סימול: Sigma_((1,2))
שונות משותפת יכולה להתייחס לכל שני נכסי השקעה (סחורות, מניות, אג"ח, וכיו"ב).
אנו נתמקד במניות: מניה S1 ומניה S2.
השונות המשותפת
השונות המשותפת בוחנת כיצד 2 מניות מגיבות לאותו תרחיש. נתייחס ל- 2 תרחישים שכיחים:
- שפל כלכלי
- שגשוג כלכלי
נמשיך את ההסבר באמצעות דוגמאות.
דוגמה 1
מניה S1 – שייכת לחברת בניה בשם AA, שהתוחלת שלה 10%.
מניה S2 – שייכת לחברת בניה בשם BB, שהתוחלת שלה 15%.
בתרחיש 1 (מיתון) התשואה של AA יורדת ל- 5% ושל BB ל- 8%. בשתי המניות התשואה במיתון יורדת מתחת לתוחלת.
בתרחיש 2 (שגשוג) התשואה של AA עולה ל- 15% ושל BB ל- 20%. בשתי המניות התשואה עולה מעל התוחלת.
שונות משותפת חיובית
שונות משותפת חיובית זה מצב שבו 2 מניות מגיבות לאותם תרחישים באותו כיוון ביחס לתוחלת שלהן. כלומר, השונות המשותפת שלהן חיובית. בדוגמה 1 השונות המשותפת של S1 ו-S2 היא חיובית.
שתי החברות, AA ו-BB, הן מאותו ענף וסביר שהן יושפעו באותו כיוון בעתות מיתון ובעתות שגשוג.
שונות משותפת שלילית
כאשר 2 מניות מגיבות בכיוונים מנוגדים לאותם תרחישים אנו אומרים שהשונות המשותפת שלהן שלילית.
דוגמה 2
מניה S3 – שייכת לחברת טיולי יוקרה, התוחלת שלה 10%.
מניה S4 – שייכת לחברת טיולים עממיים, התוחלת שלה 8%.
בשפל התשואה של S3 יורדת ל- 8% וזו של S4 עולה ל-15%.
בשגשוג התשואה של S3 עולה ל- 15% וזו של S4 יורדת ל-4%.
ומכאן שהשונות המשותפת של S3 ו S4 היא שלילית.
שונות משותפת = 0
כאשר אין קשר בכיווני התגובה של כל אחת מהמניות לתרחיש כלשהו, אנו אומרים שהשונות המשותפת היא 0.
בד"כ אנו מוצאים שקיימת שונות משותפת של 0, לא בין 2 מניות, אלא בין מניה ונכס חסר סיכון. כי נכס חסר סיכון אינו מושפע מתרחיש כלשהו (שפל או שגשוג). בכל תרחיש התשואה שלו קבועה. אילו התשואה לא הייתה קבועה הוא לא היה נכס חסר סיכון.
השונות המשותפת של מניה ונכס חסר סיכון היא 0.
חישוב שונות משותפת
החישוב נעשה ב- 3 מהלכים שאותם נלווה בדוגמה שנתוניה מפורטים בטבלה 3.
| המניות | E (מחושב) | σ (מחושב) | תרחיש 1 הסתברות התרחיש – 20% התשואות |
תרחיש 2 הסתברות התרחיש – 80% התשואות |
|---|---|---|---|---|
| S5 | 0.128 | 0.024 | 0.08 | 0.14 |
| S6 | 0.164 | 0.032 | 0.10 | 0.18 |
הסבר לטבלה:
- טור 1 – שמות המניות.
- טורים 2 ו-3 – תוחלת וסטיית תקן של המניות.
- טורים 4 ו- 5 – תשואת המניות בכל תרחיש. ההסתברות לתרחיש נקובה בכותרת.
חישוב תוחלת של כל מניה:
בתרחיש 1:
| ES5= | [0.2*0.08]+ | [0.8*0.14]= | 0.128 |
בתרחיש 2:
| ES6= | [0.2*0.10]+ | [0.8*0.18]= | 0.164 |
חישוב סטיית תקן של כל מניה:
σS5=sqrt(0.000576)=0.024=(2.4%)
σS6=sqrt(0.0010224)=0.032=(3.2%)
חישוב השונות המשותפת σ5,6:
הנוסחה הכללית לחישוב השונות של סל המכיל 2 מניות היא:
Var(B)=σB2=W12σS12+W22σS22+2W1W2σ1,2
את השונות של כל מניה מצאנו כבר ועתה נחשב את השונות המשותפת σ1,2 (בדוגמה שלנו σ5,6). לאחר מכן נוכל לחשב את Var(B).
פירוט שלושת המהלכים לחישוב השונות המשותפת, מלווים בטבלה 4.
| תרחיש | מכפלת הפערים | הסתברות | תוצאה |
|---|---|---|---|
| שפל | (0.08-0.128)(0.10-0.164) | 0.2 | 0.000614 |
| שגשוג | (0.14-0.128)(0.18-0.164) | 0.8 | 0.0001536 |
| השונות המשותפת | 0.000768 | ||
הסבר לטבלה 4:
- שורה 1 מתייחסת לתרחיש 1 (שפל).
- שורה 2 מתייחסת לתרחיש 2 (שגשוג).
- טור 2 – מכפלה של טור 3 בטור 6.
- סכום 2 השורות בטור 2 (=7.680×10-4) הוא השונות המשותפת σ5,6.
חישוב השונות המשותפת של סל בן 2 מניות
השונות של סל מניות, המכיל 2 מניות, תלויה בשונות (או בסטיית התקן = שורש השונות) של כל מניה בנפרד וגם בשונות המשותפת של 2 המניות.
הנוסחה לחישוב השונות של סל בן 2 מניות, S1 ו-S2:
Var(B)=σB2=W12σS12+W22σS22+2W1W2σS1,S2
מקרא:
- Var(B) – השונות של סל B.
- σB2 – סטיית התקן של סל B בריבוע (= שונות).
- W1 – משקל מניה S1 בסל.
- W2 – משקל מניה S2 בסל.
- σS12 – סטיית התקן של מניה S1, בריבוע.
- σS22 – סטיית התקן של מניה S2, בריבוע.
- σS1,S2 – השונות המשותפת של מניות S1 ו-S2.
דגש: השונות המשותפת σS1,S2 מתארת את מידת ההשתנות המשותפת של מניות 1 ו-2, כלומר, באיזו מידה שתי המניות מגיבות באופן דומה לתרחישים זהים.
שונות הסל Var(B) מתארת את התנודתיות הכוללת של הסל B (כיחידה אחת).
תרגיל
נתונות 2 המניות S5 ו-S6 מהדוגמה לחישוב שונות משותפת של 2 מניות.
נציג בטבלה 5 את נתוני המניות שחושבו בדוגמה.
| המניות | E | σ | σ5,6 |
|---|---|---|---|
| S5 | 0.128 | 0.024 | 7.68×10-4 |
| S6 | 0.164 | 0.032 |
מהי השונות ומהי סטיית התקן של סל שמכיל בתוכו 20% ממניה S5 ו-80% ממניה S6? (שים לב שסה"כ 100% = 80%+20%, כלומר 100% של הסל).
פתרון
20% הוא למעשה W5 (המשקל של מניה S5 בסל).
80% הוא למעשה W6 (המשקל של מניה S6 בסל).
עבור מניות S5 ו-S6 הנוסחה תהיה:
Var(B)=σB2=W52σS52+W62σS62+2W5W6σ5,6
=0.22×0.0242+0.82×0.0322+2×0.2×0.8×7.68×10-4=9.24×10-4
σB=sqrt(Var(B))=0.0304
שונות משותפת – פרשנות
מתוך התוצאה של השונות המשותפת אנו לא יכולים ללמוד על עצמת הקשר בין המניות.
לדוגמה:
אם בין צמד מניות S1 ו-S2 השונות המשותפת σ1,2 היא 0.3.
ובין צמד מניות S3 ו-S4 השונות המשותפת σ3,4 היא 0.4.
אי אפשר להסיק שעוצמת הקשר בצמד S1 ו-S2 גדולה מזו של הצמד S3 ו-S4.
בדיוק כפי שאי אפשר לקבוע שרווח של 10$ במניה S1 עדיף על רווח של 8$ במניה S2.
כדי להחליט איזה רווח עדיף, עלינו לקבל מידע נוסף המתייחס למחירי המניות.
השוואה לגבי עוצמת הקשר בין צמדי מניות ניתן לעשות באמצעות כלי סטטיסטי שנקרא: מקדם המתאם, שיוסבר מיד.
