הקדמה: גורמי ייצור, סלים ותשואה לגודל

הקדמה

בתורת היצרן נעסוק בעיקר בקשר שבין גורמי הייצור לתפוקה. גורמי ייצור: נעסוק ב-2 גורמי ייצור: עובדים והון. I. עובדים — את מספר העובדים נסמל ב-L (L קיצור של Labor). II. הון — הון כולל בעיקר מכונות וציוד. אנו נתמקד במכונות. את מספר המכונות נסמל ב-K (K קיצור של Kapital מגרמנית. באנגלית המילה Capital רשומה עם C). סל גורמי ייצור: להרכב כלשהו של 2 גורמי הייצור נקרא סל גורמי ייצור או בקיצור סל. כל סל מכיל כמות כלשהי מ-L (לרבות 0) וכמות כלשהי מ-K (לרבות 0). מישור גורמי ייצור (תרשים 1): כל הרכב של גורמי ייצור מקבל ביטוי באמצעות נקודה במישור שציריו הם K ו-L. נקודות הציון של הנקודה תואמות את הרכב הסל. לדוגמה, בסל המיוצג ע"י הנקודה A בתרשים 1 יש 3 יחידות מגורם הייצור L ו-4 יחידות מגורם הייצור K. סימול מחיר גורמי הייצור: PL – המחיר (עלות) של L; PK – המחיר (עלות) של K. עלות הסל שנסמלה TC מתקבלת מהנוסחה: TC = L * PL + K * PK. חישוב היקף התפוקה באמצעות פונקציית הייצור: את כמות יחידות הייצור נסמל ב-x. כל סל מניב תפוקה כלשהי. התפוקה מחושבת באמצעות פונקציית הייצור של היצרן שמתייחסת לאותו מוצר. אם למשל פונקציית הייצור היא x = L*K והרכב הסל הוא (10,3), אזי התפוקה תסתכם ב-30 יח' [= 10 * 3] מהמוצר. סימולים המתלווים לפונקציית הייצור (חזרה והשלמות) בתוספת פרשנות ומשמעות: פונקציית ייצור (x = x(L,K)) — L מייצג את מספר העובדים, K מייצג את מספר המכונות. XL — נגזרת ראשונה לפי L. XK — נגזרת ראשונה לפי K. X LL — נגזרת ראשונה לפי L, נגזרת שנייה לפי L. X KK — נגזרת ראשונה לפי K, נגזרת שנייה לפי K. X LK — נגזרת ראשונה לפי L, נגזרת שנייה לפי K (הנגזרת הצולבת). X KL — נגזרת ראשונה לפי K, נגזרת שנייה לפי L (הנגזרת הצולבת). MPL — תפוקה שולית של עבודה. MPK — תפוקה שולית של הון. עבודה – L: התפוקה השולית של עבודה נוקבת בתוספת התפוקה שנובעת מהעסקת עובד נוסף (כאשר כמות המכונות נשארת קבועה). כאשר ניתנת פונקציית ייצור, אזי הנגזרת שלה לפי L (כאשר K קבוע בערך כלשהו) נוקבת בתפוקה השולית המתייחסת לכל ערך של L. לדוגמה בפונקציית הייצור x = L2 * K התפוקה השולית של L היא X L = 2LK, לכל ערך של K. למשל, אם K = 20 התפוקה השולית של L היא XL = 40L.

\[X_L = 40L \quad \text{היא } L\]

התפוקה השולית של העובד הראשון (L = 1) היא 40 יח' (= 20 * 1 * 2). התפוקה השולית של העובד השני (L = 2) היא 80 יח' (= 20 * 2 * 2), וכך הלאה. מכונות – K: התפוקה השולית של מכונות נוקבת בתוספת התפוקה שנובעת מהפעלת מכונה נוספת (כאשר מספר העובדים נשאר קבוע). בדוגמה שבה פונקציית הייצור היא x = L2 * K, התפוקה השולית של K היא X K = L2, לכל ערך של L. לדוגמה, כאשר L = 10, התפוקה השולית של כל מכונה נוספת היא 100 יח'. הגידול במספר המכונות לא משפיע על התפוקה השולית שלהן – התפוקה השולית של מכונות בדוגמה זו לא תלויה במספר המכונות. ייצור התפוקה במחיר הזול ביותר (הסל הנבחר): כל רמת תפוקה ניתן לייצר באמצעות מספר רב של סלים. אנו כמובן נעדיף את הסל הזול ביותר.

תשואה לגודל

התשואה לגודל בוחנת כיצד משפיע גידול בשיעור שווה ב-2 גורמי הייצור על שיעור הגידול בתפוקה. לדוגמה, באיזה שיעור תגדל התפוקה אם נגדיל פי 2 את הכמות של כל אחד מגורמי הייצור בסל המקורי? קיימות 3 אפשרויות: 1. שיעור הגידול בתפוקה שווה לשיעור הגידול בכמויות גורמי הייצור בסל. אפשרות זו מכונה: תשואה קבועה לגודל (תק"ל). 2. שיעור הגידול בתפוקה גדול משיעור הגידול בכמויות גורמי הייצור בסל. אפשרות זו מכונה: תשואה עולה לגודל (תע"ל). 3. שיעור הגידול בתפוקה קטן משיעור הגידול בכמויות של גורמי הייצור בסל. אפשרות זו מכונה: תשואה יורדת לגודל (תי"ל). התשואה לגודל מושפעת מצורת פונקציית הייצור: צורת פונקציית הייצור קובעת את מגמת התשואה לגודל. נציג 3 פונקציות שמניבות 3 תוצאות שונות. 1. תשואה קבועה לגודל — כאשר פונקציית הייצור היא x = L * K, מתקבלת תשואה קבועה לגודל (תק"ל). דוגמה: כאשר הרכב הסל הוא (4,9) מתקבלת תפוקה של 6 יח' (= 4 * 9). כאשר הרכב הסל מוכפל ל-(8,18) מתקבלת תפוקה של 12 יח' (= 8 * 18).

\[\text{יחי } \left( \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \right)\]

התפוקה גדלה באותו שיעור שבו גדל כל אחד מגורמי הייצור. בכל הרכב סל שנבחר נקבל תשואה קבועה לגודל. 2. תשואה עולה לגודל — כאשר פונקציית הייצור היא x = L * K, מתקבלת תשואה עולה לגודל (תע"ל). דוגמה: כאשר הרכב הסל הוא (1,1) מתקבלת תפוקה של 1 יח' (= 1 * 1). כאשר הרכב הסל מוכפל ל-(2,2) מתקבלת תפוקה של 4 יח' (= 2 * 2), פי 4. כאשר הרכב הסל מוכפל שוב ל-(4,4) מתקבלת תפוקה של 16 יח' (= 4 * 4), פי 4. בכל הרכב סל שנבחר, תמיד נקבל תשואה עולה לגודל. 3. תשואה יורדת לגודל — כאשר פונקציית הייצור היא x = L + K, מתקבלת תשואה יורדת לגודל (תי"ל). דוגמה: כאשר הרכב הסל הוא (1,4) מתקבלת תפוקה של 3 יח' (= 1 + 4), פי 1.4. כאשר הרכב הסל מוכפל ל-(2,8) מתקבלת תפוקה של 4.2 יח' (= 2 + 8). בכל הרכב סל שנבחר, תמיד נקבל תשואה יורדת לגודל. הסינרגיה בין גורמי הייצור: את הסינרגיה בין גורמי הייצור מקובל למיין במסגרת 3 קטגוריות: מסייעים (זה לזה); יריבים (זה לזה); בלתי תלויים (זה בזה). טכניקת המיון מתבצעת באמצעות הנגזרת הצולבת – כלומר, נגזרת שניה לפי K כשהנגזרת הראשונה היא לפי L [X LK], או להפך, כלומר [X KL]. הנגזרות הצולבות XLK ו-XKL שוות זו לזו, ולכן לא משנה באיזו מהן נשתמש. כאשר X LK > 0 גורמי הייצור מסייעים; כאשר X LK < 0 גורמי הייצור יריבים; כאשר X LK = 0 גורמי הייצור בלתי תלויים. פרשנות: X L היא התפוקה השולית של עובדים. X LK מציג את ההשפעה על התפוקה כאשר בד בבד עם הגידול במספר העובדים גדל גם מספר המכונות. כאשר X LK חיובי, המשמעות היא: תוספת מכונות בד בבד עם הגידול בעובדים, גורמת לגידול בתפוקה. כאשר X LK שלילי, המשמעות היא: תוספת מכונות בד בבד עם הגידול בעובדים, גורמת לקיטון בתפוקה. כאשר X LK = 0, המשמעות היא: תוספת מכונות בד בבד עם הגידול בעובדים, לא משפיעה על תפוקת העובדים. דוגמאות: דוגמה 1 — נבחן את הסינרגיה בין גורמי הייצור כאשר פונקציית הייצור היא x = L * K. ההבחנה נעשית בהתאם לתוצאת X LK.

\[\begin{gathered} \text{נוצאת } X_{LK} \\ X_L = K \\ X_{LK} = 1 > 0 \end{gathered}\]

המסקנה: גורמי הייצור מסייעים. דוגמה 2 — נבחן את הסינרגיה בין גורמי הייצור כאשר פונקציית הייצור היא X = L * K.

\[\begin{gathered} \alpha > 0,\ \beta > 0 \\ X_L = \alpha L^{\alpha-1} \cdot K^{\beta} \\ X_{LK} = \alpha L^{\alpha-1} \cdot \beta K^{\beta-1} \end{gathered}\]

התוצאה X LK > 0: שכן כל הנתונים בנגזרת השנייה חיוביים (L, β, α ו-K). K β−1 ו-Lα−1 יכולים להיות גם שבר, אך תמיד שבר חיובי. המסקנה: גורמי הייצור מסייעים. דוגמה 3 — פונקציית הייצור היא x = 3L + 5K.

\[\begin{gathered} X_L = 3 \\ X_{LK} = 0 \end{gathered}\]

המסקנה: גורמי הייצור בלתי תלויים. קווי תקציב (עקומות שוות עלות): כל הסלים שמחירם זהה מקיימים את המשוואה L * PL + K * PK = I. אם נבודד את K נקבל את משוואה 1.

\[K = \frac{I}{P_K} – \frac{P_L}{P_K} L \qquad \text{: 1}\]

ע"פ תרשים 2, משוואה 1 מייצגת קו ישר שמאפייניו: נקודת החיתוך עם הציר האנכי:

\[\overline{P_K} \qquad \text{:}\]

שיפועו:

עקומות שוות תפוקה ו-RTS: אוסף כל הנקודות המייצגות הרכבי גורמי ייצור המניבים אותה תפוקה, יוצר קו שנקרא "עקומה שוות תפוקה". נתבונן בפונקציית הייצור X = L * K. כל הרכבי גורמי הייצור הבאים נמצאים על אותה עקומה שוות תפוקה: (30,1), (15,2), (10,3), (6,5), (5,6), (3,10), (2,15), (1,30). כל הסלים האלו מניבים 30 יחידות מוצר x. לכל רמת תפוקה קיימת עקומה שוות תפוקה. היות ורמת התפוקה היא משתנה רציף, קיימות אינסוף עקומות שוות תפוקה. תוואי עקומות שוות תפוקה: עקומה שוות תפוקה יורדת משמאל לימין (שיפוע שלילי). המשמעות היא שכדי לייצר כמות תפוקה כלשהי, על כל תוספת של 1 יח' מ-L, ניתן לוותר על כמות כלשהי של יחידות מ-K (תרשים 3). עקומה שוות תפוקה מתאפיינת בתכונת השיוויון הבאה: התפוקה הנובעת מתוספת יחידה מ-L משתווה להפסד התפוקה שנובע מהוויתור הנדרש על כמות יחידות כלשהי מ-K. את כמות היחידות מ-K שעלינו לוותר עליהן נסמן ∆K. תוספת התפוקה שווה ל-1 יח' מ-L: MPL * 1 (MPL – התפוקה השולית של L). הפסד התפוקה שווה ל-∆K יח' מ-K: MPK * ∆K (MPK – התפוקה השולית של K). השיוויון הנ"ל מוצג במשוואה 1: MPK * ∆K = MPL * 1, משוואה 1. אם נשנה את סדר האיברים במשוואה 1 נקבל את משוואה 2. יחס התפוקות השוליות הוא הנגזרת של הפונקציה.

\[\frac{\Delta K}{\Delta L} = \frac{MP_L}{MP_K} \qquad \text{: 2} \qquad \left( \frac{\Delta K}{\Delta L} \text{ היא ה} \right)\]

∆K/∆L היא הנגזרת של הפונקציה. משוואה 2.

כלומר, הנגזרת של פונקציית עקומה שוות תפוקה בכל נקודה, שווה ליחס התפוקות השוליות באותה נקודה. התייחסות יותר כללית: גידול התפוקה הנובע מתוספת של ∆L יחידות משתווה להפסד התפוקה הנובע מהוויתור הנדרש מ-K שנסמלו ∆K (תרשים 4). השיוויון מוצג במשוואה 3: ∆K * MPK = ∆L * MPL, משוואה 3. אם נשנה את סדר האיברים במשוואה 3 נקבל את משוואה 4: יחס התפוקות השוליות הוא הנגזרת. משוואה 4.

שימו לב: האיברים המתייחסים ל-L נמצאים במונה בצד אחד של המשוואה ובמכנה בצידה השני, וכך גם האיברים המתייחסים ל-K.

– RTS ר"ת של Rate of Technical Substitution

RTS הוא הכינוי לשיפוע עקומה שוות תפוקה. בעברית מתייחסים למונח RTS כשיעור התחלופה השולי בייצור. דוגמה לחישוב RTS של עקומה שוות תפוקה: פונקציית הייצור היא x = L2 * K. חשב את RTS בנקודה (1, 1). פתרון: בכל נקודה על העקומה מתקיים היחס ∆K/∆L = MPL/MPK (משוואה 4).

\[\begin{gathered} \text{בכל נקודה על העקומה מתקיים היחס: } \frac{MP_L}{\Delta L} = \frac{MP_L}{MP_K} \quad \text{(משוו} \\ \frac{\Delta K}{\Delta L} \text{ הוא שיפוע העקומה, RTS.} \end{gathered}\]

∆K/∆L הוא שיפוע העקומה, RTS.

\[\begin{gathered} \frac{MP_L}{\Delta L} \text{ הוא שיפוע העקומה, RTS.} \\ \text{מהשוויון נוכל לחשב את RTS ע"י חישוב היחס } \frac{MP_L}{MP_K}. \end{gathered}\]

מהשוויון נוכל לחשב את RTS ע"י חישוב היחס MPL/MPK.

\[\text{היחס } \frac{MP_L}{MP_K}.\]

חישוב MPL = X L (נגזרת ראשונה לפי L) = 2LK. חישוב MPK = X K (נגזרת ראשונה לפי K) = L2. RTS = 2LK / L2 = 2K / L. והתוצאה: RTS בנקודה (1,1) היא (2 * 1) / 1 = 2.

\[\text{היא } 2 \left( \frac{2LK}{L^2} = \frac{2K}{L} = \frac{2 \cdot 1}{1} = \right).\]

גילוי נאות: התוכן באתר אינו ייעוץ פיננסי, פנסיוני, מסים או השקעות. החלטות פיננסיות אישיות מומלץ לקבל בליווי בעל מקצוע מוסמך.