נגזרות של פונקציות בעלות שני משתנים

לפונקציה בעלת שני משתנים ישנן שתי נגזרות

• נגזרת לפי x ונגזרת לפי y.
• כאשר אנו גוזרים לפי x אנו מייחסים ל-y מספר קבוע כלשהו, למשל 6.
• כאשר אנו גוזרים לפי y אנו מייחסים ל-x מספר קבוע כלשהו, למשל 2.

דוגמה א'

נתייחס לפונקציה f(x,y)=4x+5y

1. נגזור לפי x. נניח כי 6=y, כך שהפונקציה הופכת להיות f(x)=4x+30. הנגזרת לפי x היא 4.
2. נגזור לפי y. נניח כי 2=x, כך שהפונקציה הופכת להיות f(y)=8+5y. הנגזרת לפי y היא 5.

סימולים

• נגזרת לפי x: f_x(x,y)
• נגזרת לפי y: f_y(x,y)

בדוגמה א' לעיל, תוצאות הנגזרת תרשמנה כך:

• f_x(x,y)=4
• f_y(x,y)=5

המשמעות ש- y הוא מספר קבוע כלשהו (למשל – 6)

ההסבר מתייחס לפונקציה f(x,y)=4x+5y בדוגמה א'.

• כאשר y הוא מספר קבוע כלשהו, למשל 6, אנו משאירים מהמעטפת של הפונקציה רק רצועה אחת ברוחב מיקרוסקופי שמיקומה מעל קו רוחב 6. כל שאר המעטפת נעלמת. לרצועה שמעל קו רוחב 6 נקרא: רצועת רוחב 6.
• רצועת רוחב 6 היא פונקציה שטוחה במישור הצירים x ו-z. במילים אחרות, רצועת רוחב 6 היא פונקציה של x שסימולה ומרכיביה הם: f(x)=4x+30.
• כאשר אנו גוזרים את רצועת רוחב 6 אנו מקבלים פונקציה שבאמצעותה אנו יכולים לחשב את השיפוע בכל נקודה על רצועת רוחב 6.

התרשים הבא מציג את רצועת רוחב 6 משתי נקודות מבט:

• מבט מלמעלה
• מבט מלפנים

המשמעות ש- x הוא מספר קבוע כלשהו (למשל – 2)

• כאשר x הוא מספר קבוע כלשהו, למשל 2, אנו משאירים מהמעטפת של הפונקציה רק רצועה אחת ברוחב מיקרוסקופי שמיקומה מעל קו אורך 2. כל שאר המעטפת נעלמת. לרצועה שמעל קו אורך 2 נקרא: רצועת אורך 2.
• רצועת אורך 2 היא פונקציה "שטוחה" במישור הצירים y ו-z, שסימולה ומרכיביה הם: f(y)=8+5y.
• כאשר אנו גוזרים את רצועת אורך 2, אנו מקבלים פונקציה שבאמצעותה אנו יכולים לחשב את השיפוע בכל נקודה על הרצועה.

התרשים הבא מציג את רצועת אורך 2 משתי נקודות מבט:

• מבט מלמעלה
• מבט מלפנים (מציר ה-y)