דוגמה מהתחום הכלכלי למציאת נקודת קיצון

במפעל "המכונית"

• במפעל מייצרים רק מודל אחד של מכוניות.
• הייצור מתבצע באמצעות עובדים (בעלי אותו כושר ייצור) ומכונות (מאותו סוג).
• מחירי השוק הם כדלקמן:
  • שכר עובד לשנה: 12,000 ש"ח.
  • עלות תפעול מכונה לשנה: 8,000 ש"ח.
  • מחיר מכונית: 48,000 ש"ח.
• x – מסמל את כמות העובדים במפעל.
• y – מסמל את כמות המכונות במפעל.
• פונקציית הייצור: f(x,y) = sqrt(x) + sqrt(y)
• כלכלן המפעל התבקש למצוא באיזה הרכב של עובדים ומכונות הרווח הוא מקסימלי.

מהלכי הפיתרון

א. בניית פונקציית הרווח

1. פונקציית הרווח נסמלה pi(x,y), והיא מתקבלת כהפרש בין פונקציית הפדיון R(x,y) לפונקציית ההוצאות C(x,y):
   pi(x,y) = R(x,y) - C(x,y)
2. פונקציית הפדיון מתקבלת כמכפלה של פונקציית הייצור במחיר למכונית:
   R(x,y) = 48000 * [sqrt(x) + sqrt(y)]
3. פונקציית ההוצאות מתבססת על מחירי השוק של עבודה ותפעול מכונות:
   C(x,y) = 12000x + 8000y
4. פונקציית הרווח:
   pi(x,y) = 48000*[sqrt(x)+sqrt(y)] - [12000x + 8000y]

חיפוש נקודת קיצון

1. נגזור את פונקציית הרווח לפי x ולפי y:
   pix(x,y) = (48000)/(2sqrt(x)) - 12000 (נגזרת לפי x)
   piy(x,y) = (48000)/(2sqrt(y)) - 8000 (נגזרת לפי y)
2. מפתרון המשוואות מתקבל כי בנקודת הציון (4,9) שתי הנגזרות משתוות ל-0.
3. נוודא אם אכן היא נקודת קיצון על ידי בדיקת תנאי 2:
   f_xx(x,y)*f_yy(x,y) - [f_xy(x,y)]^2 > 0
4. חישוב הנגזרות השניות בנקודה (4,9):
   pi_xx = -(12000)/((sqrt(x))^3)
pi_yy = -(12000)/((sqrt(y))^3)
pi_xy = 0

תנאי 2 מתקיים: (-1500)*(-444.44) - 0^2 > 0

והמסקנה

הנקודה (4,9), המייצגת סל שמכיל 4 עובדים ו- 9 מכונות, היא אכן נקודת קיצון. מכיוון ש- f_xx(4,9) = -1500 < 0, מדובר בנקודת מקסימום.

נתוני הפעילות של הפירמה בנקודת הקיצון (4,9)