צורת פונקציית העלות היא:
- TC = L * PL + K * PK
נתייחס כדוגמא לפונקציית ייצור מסוג KD ונציב במקום K ו- L את החלופה שלהם בערכים של x, כפי שהוסבר בפרק הקודם, ונקבל את TC כפונקציה של x.
נבחין בין TC לטווח הארוך ו-TC לטווח הקצר.
סימולים
- TCLR – LR ר"ת של Long Run
- TCSR – SR ר"ת של Short Run
- TCSR (K=4) – כשיש צורך אנו מוסיפים לסימול בטווח הקצר את מספר המכונות במועד א' (לפני השינוי בתפוקה)
דוגמאות – כללי
- בהמשך נציג דוגמאות לחישוב TC בטווח הארוך ובטווח הקצר שיתבססו על פונקציית ייצור מסוג KD. נתוני הדוגמאות יהיו פשוטים במיוחד כדי שנתרכז בכלכלה ולא נשקיע מאמץ במתמטיקה.
- טכניקת הפתרון בטווח הארוך
- נתחיל מהקשר הקיים בין K ו- L מקו ההתרחבות.
- נמצא את L כפונקציה של x ואת K כפונקציה של x.
- נציב בפונקציית העלות את החלופות של L ו- K בערכי x.
- טכניקת הפתרון בטווח הקצר
- נתחיל בפונקציית הייצור כאשר K הוא נתון קבוע וידוע.
- נבודד את L בפונקציית הייצור, ונציב את החלופה שלו בפונקציית העלות.
דוגמא 1 – חישוב TCLR
נתוני הדוגמא:
- פונקציית הייצור: x = L0.5 * K0.5
- מחירי השוק: PL = 2 ש"ח, PK = 1 ש"ח
הפתרון
- קו ההתרחבות בפונקציית KD הוא K = (β/α) * (PL/PK) * L, ובנתוני הדוגמא: L = 2K ו- K = 2L.
- נציב בפונקציית הייצור L במקום K ונקבל: x = √2 * L. נבודד את L ונקבל: L = x/√2.
- נציב בפונקציית הייצור K במקום L ונקבל: x = K/√2. נבודד את K ונקבל: TC = (√2 * 2) * x.
דוגמא 2 – חישוב TCSR
נתוני הדוגמא זהים לדוגמא 1. במועד א' ישנן במפעל 4 מכונות.
הפתרון
- בזמן הקצר מספר המכונות יישאר קבוע על 4 מכונות ולפיכך פונקציית הייצור בנתוני הדוגמא היא: x = L0.5 * 40.5 + 2L0.5. נבודד את L ונקבל: L = x2/4.
- נציב את החלופה של L בפונקציית העלות ונקבל: TC = x2/4 * 2 + 4 * 1, כלומר, TC = x2/2 + 4.
דוגמא 3 – חישוב TCLR
נתוני הדוגמא:
- פונקציית הייצור: x = √L + √K (אדיטיבית)
- מחירי השוק: PL = 1 ש"ח, PK = 1 ש"ח
הפתרון
- קו ההתרחבות בטווח הארוך של פונקציה זו הוא: K = (PL/PK)1/(1-α) * L, ובנתוני הדוגמא: L = K.
- נציב בפונקציית הייצור L במקום K ונקבל: x = √2 * L. נבודד את L ונקבל: L = x2/4.
- נציב בפונקציית הייצור K במקום L ונקבל: x = √2 * K. נבודד את K ונקבל: K = x2/4.
- נציב בפונקציית העלות את החלופות של L ו- K בערכים של x ואת נתוני השוק שבדוגמא ונקבל TCLR = (x2/4 * 1 + x2/4 * 1) = x2/2.
דוגמא 4 – חישוב
נתוני הדוגמא זהים לדוגמא 3. נתייחס ל- 2 תרחישים לגבי מספר המכונות במועד א' במפעל:
- במועד א' במפעל 4 מכונות.
- פונקציית הייצור בנתוני הדוגמא היא x = √L + 2.
- נבודד את L ונקבל: L = (x-2)2.
- נציב בפונקציית העלות את החלופה של L בערכי x, 4 = K ואת נתוני השוק בדוגמא ונקבל: TCSR = ((x-2)2 * 1 + 4 * 1) = x2 – 4x + 8.
- בטווח הארוך עם 4 מכונות נוכל לייצר 4 יח' תפוקה: K = L = 4 → x = √4 + √4 = 4.
- במועד א' החברה מייצרת 4 יח' והעלות היא 8 ש"ח: TCLR = X2/2.
- כאשר מגדילים את התפוקה מ- 4 ל- 9 יח', אזי:
- בטווח הקצר: ברשות המפעל עדיין 4 מכונות (המייצרות 9 יחידות תפוקה (X)), והעלות מגיעה ל- 53 ש"ח: TCSR(K=4) = X2 – 4x + 8.
- בטווח הארוך: העלות יורדת ל- 40.5 ש"ח: TCSR = TCLR = X2/2 כשמספר המכונות השתנה בהתאם.
- במועד א' במפעל 9 מכונות.
- פונקציית הייצור בנתוני הדוגמא היא x = √L + 3. נבודד את L ונקבל: L = (x-3)2.
- בטווח הארוך עם 9 מכונות נוכל לייצר 6 יח' תפוקה: K = L = 9 → x = √9 + √9 = 6.
- במועד א' החברה מייצרת 6 יח' והעלות היא 18 ש"ח: TCLR = X2/2.
- כאשר מגדילים את התפוקה מ- 6 יח' ל- 10 יח', אזי:
- בטווח הקצר: העלות מגיעה ל- 58 ש"ח: TCSR(K=9) = X2 – 6x + 18.
- בטווח הארוך: מספר המכונות במפעל משתנה, והעלות יורדת ל- 50 ש"ח: TCLR = X2/2.