הקירוב הנורמלי למשתנה המקרי הבינומי

שאלה

• גדי ניגש למבחן בחשבון. במבחן 40 שאלות. לכל שאלה מתלוות 5 תשובות אפשריות, שרק אחת מהן נכונה. כדי לעבור את המבחן הוא צריך לענות נכון לפחות על 10 שאלות.
• אם גדי יענה באופן מקרי על השאלות, מהי ההסתברות שהוא יעבור את המבחן?

רקע

• המשתנה – מספר ההצלחות (התשובות הנכונות) במבחן.
• ערכי המשתנה הם 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 38, 39, 40 (41 ערכים)
• ההסתברות להצלחה היא 0.2 (תשובה אחת מתוך ה-5).
• ההסתברות לכישלון היא 0.8 (4 תשובות מתוך ה-5).

מה עלינו לעשות כדי לפתור את השאלה?

• כדי לחשב את ההסתברות שגדי יענה נכון לפחות על 10 שאלות אנו צריכים לחשב את ההסתברות שהוא יענה נכון בדיוק על 10 שאלות, ואת ההסתברות שהוא יענה נכון בדיוק על 11 שאלות, ואת ההסתברות שהוא יענה נכון בדיוק על 12 שאלות, ואת ההסתברות שהוא יענה נכון בדיוק על 13 שאלות, ואת ההסתברות שהוא יענה נכון בדיוק על 14 שאלות, וכך הלאה עד 40 שאלות.
• כשנסיים את העבודה הזאת נצטרך לחבר את כל ההסתברויות שחישבנו.

זוהי דרך ארוכה מאוד והמתמטיקאים חיפשו קיצור דרך. והם גם מצאו!!