מרווחי סמך (כשסטיית התקן ידועה)

(כאשר סטיית התקן ידועה)

לא ניתן לסמוך על אומדן מסויים. ידוע כי משקל הדגים בכנרת מתפלג נורמלית, עם סטיית תקן 500 התוחלת לא ידועה ועלינו למצוא אותה. לא נוכל למצוא בדיוק את התוחלת מכיוון שלשלם כך, עלינו לדוג את כל אוכלוסיית הדגים בכנרת, לשקול אותם, ולחשב את הממוצע. דבר זה אינו ישים. עם זאת נוכל להשתמש במדגם של 100 דגים, שאותם נשקול ואת הממוצע שלהם נחשב. הממוצע של המדגם הוא אומדן לתוחלת. נניח שעשינו זאת וגילינו שממוצע המשקל של 100 דגים הוא 1,100 גרם. כלומר, האומדן שלנו לתוחלת הוא 1,100 גרם. האם יכול להיות ש 1,100-גרם הוא בדיוק התוחלת? יכול להיות, אבל ההסתברות לכך היא אפסית. אם כן, מה ההסתברות שהטענה "התוחלת של משקל דג בכנרת היא 1,100 גרם" היא טענה נכונה? ההסתברות לכך היא,0 ואנחנו לא יכולים לסמוך על הטענה. ניתן לסמוך על מרווח. במקום לטעון שהתוחלת היא מספר מסויים נוכל לטעון שהתוחלת נמצאת במרווח מסויים של מספרים, למשל במרווח שבין 1,090 גרם לבין 1,110 גרם )שימו לב שהממוצע שמצאנו נמצא באמצע תחום זה(.על טענה זו אנו כבר יכולים לסמוך, אבל כמובן לא ב 100.%- בהמשך נלמד לחשב מה ההסתברות שהתוחלת נמצאת במרווח זה. הערך הקטן במרווח נקרא הגבול התחתון. במקרה שלנו 1,090 גרם הוא הגבול התחתון. הערך הגדול במרווח נקרא הגבול העליון. במקרה שלנו 1,110 גרם הוא הגבול העליון. אם נגדיל את הגבול העליון ל 1,200-גרם, ונקטין את הגבול התחתון ל 1,000-גרם, נקבל מרווח גדול יותר (בין 1,000 גרם לבין 1,200 גרם), ההסתברות שהתוחלת נמצאת במרווח זה היא גדולה יותר מהמרווח הקודם שהצגנו. כיצד נוכל לדעת כמה אנחנו יכולים לסמוך על מרווח? נתווה פעמון שהמרכז שלו הוא האומדן שמצאנו. השטח של הפעמון שנמצא בתחום של המרווח נותן לנו את התשובה לשאלה כמה אנחנו יכולים לסמוך על המרווח.

דוגמא כמה ניתן לסמוך על המרווח שבין 1,090 גרם לבין 1,110 גרם? נתווה פעמון שמרכזו ב 1,100-גרם, נסמן על הציר האופקי את גבולות המרווח, ונתבונן בשטח של הפעמון במרווח זה: פעמון זה מייצג את משתנה הממוצע. מכיוון שסטיית התקן של משקל דג בודד הוא,50 ובמדגם היו 100 דגים, סטיית התקן של משתנה הממוצע היא = 50 נוכל לחשב את ציוני התקן של 1,110 ושל 1,090 ולמצוא את גודל השטח המסומן: ציון התקן עבור = −0.2:1,090 ציון התקן עבור = 0.2:1,110 לפי הטבלה של ההתפלגות הנורמלית השטח שמשמאל ל -0.2 -הוא,0.4207 והשטח שמשמאל ל 0.2-הוא 0.5793 השטח המסומן הוא ההפרש ביניהם: מסקנה: ההסתברות שהתוחלת נמצאת המרווח שבין 1,090 גרם לבין 1,110 היא 15.86% לכן, ניתן לסמוך על הטענה שהתוחלת נמצאת במרווח שבין 1,090 גרם לבין 1,110 גרם רק ב 15..86%- בשפה מקצועית אומרים כי המרווח שבין 1,090 לבין 1,110 הוא מרווח סמך לתוחלת ברמת סמך של 15.86%

מהי רמת הסמך של המרווח שבין 1,000 גרם לבין 1,200 גרם? ציון התקן עבור = −2:1,000 ציון התקן עבור = 2:1,200 לפי הטבלה של ההתפלגות הנורמלית השטח שמשמאל ל −2 -הוא,0.0228 והשטח שמשמאל ל 2-הוא 0.9772 רמת הסמך היא ההפרש ביניהם: ההסתברות שהתוחלת נמצאת במרווח שבין 1,000 גרם לבין 1,200 גרם היא 95.44%

מרווחי סמך מקובלים

מרווחי סמך מקובלים הינם מרווחים ברמת סמך של 95%ושל 90% כדי שרמת הסמך תהיה 95%הגבול התחתון של מרווח בסמך צריך להיות 1.96 סטיות תקן מתחת לאומדן, והגבול העליון – 1.96 סטיות תקן מעל לאומדן. כדי שרמת הסמך תהיה 90%הגבול התחתון של מרווח בסמך צריך להיות 1.64 סטיות תקן מתחת לאומדן, והגבול העליון – 1.64 סטיות תקן מעל לאומדן. דוגמא הגובה של תלמידי כיתה ג' בבית-ספר מסויים (משתנה הבסיס) מתפלג נורמלית עם תוחלת לא ידועה ועם סטיית תקן 10 במדגם של 25 תלמידים היה הגובה הממוצע 140 ס"מ. יש לבנות מרווח סמך לתוחלת ברמת סמך של 90% פתרון סטיית התקן של משתנה הבסיס היא,10 וגודל המדגם הוא 25 לכן סטיית התקן של . משתנה הממוצע היא = 2 כדי שרמת הסמך תהיה 90%הגבול התחתון של מרווח בסמך צריך להיות 1.64 סטיות תקן מתחת לאומדן, והגבול העליון – 1.64 סטיות תקן מעל לאומדן. גבול תחתון – הערך הנמצא 1.64 סטיות תקן מתחת לאומדן הוא. 140 − 1.64 ⋅ 2 = 136.72 גבול עליון – הערך הנמצא 1.64 סטיות תקן מעל לאומדן הוא. 140 + 1.64 ⋅ 2 = 143.28 התוחלת נמצאת בין 136.72 ס"מ לבין 143.28 ס"מ בהסתברות של 90%

דוגמאות נוספות

שאלה 1 במחקר על רמת האינטלגנציה של ילידי הארץ הועברו מבחני אינטלגנציה ל 36 -ילדים מילידי הארץ ונמצא כי ממוצע המדגם היה 106.9 יחידות אינטליגנציה. ידוע כי ציוני האינטלגנציה מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן של 15 יחידות אינטליגנציה )התוחלת לא ידועה(. מצא רווח סמך ברמת בטחון של 90%לתוחלת רמת האינטלגנציה של ילידי הארץ. א. כיצד תשתנה תשובתך אם רמת הבטחון צריכה להיות ?95% ב. פתרון שאלה 1 הקדמה משתנה הבסיס – התפלגות ציוני האינטליגנציה של כלל אוכלוסיית הילדים ילידי הארץ. משתנה הממוצע – התפלגות ממוצע ציוני האינטלגנציה של קבוצות בנות 36 ילדים ילידי הארץ. 2 המשתנים משתייכים לאותה אוכלוסייה (ילדים ילידי הארץ).

סטיית התקן של משתנה הבסיס היא,15 וגודל המדגם הוא 36 לכן סטיית התקן של . משתנה הממוצע היא = 2.5 סעיף א' כדי שרמת הסמך תהיה 90%הגבול התחתון של מרווח הסמך צריך להיות 1.64 סטיות תקן מתחת לאומדן, והגבול העליון – 1.64 סטיות תקן מעל לאומדן. גבול תחתון – הערך הנמצא 1.64 סטיות תקן מתחת לאומדן הוא. 106.9 − 1.64 ⋅ 2.5 = 102.8 גבול תחתון – הערך הנמצא 1.64 סטיות תקן מעל לאומדן הוא. 106.9 + 1.64 ⋅ 2.5 = 111 מרווח הסמך לתוחלת ברמת סמך של 90%הוא בין 102.8 יחידות אינטליגנציה לבין 111.0 יחידות אינטליגנציה.

סעיף ב' מרווח סמך ברמה של 95%יהיה גדול יותר ממרווח סמך ברמה של 90% כדי שרמת הסמך תהיה 95%הגבול התחתון של מרווח הסמך צריך להיות 1.96 סטיות תקן מתחת לאומדן, והגבול העליון – 1.96 סטיות תקן מעל לאומדן. גבול תחתון – הערך הנמצא 1.96 סטיות תקן מתחת לאומדן הוא. 106.9 − 1.96 ⋅ 2.5 = 102 גבול תחתון – הערך הנמצא 1.96 סטיות תקן מעל לאומדן הוא. 106.9 + 1.96 ⋅ 2.5 = 111.8 מרווח הסמך לתוחלת ברמת סמך של 95%הוא בין 102.0 יחידות אינטליגנציה לבין 111.8 יחידות אינטליגנציה. שאלה 2 מפעל צמיגים מייצר צמיגים כך שהלחץ המקסימלי שלהם מתפלג נורמלית עם סטיית תקן של 0.7 אטמוספרות ותוחלת לא ידועה. נלקח מדגם בן 16 צמיגים ונמצא כי ממוצע הלחץ המקסימלי שלהם היה 2.8 אטמוספרות. מצא רווח סמך ברמת בטחון של 95%לתוחלת הלחץ המקסימלי של הצמיגים א. במפעל. כיצד תשתנה תשובתך אם מספר הצמיגים במדגם יהיה ) 100 והממוצע עדיין 2.8 ב. אטמוספרות(? פתרון שאלה 2 הקדמה משתנה הבסיס – לחץ האוויר המקסימלי בצמיגי המפעל. משתנה הממוצע – ממוצע לחץ האוויר המקסימלי בקבוצות בנות 16 צמיגים. 2 המשתנים משתייכים לאותה אוכלוסייה (צמיגי המפעל).

סטיית התקן של משתנה הבסיס היא 0.7 אטמוספרות, וגודל המדגם הוא 16 לכן סטיית . התקן של משתנה הממוצע היא = 0.175

סעיף א' כדי שרמת הסמך תהיה 95%הגבול התחתון של מרווח הסמך צריך להיות 1.96 סטיות תקן מתחת לאומדן, והגבול העליון – 1.96 סטיות תקן מעל לאומדן. גבול תחתון – הערך הנמצא 1.96 סטיות תקן מתחת לאומדן הוא. 2.8 − 1.96 ⋅ 0.175 = 2.457 גבול תחתון – הערך הנמצא 1.96 סטיות תקן מעל לאומדן הוא. 2.8 + 1.96 ⋅ 0.175 = 3.143 בהסתברות של 95%התוחלת נמצאת במרווח שבין 2.457 אטמוספרות לבין 3.143 אטמוספרות. סעיף ב' משתנה הממוצע משתנה והוא כעת ממוצע לחץ האוויר המקסימלי בקבוצות בנות 100 צמיגים (ולא 16 כמקודם). לפיכך תשתנה גם סטיית התקן של משתנה הממוצע: סטיית התקן של משתנה הבסיס היא 0.7 אטמוספרות (ללא שינוי), וגודל המדגם הוא 100 לכן סטיית התקן של משתנה הממוצע . היא = 0.07 כדי שרמת הסמך תהיה 95%הגבול התחתון של מרווח הסמך צריך להיות 1.96 סטיות תקן מתחת לאומדן, והגבול העליון – 1.96 סטיות תקן מעל לאומדן. גבול תחתון – הערך הנמצא 1.96 סטיות תקן מתחת לאומדן הוא. 2.8 − 1.96 ⋅ 0.07 = 2.6628 גבול תחתון – הערך הנמצא 1.96 סטיות תקן מעל לאומדן הוא. 2.8 + 1.96 ⋅ 0.07 = 2.9372 בהסתברות של 95%התוחלת נמצאת במרווח שבין 2.6628 אטמוספרות לבין 2.9372 אטמוספרות.