקבלת	הסיבובים	הזכיה	הזכיה	לקבלת	הסיבובים	הזכיה	הזכיה
בקוביה
	המספר	במשחק	בסיבוב		המספר		בסיבוב
				)2(X)3(X)4(				)6(X)7(X)8(
								
1	6 X 1	600	X 1 ש"ח =	100 ש"ח	6 1	X 1 X	1 ש"ח =	6 ש"ח 1
2	6 1	600	2 "	200 "	6 1	1	2"	6 " 1
3	6 1	600	3 "	300 "	6 1	1	3"	6 " 1
4	6 1	600	4 "	400 "	6 1	1	4"	6 " 1
5	6 1	600	5 "	500 "	6 1	1	5"	6 " 1
6	6 1	600	6 "	600 "	6 1	1	6"	6 " 1
								6 = 3.5 21
סה"כ				2100 "

משחק נוסף

המשחק מבוסס על זריקת 2 קוביות )"צמד קוביות" ( בו זמנית בכל סיבוב אתה מקבל סכום כסף השווה לסכום צמד הקוביות. אם למשל התקבל באחת הקוביות 3 ובשניה 4 תקבל 7 ש"ח. נחשב מהו הסכום המקסימלי ששווה לשלם עבור כל סיבוב. כפי שכבר ראינו, בזריקת צמד קוביות, אפשר לקבל 36 צמדים שונים.

סידור הצמדים לפי סכום הקוביות בסדר עולה

בטבלה הבאה ריכזנו את כל הצמדים בקבוצות. בכל קבוצה מרוכזים צמדים שסכומם זהה )הסכום מופיע בשורה 1(. בשורה 2 יש פרוט של כל הצמדים הנותנים את הסכום שבשורה .1 בשורה 3 מופיע מספר הצמדים הללו. לדוגמא: ישנם 4 צמדים שסכומם .5 בשורה 4 מופיעה ההסתברות, שהיא בעצם המספר שמופיע בשורה 3 )שהוא גודל המאורע( חלקי 36 )שהוא גודל מרחב המדגם(.

1 שורה	הצמדים סכום	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2
2 שורה	שבשורה 1 את הסכום הנותנים הצמדים						4,3
						4,4	3,4	3,3
					5,4	5,3	5,2	4,2	3,2
				5,5	4,5	3,5	2,5	2,4	2,3	2,2
			6,5	6,4	6,3	6,2	6,1	5,1	4.1	3,1	2,1
		6,6	5,6	4,6	3,6	2,6	1,6	1,5	1,4	1,3	1,2	1,1
שורה	סה"כ	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
3	צמדים
שורה	ההסתברות	36 1	36 2	36 3	36 4	36 5	36 6	36 5	36 4	36 3	36 2	36 1
4

טבלת התפלגות התוצאות של סכום צמד הקוביות )מתוך הטבלה( הטבלה כוללת 3 טורים: .1 הערך )סכום הקוביות כפי שמופיע בשורה 1 בטבלה בע"מ 73(. .2 ההסתברות )השכיחות היחסית התאורטית(. .3 התרומה של כל ערך לתוחלת )טור 1 כפול טור 2(

		
הערך	ההסתברות	התרומה לתוחלת
2	36 1	36 2
3	36 2	36 6
4	36 3	36 12
5	36 4	36 20
6	36 5	36 30
7	36 6	36 42
8	36 5	36 40
9	36 4	36 36
10	36 3	36 30
11	36 2	36 22
12	36 1	36 12
סה"כ	1	36 7= 252

התוחלת היא .7 כלומר אם הניסוי היה מתנהג לפי ההסתברות התאורטית היינו מקבלים 7 ש"ח בממוצע בכל סיבוב. לכן, הסכום המקסימלי שנהיה מוכנים לשלם לכל סיבוב כדי להרוויח הוא 6.99 ש"ח.

סטית תקן – מדד לפיזור

התוחלת איננה מדד מספק כדי לתאר התפלגות. יתכן כי לשתי התפלגויות בעלות אופי שונה לגמרי תהיה בדיוק אותה תוחלת. דבר דומה ראינו בפרק על המדדים בהקשר של הממוצע. נראה זאת באמצעות דוגמא. נתבונן בשתי ההתפלגויות הבאות: התפלגות א':

הערך	ההסתברות
2	0.30
3	0.25
5	0.25
7	0.20
סה"כ	1.00

התפלגות ב':

הערך	ההסתברות
0	0.25
1	0.25
7	0.25
8	0.25
סה"כ	1.00

הערה: ההתפלגויות הנ"ל הן אינן תוצאות של שום ניסוי מציאותי מוכר, אבל נוכל להניח כי קיים ניסוי כזה. בשלב מתקדם זה של החומר, נוכל להתחיל לחשוב בצורה יותר מופשטת, ולא לנסות ולמצוא ניסוי מציאותי. אבל אם בכל זאת נתעקש נוכל לדמיין לנגד עינינו 2 סביבונים. על האחד כתובים )במקום נס-גדול-היה-פה( ארבעה מספרים 8,7,1,0 וכל אחד מהמספרים מתקבל בהסתברות שווה. סביבון זה מתאים להתפלגות ב'. על הסביבון השני כתובים המספרים .7,5,3,2 סביבון זה איננו סביבון "הוגן", כלומר למספרים מסויימים יש נטיה להתקבל בסיכוי גבוה יותר מאשר מספרים אחרים. סביבון זה מתאים להתפלגות א'. נחשב את התוחלת של שתי ההתפלגויות הנ"ל: התפלגות א':

\[0.25\cdot 0 + 0.25\cdot 1 + 0.25\cdot 7 + 0.25\cdot 8 = 4\]

התפלגות ב':

התוחלת של שתי ההתפלגויות היא זהה, .4 אך האם שתי ההתפלגויות זהות? נתבונן בדיאגרמת עמודות של ההתפלגויות )התוחלת מסומנת בקו מקוטע(:

התפלגות א':

התפלגות ב':

\[0.3\cdot 2 + 0.25\cdot 3 + 0.25\cdot 5 + 0.2\cdot 7 = 4\]

קל לראות כי התפלגות ב' מפוזרת יותר סביב התוחלת מאשר התפלגות א'. לפיכך נשתמש במדד לפיזור. מדד הפיזור הוא מספר שמאפיין למעשה את תוחלת הסטיות מהתוחלת, אך מסיבות מתמטיות החישוב שלו קצת יותר מורכב וכולל העלאה בריבוע והוצאת שורש. מדד הפיזור הוא סטית התקן . דרך החישוב של סטית התקן במקרה של הסתברות זהה לדרך החישוב של סטית תקן של מדגם. נוסיף טור שלישי שבו נמלא את התוחלת, וטור רביעי שבו נכתוב את הסטיה מהתוחלת )תוצאת החיסור בין הערך לבין התוחלת(. בטור החמישי נעלה בריבוע את הסטיה:

				
הערך	ההסתברות	התוחלת	הסטיה	הסטיה
			מהתוחלת	בריבוע
2	0.30	4	2−=4−2	4= 2) 2−(
3	0.25	4	1−=4−3	1= 2) 1−(
5	0.25	4	1=4−5	1= 12
7	0.20	4	3=4−7	9= 32
סה"כ	1.00

כעת נחשב את תוחלת הסטיה בריבוע, כלומר נכפיל את טור 2 בטור 5 ונסכם:

\[0.3\cdot4 + 0.25\cdot1 + 0.25\cdot1 + 0.2\cdot9 = 3.5\]

\[0.3\cdot4 + 0.25\cdot1 + 0.25\cdot1 + 0.2\cdot9 = 3.5\]

סטית התקן היא השורש של התוצאה שקיבלנו:

\[\sqrt{3.5} = 1.87\]

באותו אופן נחשב את סטית התקן של התפלגות ב':

				
הערך	ההסתברות	התוחלת	הסטיה	הסטיה
			מהתוחלת	בריבוע
0	0.25	4	4−=4−0	16= 2) 4−(
1	0.25	4	3−=4−1	9= 2) 3−(
7	0.25	4	3=4−7	9= 32
8	0.25	4	4=4−8	16= 42
סה"כ	1.00

\[0.25\cdot16 + 0.25\cdot9 + 0.25\cdot9 + 0.25\cdot16 = 12.5\]

\[0.25\cdot16 + 0.25\cdot9 + 0.25\cdot9 + 0.25\cdot16 = 12.5\]

סטית התקן היא

\[\sqrt{12.5} = 3.54\]

כפי שציפינו, סטית התקן של התפלגות ב' גדולה יותר מסטית התקן של התפלגות א'. התפלגות ב' מפוזרת יותר מהתפלגות א'.

שאלות לפרק 4

ענה נכון/לא נכון על השאלות הבאות: .1 ההסתברות לנחש נכון את התשובה לשאלת נכון/לא נכון )כשאין לך מה מושג מה התשובה(, שווה להסתברות להטיל מטבע ולקבל "עץ". נכון/לא נכון .2 אם זורקים קובייה 600,000 פעמים, מספר הפעמים שנקבל את הערך 6 הוא בדיוק .100,000

נכון/לא נכון

.3 על מנת לנצח במשחק שש – בש אתה חייב לקבל בזריקת הקוביות הבאה את הצמד .6,6 ההסתברות שזה יקרה היא .1/6 נכון/לא נכון .4 בזריקה של שתי קוביות בו – זמניות, ההסתברות לקבל לפחות פעם אחת את הערך "4" היא .11/36 )רמז: העזר באיור בעמוד 61 לבדיקת מספר הצמדים בהם מופיע הערך "4"(.

נכון/לא נכון

.5 אם מטילים שתי מטבעות בו – זמנית, ההסתברות לקבל "פלי פלי" היא .1/2 נכון/לא נכון .6 גודל המאורע: "התקבל דאבל )שני מספרים זהים( בהטלת שתי קוביות" הוא .6 נכון/לא נכון .7 בניסוי הטלת שתי קוביות בו – זמנית. מאורע א': סכום הערכים שהתקבלו הוא 2 או .3 מאורע ב': סכום הערכים שהתקבלו הוא ,4,5 או .6 מאורע א' ומאורע ב' הם מאורעות משלימים הכוללים את כל התוצאות האפשריות של הניסוי. נכון/לא נכון .8 בכד 20 כדורים: 19 לבנים ואחד שחור. אחרי שהוצאת מהכד 2 כדורים לבנים, ההסתברות להוציא כדור שחור היא .1/18 נכון/לא נכון .9 בגן ילדים יש בנים ובנות. בכל קבוצת מין יש ג'ינגי'ם, בלונדינים, ושחורי שיער. מאורע א': בחירת בנות. מאורע ב': בחירת בנים שחורי שיער. מאורע א' ומאורע ב' הם מאורעות משלימים. נכון/לא נכון .10 בתוך כד 10 כדורים: 2 לבנים, 5 אדומים, ו – 3 כחולים. ההסתברות להוציא באופן אקראי כדור אדום או כחול היא .8/10 נכון/לא נכון .11 חפיסת קלפים מכילה 4 קלפים מכל אחד מהערכים 14-1 )סה"כ: 52 קלפים(. ההסתברות "לשלוף" באופן אקראי מהחבילה קלף עם הערך 8 או 9 היא .2/52 נכון/לא נכון .12 בטיילת בתל – אביב מציע לך אדם להשתתף במשחק. המשחק הוא כזה: לאחר ששילמת 100 ₪ דמי השתתפות, אתה זורק 2 קוביות בו-זמנית. אם הקוביות נופלות על "דאבל" )שני ערכים זהים( אתה זוכה ב-003 ₪, אם לא – לא תקבל דבר. מאחר ותוחלת הזכיה של המשחק גבוהה מ – 100 ₪ )דמי ההשתתפות(, משתלם לנסות ולשחק במשחק זה. נכון/לא נכון .13 נתונות שתי סדרות המספרים הבאות:

\[2,\,2,\,4,\,4,\,8,\,10 \qquad (1)\]

\[4,\,6,\,6,\,6,\,6,\,8 \qquad (2)\]

בלי לחשב, ניתן לראות כי סטיית התקן של סדרה )2( גדולה יותר. נכון/לא נכון .14 ההסתברות להתרחשות מאורע כלשהו היא הסיכוי התאורטי להתרחשותו. נכון/לא נכון .15 אם ההסתברות לקבל "פלי" בהטלת מטבע היא , אזי ב-0001 הטלות מטבע יתקבל "פלי" בדיוק 500 פעמים. נכון/לא נכון .16 גודל מרחב המדגם בהטלת מטבע הוא .2 נכון/לא נכון .17 גודלו של מאורע יכול להיות גדול יותר מגודל מרחב המדגם. נכון/לא נכון .18 ההסתברות של מאורע מסויים ועוד ההסתברות למאורע המשלים תמיד שווה .1 נכון/לא נכון .19 המאורעות הבאים הם מאורעות זרים : מאורע א': בהטלת קוביה התקבל מספר זוגי. מאורע ב': בהטלת קוביה התקבל מספר גדול מ- .4 נכון/לא נכון .20 תוחלת היא מדד מרכז להתפלגות תאורטית בעוד ממוצע הוא מדד מרכז של התפלגות של מדגם קונקרטי. נכון/לא נכון