התפלגות בינומית
התפלגות בינומית היא התפלגות של משתנה מקרי בינומי.
נבחין בין 2 סוגים של משתנים מקריים בינומיים.
- משתנה מקרי בינומי ראשוני.
- משתנה מקרי בינומי.
משתנה מקרי בינומי ראשוני
משתנה מקרי בינומי ראשוני הוא משתנה שיכול לקבל רק 2 ערכים.
לדוגמה:
- הטלת מטבע הערכים האפשריים: עץ או פלי.
- זריקה לסל הערכים האפשריים: קליעה או פספוס.
- מיון ביצים הערכים האפשריים: סוג א' או סוג אחר.
בהמשך נקרא למשתנה מקרי בינומי ראשוני – ניסוי.
בכל ניסוי, את אחד הערכים נכנה הצלחה ונסמלו: 1.
ואת הערך האחר נכנה כשלון ונסמלו: 0.
אין משמעות איזה מהם מכנים הצלחה, אך כדאי לבחור באופן הגיוני.
למשל, בזריקות לסל – קליעה תחשב הצלחה, והחטאה תחשב כשלון.
במיון ביצים – ביצה סוג א' תחשב הצלחה, וביצה מסוג נמוך יותר תחשב כשלון.
משתנה מקרי בינומי
משתנה מקרי בינומי הוא משתנה המבוסס על סדרת ניסויים זהים, כאשר התוצאה של כל ניסוי יכולה להיות הצלחה או כשלון, וההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא זהה (ואז, גם ההסתברות לכשלון בכל ניסוי היא זהה).
דוגמאות:
- מספר ההצלחות בסדרה של 4 זריקות מטבע (הצלחה = עץ). המשתנה יכול לקבל 5 ערכים: 4,3,2,1,0.
- מספר ההצלחות בסדרה של 10 זריקות לסל (הצלחה = קליעה לסל) המשתנה יכול לקבל 11 ערכים: 2,1,0 … 10.
- מספר ההצלחות במיון תבנית של 30 ביצים (הצלחה = ביצה סוג א') המשתנה יכול לקבל 31 ערכים: 2,1,0 … 30.
משתנה מקרי בינומי הינו משתנה מקרי בדיד כי הוא מקבל רק ערכים שלמים (מ-0 עד מספר הניסויים).
פרידה ממשתנה מקרי בינומי ראשוני
בספרות לא קיים המונח משתנה מקרי בינומי ראשוני. המצאנו אותו רק לצורך ההסבר.
משתנה זה הינו למעשה משתנה מקרי בינומי שיש בו ניסוי אחד בלבד.
התפלגות של משתנה מקרי בינומי
ההתפלגות משקפת את ההסתברות לקבלת כל אחד מערכי המשתנה.
נתחיל בדוגמא פשוטה שבה המשתנה הוא: מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות (אין הבדל בין זריקת 2 המטבעות יחד או ברצף). הצלחה מוגדרת כקבלת "עץ" בזריקה. קבלה של "פלי" מוגדרת ככשלון. המשתנה המקרי יכול לקבל 3 ערכים:
| המקרה | הערך של המשתנה המקרי הבינומי (מספר ההצלחות) |
|---|---|
| לא התקבל אף "עץ" (בשתי הזריקות התקבל "פלי") | 0 |
| באחת הזריקות התקבל "עץ" ובזריקה האחרת התקבל "פלי" | 1 |
| בשתי הזריקות התקבל "עץ" | 2 |
ההסתברות להצלחה היא `1/2` , וההסתברות לכשלון היא `1/2` .
לפני שנסביר כיצד אנו מחשבים את ההסתברות לקבלת כל אחד מערכי המשתנה נציג את התוצאה הסופית של התפלגות המשתנה המקרי בשתי הדרכים המקובלות:
- טבלת ההתפלגות (טבלה 2.1).
- תרשים ההתפלגות (תרשים 2.2).
טכניקת חישוב ההתפלגות
(ההסבר מלווה בדוגמא של זריקת 2 מטבעות)
חישוב ההתפלגות נעשה ב- 3 מהלכים:
- הכנת טבלה שבה מפורטים כל הצרופים האפשריים בזריקת 2 מטבעות שנקרא לה בקיצור: טבלת האפשרויות.
- חישוב ההסתברות לקבלת כל אחת מהאפשרויות בטבלה.
- חישוב ההסתברות לקבל כל ערך במשתנה (על בסיס טבלת האפשרויות) והצגתה בטבלת ההתפלגות.
זהירות: אל תתבלבלו בין טבלת האפשריות לבין טבלת ההתפלגות. כל אפשרות היא למעשה צירוף אפשרי כלשהו של הצלחות וכשלונות (אחדים ואפסים).
א. הכנת טבלת האפשרויות
טבלה 2.3 נקראת: טבלת האפשרויות. הטבלה מפרטת את כל הצירופים האפשריים שיכולים להתקבל בזריקת 2 מטבעות. (1 – מסמל הצלחה, 0 – מסמל כשלון)
| האפשרויות | מטבע ראשונה | מטבע שנייה | סה"כ הצלחות בכל אפשרות |
|---|---|---|---|
| אפשרות א' | 1 | 1 | 2 |
| אפשרות ב' | 1 | 0 | 1 |
| אפשרות ג' | 0 | 1 | 1 |
| אפשרות ד' | 0 | 0 | 0 |
ב. חישוב ההסתברות לקבלת כל אחת מ- 4 האפשרויות
ההסתברות לקבלת אפשרות כלשהי, מושפעת מהסתברות לקבלת הצלחה ולקבלת כשלון בכל ניסוי. בדוגמא שלנו, ההסתברות היא `1/2` הן להצלחה והן לכישלון.
נוסיף לטבלה טור חמישי שבו תחושב ההסתברות לכל אפשרות.
| האפשרויות | מטבע ראשונה | מטבע שנייה | סה"כ הצלחות בכל אפשרות | הסתברות של האפשרות |
|---|---|---|---|---|
| אפשרות א' | 1 | 1 | 2 | `1/2*1/2=1/4` |
| אפשרות ב' | 1 | 0 | 1 | `1/2*1/2=1/4` |
| אפשרות ג' | 0 | 1 | 1 | `1/2*1/2=1/4` |
| אפשרות ד' | 0 | 0 | 0 | `1/2*1/2=1/4` |
| סה"כ | 1 |
ג. ההסתברות לקבלת כל אחד מערכי המשתנה
כאמור ערכי המשתנה הם מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות.
הערכים האפשריים הם: 0, 1, 2.
כדי לקבל את ההסתברות של כל ערך, עלינו לספור כמה אפשרויות בטבלה 2.4 מניבות אותו ערך (הערך מוצג בטור 4 בטבלה).
| ערכי המשתנה (מספר ההצלחות) | ההסתברות |
|---|---|
| 0 | `1/4` |
| 1 | `1/2` |
| 2 | `1/4` |
| סה"כ | 1 |
המשותף לכל האפשרויות המניבות את אותו ערך (טבלה 2.3)
כל האפשרויות המתייחסות לאותו ערך (למשל הצלחה אחת), הן בעלות אותה הסתברות להופיע.
וההסבר: בכל אחת מאפשרויות אלו, יש אותו מספר הצלחות ואותו מספר כישלונות.
