ייצור יעיל: בחירת הסל הזול ביותר

ייצור יעיל

הקדמה: בייצור יעיל הסל הנבחר צריך להימצא בנקודת ההשקה של קו תקציב ועקומה שוות תפוקה. קיימים 2 תרחישים שבהם אנו בוחנים אם הייצור יעיל: תרחיש 1 – התפוקה נתונה ועלינו למצוא את הסל הזול ביותר המניב את אותה התפוקה. תרחיש 2 – התקציב מוגבל ועלינו למצוא את הסל שמניב את התפוקה המקסימלית במסגרת התקציב. תרשים 5. תרחיש 1 – התפוקה נתונה: בתרחיש זה התפוקה נתונה, למשל 12 יח', ועלינו למצוא את הסל שיניב תפוקה זו בעלות מינימלית. הסל הנבחר צריך להמצא בנקודת ההשקה של עקומה שוות תפוקה 12 וקו תקציב כלשהו. תרשים 5 מציג את מיקום הסל הנבחר. דוגמה לתרחיש 1: מצא את הרכב הסל הנבחר במסגרת הנתונים הבאים: פונקציית הייצור: x = L*K. נתוני השוק: PL = 2 ש"ח, PK = 2 ש"ח. התפוקה הנדרשת: 12 יח'. הפתרון: הסל משתלב ב-2 משוואות: משוואה 1: L * K = 12 (התפוקה היא 12 יח'). משוואה 2: (העקומה שוות התפוקה 12 משיקה לקו התקציב ולכן בנקודת

\[\begin{gathered} \frac{MP_L}{P_K} = \frac{MP_L}{P_K} = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{: 2} \quad \text{(העקומה שוות התפוקה 12 משיקה לקו ה} \\ \text{ההשקה מתקיים השיוויון } \left[ \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{P_L}{P_K} \right] – \frac{MP_L}{MP_K} \text{ הוא ש} \end{gathered}\]

הוא שיפוע עקומה שוות תפוקה, ההשקה מתקיים השיוויון).

\[\begin{gathered} \text{ההשקה מתקיים השיוויון } \left[ \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{P_L}{P_K} \right] – \frac{MP_L}{MP_K} \text{ הוא ש} \\ \frac{P_L}{P_K} \text{ -ו הוא שיפוע קו התקציב. בנקודת ההשקה השיפועי} \end{gathered}\]

הוא שיפוע קו התקציב. בנקודת ההשקה השיפועים שווים.

התוצאה:

\[K = \sqrt{12} \qquad \text{:}\]

תרשים 6: תרחיש 2 – התקציב נתון

בתרחיש זה התקציב נתון, למשל 100 ש"ח. עלינו למצוא את הסל שמניב את התפוקה המקסימלית במסגרת התקציב הנתון. הסל הנבחר צריך להמצא בנקודת ההשקה של קו תקציב, שנסמלו T100: 100', ועקומה שוות תפוקה כלשהי. תרשים 6 מציג את מיקום הסל הנבחר. דוגמה לתרחיש 2: מצא את הרכב הסל הנבחר במסגרת הנתונים הבאים: סכום התקציב: 100 ש"ח. נתוני השוק: PL = 2 ש"ח, PK = 2 ש"ח. פונקציית הייצור: x = L*K. הפתרון: הרכב הסל הנבחר משתלב ב-2 משוואות: משוואה 1: 2*L + 2*K = 100 (משוואת קו תקציב 100). משוואה 2: (קו התקציב 100 משיק לעקומה שוות תפוקה ולכן בנקודת

\[\begin{gathered} \frac{K}{L} = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{: 2} \quad \text{ואה} \quad \text{(קו התקציב 100 משיק לעקומה ש} \\ \text{ההשקה מתקיים השיוויון } \left[ \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{P_L}{P_K} \right] ) \end{gathered}\]

ההשקה מתקיים השיוויון).

\[\begin{gathered} \text{ההשקה מתקיים השיוויון } \left[ \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{P_L}{P_K} \right] ) \\ L = 25 \qquad \text{:} \end{gathered}\]

התוצאה:

הדוגמאות ב-2 התרחישים התייחסו לפונקציית ייצור מסוג קוב דגלאס. נסקור עכשיו בצורה שיטתית ובליווי דוגמאות את מיקום הסלים הנבחרים ב-2 התרחישים בכל אחת מ-4 פונקציות ייצור: קוב דגלאס (פעם נוספת), פונקציה לינארית, פונקציה אדיטיבית ופונקציית מינימום.

פונקציית קוב דגלאס

תרחיש 1: מצא את הרכב הסל הנבחר במסגרת הנתונים הבאים: התפוקה הנדרשת: 9 יח'. נתוני השוק: PL = 2 ש"ח, PK = 3 ש"ח. פונקציית הייצור: X = L2 * K. הפתרון: הסל הנבחר משתלב ב-2 משוואות:

\[\begin{gathered} \text{1.} \quad 9 = L^2 \cdot K \\ \text{2.} \quad \frac{2LK}{L^2} = \frac{2K}{L} = \frac{2}{3} \quad \left[ \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{P_L}{P_K} \right] \\ \text{התוצאה: } \quad L = 3 \\ K = 1 \end{gathered}\]

התוצאה: L = 3, K = 1. תרחיש 2: מצא את הרכב הסל הנבחר במסגרת הנתונים הבאים: סכום התקציב: 100 ש"ח. נתוני השוק: PL = 2 ש"ח, PK = 2 ש"ח. פונקציית הייצור: x = L2 * K. הפתרון: הסל הנבחר משתלב ב-2 משוואות: משוואה 1: 2*L + 2*K =

\[\text{ראה } 2 : \frac{2LK}{L^2} = \frac{2}{3} \quad \left( \left[ \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{P_L}{P_K} \right] \right)\]

משוואה 2:

התוצאה:

\[\begin{gathered} K = \frac{50}{3} \\ \text{המתקבלת: } 18518.52 \text{ יח'} \left[ \left( \frac{100}{3} \right)^2 \cdot \frac{50}{3} = \right]. \end{gathered}\]

התפוקה המתקבלת: 18518.52 יח'.

פונקציה לינארית

תרחיש 1: מצא את הרכב הסל במסגרת הנתונים הבאים: הכמות המבוקשת: 12 יח'. צורת פונקציית הייצור: x = 2L + K. מחירי השוק: PL = 1 ש"ח, PK = 3 ש"ח. הקדמה: בפונקציית ייצור לינארית x = αL + βK כאשר: 1. PL נחשב כיקר (כלומר, PL > (α/β) PK), משתמשים רק ב-K.

\[\begin{gathered} \text{1. } P_L \text{ נחשב יקר (כלומר, } P_L < \frac{\alpha}{\beta} P_K \text{), משת} \\ \text{2. } P_L \text{ נחשב זול (כלומר, } P_L > \frac{\alpha}{\beta} P_K \text{), משתנ} \end{gathered}\]

2. PL נחשב כזול (כלומר, PL < (α/β) PK), משתמשים רק ב-L.

\[\begin{gathered} \text{2. } P_L \text{ נחשב זול (כלומר, } P_L > \frac{\alpha}{\beta} P_K \text{), משתמ} \\ \text{3. } P_L \text{ נחשב גבולי (כלומר, } P_L = \frac{\alpha}{\beta} P_K \text{), קיימ} \end{gathered}\]

3. PL נחשב גבולי (כלומר, PL = (α/β) PK), קיימת אדישות בין K ל-L. הפתרון: בדוגמה זו PL נחשב זול ((α/β) PK = 3 = 1 * 3) ו-1 = PL < 3, ולפיכך משתמשים רק ב-L. הסל הנבחר מקיים את המשוואה: 2L + 0 = 12. התוצאה: L = 6, K = 0. תרחיש 1 – הרחבה: 1. הפתרון כאשר PL נחשב יקר: אילו מחירי השוק היו PL = 6 ש"ח ו-PK = 2 ש"ח,

\[\begin{gathered} \text{השוק היו: } P_L = 6 \text{ ש"ח ו- } P_K = 2 \text{ ש"ח,} \\ \text{ב ליקר } \left( 6 = P_L > \frac{\alpha}{\beta} P_K = \frac{2}{1} \cdot 2 = 4 \right) \text{ והיינו ו} \end{gathered}\]

PL היה נחשב ליקר ((α/β) PK = 2 * 2 = 4) ו-PL = 6 > 4, והיינו משתמשים רק ב-K. הפתרון: הסל הנבחר מקיים את המשוואה: K = 12. התוצאה:

\[K = 12 \qquad \text{:}\]

2. הפתרון כאשר PL נחשב גבולי: אילו מחירי השוק היו PL = 4 ש"ח ו-PK = 2 ש"ח,

\[\begin{gathered} \text{השוק היו: } P_L = 4 \text{ ש"ח ו- } P_K = 2 \text{ ש"ח,} \\ \text{ב גבולי } \left( 4 = P_L = \frac{\alpha}{\beta} P_K = \frac{2}{1} \cdot 2 = 4 \right). \end{gathered}\]

PL היה נחשב גבולי ((α/β) PK = 2 * 2 = 4) ו-PL = 4 = 4. הפתרון: הסל הנבחר מקיים את המשוואה: 2L + K = 12. התוצאה: L ∈ [0, 3] יח'

\[\text{ה: } \quad L \in \left[ 0, \frac{12}{4} = 3 \right] \text{ יח'}\]

K ∈ [0, 6] יח' ומתקיים K = 12 − 2L

\[K \in \left[ 0, \frac{12}{2} = 6 \right] \text{ יח' ומתקיים } K = 12 – 2L\]

כל 1 יח' מ-L שוות ערך ל-2 יחידות מ-K. תרחיש 2: מצא את הרכב הסל במסגרת הנתונים הבאים: סכום התקציב: 10 ש"ח. מחירי השוק: PL = 1 ש"ח, PK = 3 ש"ח. צורת פונקציית הייצור: x = 2L + K. היות ו-PL נחשב זול ((α/β) PK = 3 = 1 * 3) ו-1 = PL < 3, אנו רוכשים במסגרת התקציב רק מ-L.

\[\begin{gathered} P_L \text{ נחשב זול } \left( 1 = P_L < \frac{\alpha}{\beta} P_K = \frac{2}{1} \cdot 3 = 6 \right), \text{ אנו רו} \\ \text{תוצאה: } \quad L = 10 \\ K = 0 \end{gathered}\]

התוצאה: L = 10, K = 0. סך התפוקה המתקבלת מהסל: 20 יח' (= 2 * 10 + 0). תרחיש 2 – הרחבה: 1. הפתרון כאשר PL נחשב יקר: אילו מחירי השוק היו PL = 6 ש"ח ו-PK = 2 ש"ח, PL היה נחשב יקר. במצב זה רוכשים במסגרת התקציב רק מ-K. התוצאה: L = 0.

2. הפתרון כאשר PL נחשב גבולי: אילו מחירי השוק היו PL = 4 ש"ח ו-PK = 2 ש"ח, PL היה נחשב גבולי. במצב זה כל סל במסגרת התקציב הוא סל נבחר, כלומר, נוכל לבחור בכל סל על קו התקציב, והתפוקה בכל סל כזה תהיה 5 יח'. משוואת קו התקציב: Lα + Kα. פונקציה אדיטיבית. תרחיש 1: מצא את הרכב הסל הנבחר במסגרת התנאים הבאים: 1. הכמות המבוקשת: 6 יח'. 2. מחירי השוק: PL = 1 ש"ח, PK = 1 ש"ח. 3. פונקציית הייצור: x = L0.5 + K0.5. הפתרון: הסל הנבחר משתלב ב-2 משוואות:

\[\begin{gathered} \text{1.} \quad 6 = L^{0.5} + K^{0.5} \\ \text{2.} \quad \frac{\dfrac{1}{2\sqrt{L}}}{\dfrac{1}{2\sqrt{K}}} = \frac{\sqrt{K}}{\sqrt{L}} = \frac{1}{1} \Rightarrow K = L \quad \left[ \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{P_L}{P_K} \right] \end{gathered}\]

נציב את התוצאה שקיבלנו ב-2 במשוואה 1 ונקבל: 6 = L0.5 + L0.5 = 2 L0.5. התוצאה: L = 9, K = 9. תרחיש 2: מצא את הרכב הסל הנבחר במסגרת התנאים הבאים: 1. סכום התקציב: 100 ש"ח. 2. מחירי השוק: PL = 1 ש"ח, PK = 1 ש"ח. 3. צורת פונקציית הייצור: x = L0.5 + K0.5. הפתרון: הסל הנבחר משתלב ב-2 משוואות:

\[\begin{gathered} \text{1.} \quad 100 = L \cdot 1 + K \cdot 1 \\ \text{2.} \quad \frac{\dfrac{1}{2\sqrt{L}}}{\dfrac{1}{2\sqrt{K}}} = \frac{\sqrt{K}}{\sqrt{L}} = \frac{1}{1} \Rightarrow K = L \quad \left[ \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{P_L}{P_K} \right] \\ \text{התוצאה: } \quad L = 50 \\ K = 50 \end{gathered}\]

התוצאה:

\[K = 50 \qquad \text{:}\]

התפוקה המתקבלת היא: 14.142 יח'. פונקציית מינימום ( x = min(αL, βK) ). תרחיש 1: מצא את הרכב הסל הנבחר במסגרת התנאים הבאים: 4. הכמות המבוקשת: 6 יח'. 5. מחירי השוק: PL = 2 ש"ח, PK = 1 ש"ח. 6. פונקציית הייצור: x = min(2L, 3K). הפתרון: בפ' מינימום בעלות אופטימלית, כלומר, ללא שארית, יתקיים x = αL = βK, ובמקרה זה תתקיים המשוואה: 6 = 2L = 3K. התוצאה: L = 3, K = 2. עלות הסל היא I = 3*2 + 2*1 = 8 ש"ח. תרחיש 2: מצא את הרכב הסל הנבחר במסגרת התנאים הבאים: 4. סכום התקציב: 16 ש"ח. 5. מחירי השוק: PL = 2 ש"ח, PK = 1 ש"ח. 6. צורת פונקציית הייצור: x = min(2L, 3K). הפתרון: הסל הנבחר משתלב ב-2 משוואות: 1. 2L = 3K (ייצור יעיל בפונקציית מינימום). 2. 2*L + 1*K = 16 (מגבלת התקציב). התוצאה: L = 6, K = 4. התפוקה המתקבלת מהסל: 12 יח'.

היחס בין L ו K בכל רמת תפוקה

בכל אחת מפונקציות הייצור קיים יחס קבוע בין L ו-K בכל רמת תפוקה. נמצא את היחס הזה בכל אחת מפונקציות הייצור. 1. פונקציית קוב דגלאס ( x = Lα * Kβ ): הסל הנבחר בכל רמת תפוקה מקיים את השיוויון הבא: XL/XK = PL/PK, כאשר XL הוא הנגזרת לפי L (MPL) ו-XK הוא הנגזרת לפי K (MPK).

\[\begin{gathered} \frac{X_L}{X_K} = \frac{P_L}{P_K} \qquad X_L \text{ – הנגזרת לפי } MP_L = L. \\ X_K \text{ – הנגזרת לפי } MP_K = K. \end{gathered}\]

XK הוא הנגזרת לפי K (MPK).

\[\begin{gathered} \frac{X_L}{X_K} = \frac{P_L}{P_K} \qquad X_K \text{ – הנגזרת לפי } MP_K = K. \\ \text{כאשר נציב את הנגזרות ונצמצם נקבל: } \frac{\alpha L^{\alpha-1} K^{\beta}}{\beta L^{\alpha} K^{\beta-1}} = \frac{\alpha K}{\beta L} = \frac{P_L}{P_K} \end{gathered}\]

כאשר נציב את הנגזרות ונצמצם נקבל:

\[\begin{gathered} \text{ונצמצם נקבל: } \frac{\alpha L^{\alpha-1} K^{\beta}}{\beta L^{\alpha} K^{\beta-1}} = \frac{\alpha K}{\beta L} = \frac{P_L}{P_K} \\ K = \frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{P_L}{P_K} \cdot L \qquad \left( \frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{P_L}{P_K} \right) \end{gathered}\]

נבודד את K ונקבל: K = (β/α) * (PL/PK) * L.

\[K = \frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{P_L}{P_K} \cdot L \qquad \text{:} \qquad \left( \frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{P_L}{P_K} \right)\]

פרשנות: בכל רמת תפוקה נשמר היחס הנ"ל בין L ו-K. 2. פונקציית ייצור לינארית ( x = αL + βK ): ישנם 3 תרחישים: I. כאשר PL נחשב זול, נשתמש רק ב-L: K=0. II. כאשר PL נחשב יקר, נשתמש רק ב-K: L=0.

III. כאשר PL גבולי: היחס בין L ל-K לא קבוע. L יכול לגדול מ-0 ועד x/α, ו-K יקטן בהתאם. 3. פונקציית מינימום ( x = min(αL, βK) ): הסל הנבחר מקיים את השיוויון αL = βK. נבודד את K ונקבל: K = (α/β) L. 4. פונקצייה אדיטיבית ( x = Lα + Kα ): הסל הנבחר מקיים את השיוויון

\[\begin{gathered} \text{ו את השיוויון } \frac{X_L}{X_K} = \frac{P_L}{P_K} \\ \text{קבל: } \frac{\alpha L^{\alpha-1}}{\alpha K^{\alpha-1}} = \frac{L^{\alpha-1}}{K^{\alpha-1}} = \left( \frac{L}{K} \right)^{\alpha-1} = \frac{P_L}{P_K}. \end{gathered}\]

נציב את הנגזרת ונקבל:

\[\begin{aligned} &\text{נקבל: } \quad \frac{\alpha L}{\alpha K^{\alpha-1}} = \frac{L}{K^{\alpha-1}} = \left(\frac{L}{K}\right) = \frac{P_L}{P_K} \\[6pt] &\text{ניתן לכתוב גם בצורה אחרת: } \quad \left(\frac{L}{K}\right)^{\alpha-1} = \left(\frac{K}{L}\right)^{1-\alpha}, \quad \text{ונקבל: } \left(\frac{K}{L}\right)^{1-\alpha} = \frac{P_L}{P_K} \end{aligned}\]

את צד שמאל נוכל לכתוב גם בצורה אחרת, (L/K) = (K/L), ונקבל:

\[\begin{aligned} &\text{בצורה אחרת: } \quad \left(\frac{L}{K}\right)^{\alpha-1} = \left(\frac{K}{L}\right)^{1-\alpha}, \quad \text{ונקבל: } \left(\frac{K}{L}\right)^{1-\alpha} = \frac{P_L}{P_K} \\[6pt] &\text{נעלה בחזקת } \left(\frac{1}{1-\alpha}\right) \text{ ונבודד את } K. \end{aligned}\]

נעלה את 2 צידי המשוואה בחזקת (1/(1−α)) ונבודד את K.

\[\text{נעלה את 2 צידי המשוואה בחזקת } \left(\frac{1}{1-\alpha}\right) \text{ ונבודד}\]

נקבל: K = (PL/PK)^(1−α) * L.

\[\text{נקבל: } \quad K = \left(\frac{P_L}{P_K}\right)^{1-\alpha} \cdot L\]

ריכוז התוצאות שהתקבלו בכל הפונקציות: את התוצאות שקיבלנו בכל הפונקציות ריכזנו בטבלה 1 שבה 3 טורים. טבלה 1: סוג פונקציית הייצור, התנאי לייצור יעיל, וקו ההתרחבות (היחס בין L ל-K). קוב דאגלס:

\[\begin{aligned} &\text{קוב דאגלס:} \quad x = L^{\alpha} \cdot K^{\beta} \\[6pt] &\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{K}{L} = \frac{P_L}{P_K} \\[6pt] &K = \frac{P_L}{P_K} \cdot \frac{\beta}{\alpha} \cdot L \end{aligned}\]

פונקציה לינארית: x = αL + βK. כאשר PL זול רק L (K=0); כאשר PL יקר רק K (L=0). פונקציה מינימום:

\[\begin{aligned} &\text{פונקציה מינימום:} \quad x = \min(\alpha L,\, \beta K) \\[6pt] &\alpha L = \beta K \\[6pt] &K = \frac{\alpha}{\beta} \cdot L \end{aligned}\]

פונקציה אדיטיבית: x = Lα + Kα, כאשר 0<α<1, ומתקיים K = (PL/PK)^(1−α) * L.

הסבר לטור 3 בטבלה 1 – קו ההתרחבות: קו ההתרחבות משקף את תוואי הסלים הנבחרים בעקבות גידול בתפוקה. פונקציית קוב דאגלס (תרשים 7). תרשים 7 – קו ההתרחבות בפונקציית קוב דאגלס: התוואי הוא קו ישר המתחיל בראשית הצירים ועולה בשיפוע של (β/α) * (PL/PK).

\[\left[\frac{\beta}{\alpha} * \frac{P_L}{P_K}\right]\]

תרשים 8 – קו ההתרחבות בפונקציה לינארית. פונקציה לינארית (תרשים 8): I. כאשר PL נחשב זול, התוואי הוא ציר ה-L. II. כאשר PL נחשב יקר, התוואי הוא ציר ה-K.

\[\text{כאשר } P_L \text{ נחשב יקר, התוואי הוא ציר ה-} K.\]

תרשים 9 – קו ההתרחבות בפונקציית מינימום. פונקציית מינימום (תרשים 9): הנתיב הוא קו ישר המתחיל בראשית הצירים ועולה בשיפוע של α/β.

תרשים 10 – קו ההתרחבות בפונקציה אדיטיבית. פונקציה אדיטיבית (תרשים 10): התוואי הוא קו ישר שמתחיל בראשית הצירים ועולה בשיפוע של (PL/PK)^(1−α).

\[\left(\frac{P_L}{P_K}\right)^{1-\alpha}\]

קו ההתרחבות בטווח הארוך ובטווח הקצר

התרחבות בטווח הארוך: בטווח הארוך הייצור יעיל שכן יש באפשרותנו לרכוש את הסל הזול ביותר (הסל הנבחר). הסלים הנבחרים הם רצף הנקודות על קו ההתרחבות. התרחבות בטווח הקצר: הטווח הקצר מוגדר כפרק הזמן שבו יש באפשרותנו להגדיל רק את כמות העובדים, אך לא את כמות המכונות. בטווח הקצר כמות המכונות נשארת קבועה. לאור זאת, כאשר אנו מגדילים את התפוקה, כמות המכונות נשארת קבועה ואנו מוסיפים רק עובדים. תרשים 11 נותן ביטוי לשינוי שחל בטווח הקצר. תרשים 11: במועד א' הייצור יעיל. אנו מייצרים כמות של x1 והסל הנבחר הוא c1 (נקודת המפגש בין קו תקציב לעקומה שוות תפוקה). במועד ב' הגדלנו את הייצור ל-x2 יח' והסל בטווח הקצר הוא H, היות ואין באפשרותנו להגדיל את K. הייצור בטווח הקצר אינו יעיל. בטווח הארוך, כאשר נוכל להגדיל את K, הסל הנבחר יהיה c2. פרשנות: בטווח הקצר הייצור לא יעיל היות והתקציב הנדרש לרכישת סל H גדול מהתקציב הנדרש לרכישת סל c2 (סל H נמצא על קו תקציב שסכומו גדול מזה שעליו נמצא סל c2). חישוב התפוקה כפונקציה של L בלבד: אם נציב בפונקציית הייצור במקום K את החלופה שלו בערכים של L כפי שמתקבל בקו ההתרחבות לטווח ארוך (טבלה 1), נקבל את x כפונקציה של L. למשל, בפונקציית ייצור מסוג KD שצורתה x = Lα * Kβ, קו ההתרחבות הוא:

\[\begin{aligned} &K = \frac{\beta}{\alpha} * \frac{P_L}{P_K} * L \\[6pt] &\text{אם נציב בפונקציית הייצור את הביטוי } \left[\frac{\beta}{\alpha} * \frac{P_L}{P_K} * L\right] \text{ במקום } K \text{ נקבל: } \\[6pt] &x = L^{\alpha} * \left(\frac{\beta}{\alpha} * \frac{P_L}{P_K} * L\right)^{\beta} \end{aligned}\]

אם נציב בפונקציית הייצור את הביטוי (β/α) * (PL/PK) * L במקום K נקבל: x = Lα * ((β/α) * (PL/PK) * L)^β.

\[\begin{aligned} &\text{אם נציב בפונקציית הייצור את הביטוי } \left[\frac{\beta}{\alpha} * \frac{P_L}{P_K} * L\right] \text{ במקום } K \text{ נקבל: } x = L^{\alpha} * \left(\frac{\beta}{\alpha} * \frac{P_L}{P_K} * L\right) \\[6pt] &\text{נפתח את החזקה של } L: \quad x = L^{(\alpha+\beta)} * \left(\frac{\beta}{\alpha} * \frac{P_L}{P_K}\right)^{\beta} \end{aligned}\]

x הוא פונקציה של L: x = L^(α+β) * ((β/α) * (PL/PK))^β.

\[\text{של } L: \quad L^{(\alpha+\beta)} * \left(\frac{\beta}{\alpha} * \frac{P_L}{P_K}\right)\]

הצגת L כפונקציה של x:

\[\text{של } x: \quad L = x^{\frac{1}{\alpha+\beta}} * \left(\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{P_L}{P_K}\right)^{\frac{\beta}{\alpha+\beta}}\]

אם נבודד את L נקבל את L כפונקציה של x:

\[\text{של } x: \quad x^{\frac{1}{\alpha+\beta}} * \left(\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{P_L}{P_K}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta}}\]

באופן דומה באפשרותנו להציג את x כפונקציה של L בכל פונקציית ייצור: פונקציה לינארית: כאשר PL נחשב זול מתקיים K = 0 ואז x = αL. כאשר PL נחשב יקר מתקיים L = 0 ואז לא נציג את x כפ' של L. פונקציית מינימום: x = min(αL, βK) = min(αL, αL) ולכן נקבל x = αL. גם בפונקציות הייצור האלו נוכל לבודד את L ולקבל את L כפונקציה של x. פונקציה לינארית: כאשר PL נחשב זול נקבל L = x/α.

\[\text{כאשר } P_L \text{ נחשב זול נקבל: } L = \frac{x}{\alpha}.\]

פונקציית מינימום: גם כאן נקבל L = x/α.

\[\text{ונקבל: } L = \frac{x}{\alpha}.\]

חישוב התפוקה כפונקציה של K בלבד: באותה טכניקה שבה הצגנו את L כפונקציה של x, ניתן להציג את K כפונקציה של x. מתחילים בקו ההתרחבות ומציגים את L כפונקציה של K, ובפונקציית הייצור מציבים במקום L את החלופה שלו בערכים של K. לדוגמה, נתייחס לפונקציית ייצור מסוג KD. קו ההתרחבות הוא: K = (β/α) * (PL/PK) * L.

\[\begin{aligned} &K = \frac{\beta}{\alpha} * \frac{P_L}{P_K} * L \\[6pt] &L = \frac{\alpha}{\beta} * \frac{P_K}{P_L} * K \end{aligned}\]

נבודד את L ונקבל: L = (α/β) * (PK/PL) * K (L הוא פונקציה של K).

\[\begin{aligned} &L = \frac{\alpha}{\beta} * \frac{P_K}{P_L} * K \quad (L \text{ הוא פונקציה של } K). \\[6pt] &\text{נציב בייצור את הביטוי } \left[\frac{\alpha}{\beta} * \frac{P_K}{P_L} * K\right] \text{ במקום } L \text{ ונקבל: } X = \left(\frac{\alpha}{\beta} * \frac{P_K}{P_L} * K\right)^{\alpha} * K^{\beta} \end{aligned}\]

נציב בפונקציית הייצור את הביטוי (α/β) * (PK/PL) * K במקום L ונקבל: X = ((α/β) * (PK/PL) * K)^α * K^β.

\[\begin{aligned} &\text{נציב את הביטוי } \left[\frac{\alpha}{\beta} * \frac{P_K}{P_L} * K\right] \text{ במקום } L \text{ ונקבל: } X = \left(\frac{\alpha}{\beta} * \frac{P_K}{P_L} * K\right)^{\alpha} * K^{\beta} \\[6pt] &\text{של } K: \quad X = K^{(\alpha+\beta)} * \left(\frac{\alpha}{\beta} * \frac{P_K}{P_L}\right)^{\alpha} \end{aligned}\]

קיבלנו את x כפונקציה של K: X = K^(α+β) * ((α/β) * (PK/PL))^α.

\[\text{כפונקציה של } K: \quad X = K^{(\alpha+\beta)} * \left(\frac{\alpha}{\beta} * \frac{P_K}{P_L}\right)^{\alpha}\]

הצגת K כפונקציה של x:

\[\text{של } X: \quad K = x^{\frac{1}{\alpha+\beta}} * \left(\frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{P_L}{P_K}\right)^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}\]

נבודד את K ונקבל את K כפונקציה של X:

\[\text{של } X: \quad x^{\frac{1}{\alpha+\beta}} * \left(\frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{P_L}{P_K}\right)^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}\]

בפרק הבא נשתמש בהצגת K ו-L כפונקציה של X.