מונופול המוכר לשני שווקים

בפרק זה נעסוק במונופול היכול למכור את תפוקתו לשני שווקים. המונופול לא חייב למכור בשני השווקים. ההחלטה היא על בסיס כלכלי. לכל שוק פונקציית ביקוש ייחודית. נתייחס בהמשך ל-2 תרחישים, בליווי דוגמאות. 1. המונופול יכול לקבוע מחיר שונה בכל שוק (מונופול מפלה). 2. המונופול חייב לקבוע מחיר זהה בשני השווקים (מונופול לא מפלה). מונופול מפלה (בליווי דוגמה 1). מקרא. דוגמה 1. נתוני הדוגמה: פונקציית העלות TC(Q) = Q² + 5. הכמות שתימכר בשוק א': Q1. הכמות שתימכר בשוק ב': Q2. פונקציית הביקוש בשוק א': P1 = 100 − Q1.

\[Q = Q_1 + Q_2 \qquad TC_{(Q)} = Q^{2} + \ldots \qquad \text{שוק א׳: } P = 100 – Q\]

פונקציית הביקוש בשוק א': P1 = 100 − Q1.

\[\text{שוק א׳: } P_1 = 100 – Q_1\]

המחיר שייקבע בשוק א': P1 = P. פונקציית הביקוש בשוק ב': P2 = 80 − Q2.

\[\text{שוק ב׳: } P_2 = 80 – Q_2\]

המחיר שייקבע בשוק ב': P2. פתרון. פונקציית הרווח היא:

\[\pi = Q_1(100 – Q_1) + Q_2(80 – Q_2) – \left[(Q_1 + Q_2)^{2} + 5\right]\]

קיבלנו פונקציה עם שני משתנים Q1 ו-Q2. כדי למצוא את המקסימום של הפונקציה יש לגזור את הפונקציה פעם לפי Q1 ופעם לפי Q2, ולהשוות את שתי הנגזרות ל-0. לפני הגזירה נפשט את פונקציית הרווח ונקבל:

\[\begin{gathered} \pi = \left[100Q_1 – Q_1^{2}\right] + \left[80Q_2 – Q_2^{2}\right] – \left[Q_1^{2} + 2Q_1 Q_2 + Q_2^{2} + 5\right] \\ \pi = 100Q_1 – 2Q_1^{2} + 80Q_2 – 2Q_2^{2} – 2Q_1 Q_2 – 5 \end{gathered}\]

נגזור לפי Q1 ונשווה ל-0. התוצאה: 0 = 100 − 4Q1 − 2Q2. נגזור לפי Q2 ונשווה ל-0. התוצאה: 0 = 80 − 4Q2 − 2Q1. קיבלנו שתי משוואות עם שני נעלמים שהפתרון שלהן הוא:

הכמות הכוללת שייצר המונופול תהיה 30 יח' (Q = 20 + 10). המחירים שייקבעו בשני השווקים הם:

\[P_1 = 80 \ \text{שי״ח} \quad [P_1 = 100 – Q_1] \qquad P_2 = 70 \ \text{שי״ח} \quad [P_2 = 80 – Q_2]\]

פדיון שוק ב'. פדיון שוק א'. רווח המונופול: 1395 ש"ח [= (20 * 80 + 10 * 70) − (30 + 5)]. היות שהרווח חיובי, המונופול ייצר. פרשנות: 1. כאשר המונופול מפלה ומתקבל כי הכמויות בשני השווקים חיוביות, הוא ימכור ב-2 השווקים בהתאם לתוצאות שהתקבלו. 2. אם באחד השווקים הכמות היא שלילית המונופול לא ימכור לאותו השוק. נראה דוגמה: דוגמה 2. נתוני הדוגמה: פונקציית הייצור TC = 30Q + 2Q². פונקציית הביקוש בשוק א': P1 = 100 − Q1. פונקציית הביקוש בשוק ב': P2 = 60 − Q2. פתרון. פונקציית הרווח היא:

\[\pi = Q_1(100 – Q_1) + Q_2(60 – Q_2) – \left(30(Q_1 + Q_2) + 2(Q_1 + Q_2)^{2}\right)\]

לאחר שנפשט נקבל:

\[\pi = 70Q_1 – 3Q_1^2 + 30Q_2 – 3Q_2^2 – 4Q_1 Q_2\]

נגזור לפי Q1 ונשווה ל-0. התוצאה: 0 = 70 − 6Q1 − 4Q2. נגזור לפי Q2 ונשווה ל-0. התוצאה: 0 = 30 − 6Q2 − 4Q1. הפתרון של שתי המשוואות הוא:

\[\begin{gathered} Q_1 = 15 \\ Q_2 = -5 \end{gathered}\]

בשוק ב' קיבלנו כמות שלילית, פרוש הדבר שהמונופול לא ימכור לשוק זה, אלא לשוק א' בלבד. למעשה שוק ב' לא רלוונטי למונופול והוא מתייחס רק לשוק א', ושיקוליו זהים למונופול שפועל בשוק אחד. היקף הייצור יקבע בהתאם לכמות שבה MC משתווה ל-MR:

\[MC = MR \Rightarrow 30 + 4Q = 100 – 2Q\]

התוצאה: Q = 11.67 יח'.

\[P = 88.33 \ \text{יח׳}\]

מונופול לא מפלה

אם על המונופול מוטלת מגבלה שהמחיר בשני השווקים צריך להיות זהה, הרווח לא יכול להיות גדול יותר מאשר המצב ללא המגבלה. נבחן את שיקולי המונופול באמצעות דוגמה 3 שנתוניה זהים לדוגמה 1, למעט האיסור על אפליה. דוגמה 3. הקדמה. היות והמחיר אחיד בשני השווקים [P1 = P2], נציב P בפונקציית הביקוש (במקום P1 ו-P2). נתוני הדוגמה: פונקציית העלות TC(Q) = Q² + 5. פונקציית הביקוש בשוק א': P1 = 100 − Q1. פונקציית הביקוש בשוק ב': P2 = 80 − Q2. פתרון. הקדמה. עד כה נהגנו להציג את הפדיון באמצעות המשתנה Q. למשל, הפדיון בשוק א' הוצג כך: TR = (100 − Q1) Q1 (במקום P אנו מציבים [100 − Q1]). כאשר המחיר אחיד, פשוט יותר להציג את הפדיון באמצעות המשתנה P. (במקום Q1 אנו מציבים [100 − P]). הפדיון של שוק א' יוצג כך: TR1 = P * (100 − P).

\[\begin{gathered} \text{כך} : TR_1 = P \cdot (100 – P) \quad \text{(במקום} \ Q_1 \ \text{אנו מציבים} : [100 – P]). \\[4pt] \text{כך} : TR_2 = P \cdot (80 – P) \quad \text{(במקום} \ Q_2 \ \text{אנו מציבים} : [80 – P]). \end{gathered}\]

(במקום Q2 אנו מציבים [80 − P]). הפדיון של שוק ב' יוצג כך: TR2 = P * (80 − P).

\[\begin{gathered} \text{שוק ב׳ יוצג כך} : TR_2 = P \cdot (80 – P) \quad \text{(במקום} \ Q_2 \ \text{אנו מציבים)} \\[4pt] \textbf{\text{הרווח:}} \ (100 – P)P + (80 – P)P – \left[ \left( \underline{100 – P} + \underline{80 – P} \right)^2 + 5 \right] \end{gathered}\]

פונקציית הרווח: π = (100 − P) P + (80 − P) P − [(100 − P + 80 − P)² + 5].

\[\textbf{\text{הרווח:}} \ (100 – P)P – \left[ \left( \underbrace{100 – P}_{Q_1} + \underbrace{80 – P}_{Q_2} \right) + 5 \right]\]

בפונקציית הרווח יש משתנה אחד בלבד, P. כדי למצוא את המקסימום לפונקציה כזאת יש לגזור את הפונקציה ולהשוות ל-0. לפני הגזירה נפשט את פונקציית הרווח ונקבל:

\[\begin{aligned} \pi &= 100P – P^2 + 80P – P^2 – (180 – 2P)^2 – 5 = \\ &= 180P – 2P^2 – 180^2 + 720P – 4P^2 – 5 = \\ \pi &= 900P – 6P^2 – 180^2 – 5 \end{aligned}\]

נגזור ונשווה ל-0. התוצאה: 0 = 900 − 12P. ומכאן: P = 75 ש"ח. המחיר כאמור זהה בשני השווקים. בשוק א' הכמות היא 25 יח' (Q1 = 100 − 75). בשוק ב' הכמות היא 5 יח' (Q2 = 80 − 75). כמות הייצור: 30. הרווח: 1345 ש"ח [= (25 * 75 + 5 * 75) − (30 + 5)].

\[1 \ \text{ש״ח} \ \left[ 25 \cdot 75 + 5 \cdot 75 – (30^2 + 5) = \right]\]

האם כדאי למונופול לא מפלה למכור רק לשוק אחד?

נבחן 2 דוגמאות. בכל דוגמה נשווה את הרווח המתקבל ממכירה ל-2 שווקים, לרווח המתקבל ממכירה רק לשוק אחד שהוא השוק היותר עשיר. השוק היותר עשיר הוא זה שעקומת הביקוש שלו מתחילה ממחיר יותר גבוה. דוגמה 4 – מונופול שיכול להפלות. דוגמה 4 מתבססת על נתוני דוגמה 1 שהם: פונקציית הייצור TC(Q) = Q² + 5. פונקציית הביקוש בשוק א': P1 = 100 − Q1. פונקציית הביקוש בשוק ב': P2 = 80 − Q2. השוק העשיר הוא שוק א' שהמחיר בו מתחיל מ-100 ש"ח (לעומת 80 ש"ח בשוק ב').

חישוב הרווח ממכירה לשוק העשיר בלבד

המונופול ימכור עד לכמות שבה MC = MR, כלומר 100 − 2Q = 2Q, Q = 25 והתוצאה:

\[P = 100 – Q = 75\]

רווח המונופול: 1,245 ש"ח [= (25 * 75) − (25² + 5)].

\[1 \ \text{ש״ח} \ \left[ 25 \cdot 75 – (25^2 + 5) = \right].\]

בדוגמה 1 המונופול מוכר כשהוא מפלה בין 2 השווקים והרווחים מסתכמים ב-1,395 ש"ח. מסקנה: למונופול כדאי למכור בשני השווקים. דוגמה 5 – מונופול שאינו יכול להפלות. תנאי הדוגמה: פונקציית העלות TC = Q² + 100. פונקציית הביקוש בשוק א': Q1 = 80 − P. פונקציית הביקוש בשוק ב': Q2 = 50 − P. פתרון.

\[\textbf{\text{הרווח:}} \ (\ldots + P)P – \left[ \frac{\left[ (80 – P) + (50 – P) \right]^2}{\ldots} + 100 \right]\]

1. פונקציית הרווח: π = (80 − P) P + (50 − P) P − [[(80 − P) + (50 − P)]² / 2 + 100].

\[\textbf{\text{הרווח:}} \quad \pi = (80 – P)P + (50 – P)P – \left[ \frac{\left[ (80 – P) + (50 – P) \right]^2}{2} + 100 \right]\]

נפשט ונקבל: π = 390P − 4P² − 8550. 2. נגזור ונשווה ל-0. התוצאה: P = 48.75 ש"ח.

\[\begin{aligned} &Q_1 = 31.25 \ \text{יח׳} \ (= 80 – P) \\ &Q_2 = 1.25 \ \text{יח׳} \ (= 50 – P) \\[6pt] &\textbf{\text{רווח המונופול: 956.25 ש״ח}} \quad \left[ 48.75 \cdot (31.25 + 1.25) – \left( \frac{32.5^2}{2} + 100 \right) = \right] \end{aligned}\]

רווח המונופול: 956.25 ש"ח [= 48.75 * (31.25 + 1.25) − (32.5² / 2 + 100)]. 3. נחשב את הרווח ממכירה לשוק העשיר (שוק א') בלבד. כמות הייצור: Q = 26.67 יח' [80 − 2Q]. המחיר: P = 53.33 ש"ח [= 80 − Q]. הרווח: 966.67 ש"ח [= (53.33 * 26.67) − (26.67² + 100)]. מסקנה: הרווח שמתקבל משוק א' בלבד גדול מהרווח שמתקבל ב-2 השווקים, ולכן המונופול יעדיף למכור בשוק א' בלבד.

מונופול שיכול להפלות אך בוחר, משיקולים כלכליים, שלא להפלות

כאשר פונקציות הביקוש בשני השווקים הן לינאריות ומתחילות מאותה נקודה על הציר האנכי, וכמו כן MC הוא סכום קבוע, לא כדאי למונופול להפלות. במקרה זה, המחיר שימקסם את רווחי המונופול בכל אחד מהשווקים בנפרד יהיה זהה. בעזרת דוגמה 6 נמחיש שלמונופול כדאי לקבוע את אותו המחיר בשני השווקים, למרות שהיה יכול להפלות ולקבוע מחירים שונים בשני השווקים. תרשים 26. דוגמה 6. נתוני הדוגמה: פונקציית העלות TC = 10Q. פונקציית הביקוש בשוק א': P1 = 60 − Q1. פונקציית הביקוש בשוק ב': P2 = 60 − 2Q2. תרשים 26 מציג את נתוני הדוגמה. פתרון. פונקציית הרווח: π = Q1 (60 − Q1) + Q2 (60 − 2Q2) − 10(Q1 + Q2).

\[\textbf{\text{הרווח:}} \quad \pi = Q_1(60 – Q_1) + Q_2(60 – 2Q_2) – 10(Q_1 + Q_2)\]

נפשט ונקבל: π = 50Q1 − Q1² + 50Q2 − 2Q2². נגזור לפי Q1 ונשווה ל-0. התוצאה: 0 = 50 − 2Q1. נגזור לפי Q2 ונשווה ל-0. התוצאה: 50 − 4Q2 = 0. נפתור המשוואות ונקבל: Q1 = 25 יח', Q2 = 12.5 יח'.

בשני השווקים המחיר זהה: 35 ש"ח [P1 = 60 − 25 = 35, P2 = 60 − 2 * 12.5 = 35].

גילוי נאות: התוכן באתר אינו ייעוץ פיננסי, פנסיוני, מסים או השקעות. החלטות פיננסיות אישיות מומלץ לקבל בליווי בעל מקצוע מוסמך.