בדיקת השערות (כשסטיית התקן ידועה)

(כאשר סטיית התקן ידועה)

קווים אדומים

תוצאה כלשהי המתקבלת במדגם מסויים יכולה להיות סבירה או לא סבירה. לדוגמא, נניח כי ב 10-זריקות של קוביה קיבלנו 8 פעמים את התוצאה 6 אמנם תיאורטית קיימת אפשרות לקבל תוצאה כזו אך היא כל כך נדירה שאנו נחשוד שהקוביה אינה תקינה (מזוייפת) או שאולי נפלה טעות ברישום. כדי להחליט אם תוצאה סבירה או לא סבירה נשתמש בקווים אדומים. קווים אדומים באים להתריע כאשר תוצאה כלשהי המתקבלת במדגם אינה נראית סבירה. אנו נלמד על קווים אדומים בהתפלגויות נורמליות בלבד. הצבת קווים אדומים שימושית בתהליכי בדיקת השערות שבמסגרתן החוקרים מקבלים או דוחים השערות על בסיס מדגמים סטטיסטיים.

מיקום הקווים האדומים

לפני כל מדגם החוקרים קובעים מראש היכן ימוקמו הקווים האדומים בהתאם לשיקולים שונים המתייחסים לתחום המחקר ואופיו. בכל המקרים הקווים האדומים ממוקמים בקצות ההתפלגות: באחד הקצוות או בשניהם. המיקום המדוייק נקבע כך, שההסתברות שתוצאה כלשהי תיפול מעבר לקווים האדומים (השטח האפור בתרשימים) תהיה קטנה מאחוז כלשהו שעליו הוחלט מראש. מקובל להחליט על 5%,10%

התחום החריג והתחום הסביר

לכל תחום הערכים שמעבר לקווים האדומים (לכיוון הקצוות של הפעמון) נקרא התחום החריג. סך ההסתברות לקבל ערך בתחום החריג נקבע בד"כ על 5%או על,10%או במילים אחרות: שטח הפעמון בתחום החריג מסתכם בד"כ ל 5%-או ל 10%-משטח ההתפלגות. תזכרו שאנו אלה שמחליטים על גודל התחום החריג ועל מיקומו. תחום הערכים שאיננו נמצא בתחום החריג יקרא התחום הסביר.

• הצבת קווים אדומים בשני הקצוות של 1 הצבת קו אדום באחד הקצוות של הפעמון הפעמון הקו האדום יכול להיות בצד ימין (תרשים 6.1) או בצד שמאל (תרשים 6.2) תרשים 6.3 תרשים 6.1 קו אדום קו אדום קו אדום תרשים 6.4 תרשים 6.2 קו אדום קו אדום קו אדום בתרשים:6.1
• התחום החריג הוא התחום המכיל את כל הערכים שמימין לקו האדום.
• התחום הסביר הוא התחום המכיל את כל הערכים שמשמאל לקו האדום. בתרשים:6.2
• התחום החריג הוא התחום המכיל את כל הערכים שמשמאל לקו האדום.
• התחום הסביר הוא התחום המכיל את כל הערכים שמימין לקו האדום. בתרשימים 6.3 ו:6.4 –
• התחום הסביר הוא תחום הערכים שבין הקווים האדומים.
• התחום החריג הוא תחום הערכים שמחוץ לקווים האדומים )מימין לקו האדום הימני ומשמאל לקו האדום השמאלי( שטח ההתפלגות שמעל התחום החריג ומעל התחום הסביר מסתכם כמובן ל.(100%) 1 –

משמעות התחום החריג והתחום הסביר

בכל ניסוי, אם התוצאה נופלת בתחום הסביר היא נחשבת תוצאה סבירה )ניתן לסמוך עליה(. כאשר התוצאה נופלת בתחום החריג, היא נחשבת תוצאה לא סבירה )אי אפשר לסמוך עליה(.

החלטות לגבי הקוים האדומים

החוקרים מחליטים מראש: .I האם למקם את הקווים האדומים בצד אחד או משני צידי ההתפלגות. .II איזה אחוז מההתפלגות יכיל התחום החריג (האחוזים המקובלים הם 5%: ו 10)%- האחוז של ההתפלגות שמכיל התחום החריג נקרא רמת המובהקות. רמות המובהקות המקובלות הן 5%ו 10%-הקווים האדומים נקבעים בסטיות תקן ממרכז הפעמון )ימינה או שמאלה( בהתאם לטבלה הבאה: רמת מובהקות של 10% רמת מובהקות של 5% הקו האדום ימוקם הקו האדום ימוקם קו אדום אחד, בצד 1.28 ס"ת 1.64 ס"ת הימני של משמאל למרכז הפעמון מימין למרכז הפעמון ההתפלגות הקו האדום ימוקם הקו האדום ימוקם קו אדום אחד, בצד 1.28 ס"ת 1.64 ס"ת השמאלי של משמאל למרכז הפעמון משמאל למרכז הפעמון ההתפלגות הקווים האדומים ימוקמו הקווים האדומים ימוקמו שני קוים אדומים, 1.64 ס"ת 1.96 ס"ת בשני צדי משמאל ומימין למרכז הפעמון משמאל ומימין למרכז הפעמון ההתפלגות נמחיש את המתואר בטבלה באמצעות תרשימים: קו אדום בצד ימין של ההתפלגות אם נבחר ברמת מובהקות של 10%ימוקם הקו האדום 1.28 סטיות תקן מימין למרכז. אם נבחר ברמת מובהקות של 5%ימוקם הקו האדום עוד יותר ימינה, כך שהתחום החריג יהיה קטן יותר. המיקום המדויק של הקו האדום הזה הוא 1.64 סטיות תקן מימין למרכז. רמת מובהקות של 5% רמת מובהקות של 10% קו אדום בצד שמאל של ההתפלגות אם נבחר ברמת מובהקות של 10%ימוקם הקו האדום 1.28 סטיות תקן משמאל למרכז. אם נבחר ברמת מובהקות של 5%ימוקם הקו האדום עוד יותר שמאלה, כך שהתחום החריג יהיה קטן יותר. המיקום המדויק של הקו האדום הזה הוא 1.64 סטיות תקן משמאל למרכז. רמת מובהקות של 5% רמת מובהקות של 10% קווים אדומים משני צדי ההתפלגות אם נבחר ברמת מובהקות של 10%ימוקמו הקווים האדומים 1.64 סטיות תקן מהמרכז, הן לצד ימין והן לצד שמאל. אם נבחר ברמת מובהקות של 5%ימוקמו הקווים האדומים רחוק יותר מהמרכז כך שהתחום החריג יהיה קטן יותר. המיקום המדויק של הקווים האדומים האלה הוא 1.96 סטיות תקן מהמרכז, הן לצד ימין והן לצד שמאל. רמת מובהקות של 5% רמת מובהקות של 10%

דוגמא להצבת קווים אדומים

מאפייני התפלגות המשקל של אוכלוסיית דגי הכנרת הם: תוחלת של 1,000 גרם )(μ = 1,000 סטית תקן של 30 גרם )(σ = 30 או בקיצור ( N1),000, 30 אם החוקרים הבודקים את משקל הדגים יבחרו להשתמש בקווים האדומים משני צדי ההתפלגות ולמקם אותם במקום המתאים לרמת מובהקות של 5%הם יעשו זאת באופן הבא:

• הקו האדום הימני נמצא 1.96 ס"ת מעל התוחלת ויוצב בערך של 1,058.8 ג'
• הקו האדום השמאלי נמצא 1.96 ס"ת מתחת לתוחלת ויוצב בערך של 941.2 ג' 941.2 1,000 1,058.8 משקל הדגים (גרם) אם החוקרים הבודקים יבחרו להשתמש בקו אדום אחד בלבד בצד הימני של ההתפלגות ולמקם אותו במיקום המתאים לרמת מובהקות של 10%הם יעשו זאת באופן הבא:
• הקו האדום (היחיד) נמצא 1.28 ס"ת מעל התוחלת ויוצב בערך של 1,038.4 ג'

בדיקת השערות – דוגמאות

בדיקת השערות באמצעות מדגם של מקרה יחיד מהאוכלוסיה -דוגמא

חוקר רפואי טוען שפיתח תרופה להגבהת ילדים בני 10 בצורה משמעותית. לראיה הוא הביא את יוסי, ילד בן 10 שקיבל את התרופה, ושגובהו היה 135 ס"מ. ידוע שגובהם של ילדים בני 10 מתפלג נורמלית עם תוחלת של 120 ס"מ ( )µ = 120 וסטיית תקן של 10 ס"מ (. )σ = 10 הסטטיסטיקאים היו מעוניינים לבדוק האם התרופה אכן תורמת להגבהה. תרשים – 6.5 התפלגות הגובה של ילדים בני 10 ומיקומו של יוסי יוסי בפני הסטטיסטיקאים עומדות 2 השערות: ( 1) ההשערה הבסיסית המכונה השערת ה( 0 -מסומנת: ) H 0 השערה זו מאמצת את הגישה שהתרופה איננה גורמת להגבהה, ותוחלת הגובה של ילד שקיבל את התרופה יהיה 120 ס"מ (כמו אצל ילדים שלא קיבלו את התרופה). ( 2) ההשערה הנגדית (מסומנת: ) H1 השערה זו מאמצת את הגישה שהתרופה תורמת לעליה בגובה, ותוחלת הגובה של ילד שקיבל את התרופה יהיה גדול מ 120-ס"מ. על הסטטיסטיקאים להחליט מי משתי ההשערות מקבלת תמיכה סטטיסטית. מכיוון שההשערה הנגדית טוענת כי התרופה גורמת להגבהה יציבו הסטטיסטיקאים קו אדום אחד מימין לתוחלת, כאשר תחום הסביר יהיה משמאל לקו האדום והתחום החריג יהיה מימין לקו האדום. קבלה של השערת ה:0-אם הגובה של יוסי ( 135 ס"מ) יהיה בתחום הסביר הסטטיסטיקאים יטענו שהשערת ה 0-היא הנכונה ושהתרופה איננה מגביהה. דחיה של השערת ה:0-אם הגובה של יוסי יהיה בתחום החריג, יטענו הסטטיסטיקאים כי ניתן לדחות את השערת ה,0-וכי התרופה גורמת לעליה בגובה. הסטטיסטיקאים החליטו לבדוק את ההשערה ברמת מובהקות של,5%ולכן הקו האדום ימוקם 1.64 סטיות תקן מימין לתוחלת כלומר בערך 136.4 ס"מ (. 120) + 1.64 ⋅ 10 = 136.4 התחום הסביר יכיל את כל הערכים שמתחת ל 136.4-ס"מ, והתחום החריג יכיל כל הערכים שמעל 136.4 ס"מ. הגובה של יוסי, שהוא 135 ס"מ, נמצא בתוך האזור הסביר, ולכן הסטטיסטיקאים יקבלו את השערת ה) 0-יחליטו שהשערת ה 0-היא הנכונה, והתרופה לא גורמת להגבהה(. תרשים 6.6 120 = µס"מ 10 = σס"מ 10% יוסי 5% אילו הסטטיסטיקאים היו מחליטים לבדוק את ההשערה ברמת מובהקות של,10%הקו האדום היה ממוקם 1.28 סטיות תקן מימין לתוחלת כלומר בערך 132.8 ס"מ במקרה זה, התחום הסביר מכיל את כל הערכים שמתחת ל 132.8-ס"מ, והתחום החריג מכיל את כל הערכים שמעל 132.8 ס"מ. הגובה של יוסי, שהוא 135 ס"מ, נמצא הפעם בתחום החריג ולכן הסטטיסטיקאים ידחו את השערת ה) 0-יקבעו שהתוצאה איננה סבירה, כלומר ההשערה הנגדית היא הנכונה והתרופה גורמת להגבהה(. כפי שניתן לראות ההחלטה אם השערת ה 0-נכונה או לא נכונה איננה מוחלטת, וברמות מובהקות שונות ניתן לקבל תוצאות שונות (נתייחס לעניין זה בהמשך).

בדיקת השערות באמצעות מדגם של מקרה יחיד מהאוכלוסיה – תאור כללי

נתאר את הפעולות שביצעו הסטטיסטיקאים: ( 1) הגדרה של השערת ה( H0 ) 0- השערת ה 0-מייצגת את הגישה שאין סטייה מהתוחלת של המצב המקורי, כלומר ששינוי כלשהו (שבוצע ע"י חוקר או שקרה מעצמו) אינו משפר ואינן מרע את המצב הקיים )למשל, שהתרופה לא גורמת לשינוי בתוחלת הגובה(. השערת ה-0 היא ההשערה המועדפת על הסטטיסטיקאים, וכל עוד לא ניתן לסתור אותה באמצעות מבחנים סטטיסטים, מקבלים אותה. ( 2) הגדרה של ההשערה הנגדית ( ) H1 ההשערה הנגדית מייצגת גישה שונה מהשערת ה 0 -ההשערה הנגדית קובעת אם השינוי מגדיל את התוחלת, או מקטין את התוחלת, או משנה את התוחלת בלי להחליט על כיוון השינוי (למשל, שהתרופה גורמת לגידול בתוחלת הגובה). ההשערה הנגדית מתקבלת כאשר השערת ה-0 אינה מקבלת תמיכה סטטיסטית, והסטטיסטיקאים נאלצים לדחות אותה. ( 3) ביצוע מדגם וקבלת תוצאה מהמדגם דוגמים מקרה אחד מתוך האוכלוסיה שבה היה שינוי )שינוי שבוצע ע"י החוקר או שקרה מעצמו(, ומתקבלת תוצאה (בדוגמא שלעיל, תוצאת המדגם היא הגובה של יוסי 135, ס"מ). ( 4) החלטה על רמת מובהקות וקביעת הקווים האדומים אם לפי ההשערה הנגדית התוחלת גדולה מהתוחלת המקורית יהיה קו אדום אחד מימין לתוחלת המקורית. אם לפי ההשערה הנגדית התוחלת קטנה מהתוחלת המקורית יהיה קו אדום אחד משמאל לתוחלת המקורית. אם לפי ההשערה הנגדית התוחלת שונה מהתוחלת המקורית )ללא קביעה אם גדולה או קטנה( יהיו שני קווים אדומים. המיקום המדוייק של הקווים יקבע לפי רמת המובהקות, שקובעת מיקום הקווים האדומים בסטיות תקן, ובגודל של סטיית התקן של המשתנה. ( 5) בדיקת מיקום תוצאת המדגם ביחס לקווים האדומים אם תוצאת המדגם הינה בתחום הסביר, מקבלים את השערת ה 0-אם תוצאת המדגם הינה בתחום החריג, דוחים את השערת ה 0-ומקבלים את ההשערה הנגדית.

טעויות בקבלת ההחלטה (לקבל או לדחות את השערת ה0)-

ישנן 2 סוגי טעויות שאנו יכולים לעשות בשעה שאנו מקבלים החלטה.

טעות מסוג ראשון

בדוגמא שלעיל, אנו יכולים לדחות את השערת ה-0 ולקבל את טענת החוקר שהתרופה מגביהה, למרות שבפועל הדבר איננו נכון. הטעות אפשרית מהסיבה הפשוטה שבהתפלגות הגובה של ילדים בני 10 ישנם תמיד ילדים שגובהם הוא בתחום החריג. וכל פעם שנמדוד ילד כזה נחליט לדחות את השערת ה 0. – תרשים 6.7 לדוגמא אם שטח התחום החריג הוא 10%מההתפלגות (השטח האפור בתרשים) אזי 10%מהילדים נמצאים בתחום הזה, והסיכוי לעשות טעות הוא 10% הסימן 10%מציין ש 10% -משטח ההתפלגות נמצאים מימין לקו

טעות מסוג שני

יתכן מאוד שהחוקר אכן מצליח להגביה את הילדים, לדוגמא הוא מגביה כל ילד ב 3 -ס"מ, אך אנו בכל זאת נחליט לקבל את השערת ה –,0 ולדחות את טענתו. וההסבר: נניח שהתפלגות A בתרשים 6.8 משקפת את התפלגות הגובה של ילדים לפני קבלת התרופה. מאפייני ההתפלגות הם: התפלגות נורמלית, עם תוחלת של 120 ס"מ (, )μ = 120 ועם סטיית תקן של 10 ס"מ (. )σ = 10 או בקיצור N.(120,10): אם אכן החוקר יכול להגביה כל ילד ב 3 -ס"מ אזי התפלגות הגובה של הילדים בני 10 שקיבלו תרופה תהיה התפלגות, B שמאפייניה הם: התפלגות נורמלית, עם תוחלת של 123 ס"מ ( )μ = 123 לעומת 120 ס"מ בהתפלגות, A ועם סטיית תקן של 10 ס"מ ( )σ = 10 כמו בהתפלגות. A או בקיצור N.(123,10): תרשים 6.8 התפלגות A התפלגות B דוד לאור זאת, ייתכן שנערוך מדידה לילד בשם דוד שעבר טיפול וגובהו עכשיו 129 ס"מ. אך במתכונת קבלת ההחלטות שלנו, שמתבצעת על בסיס התפלגות, A נקבל למרבה הצער את השערת ה 0 -שכן הגובה של דוד נופל באזור הסביר ונדחה את טענת החוקר, שתרופתו אכן עוזרת.

בדיקת השערות באמצעות מדגם של מספר מקרים מהאוכלוסיה – דוגמא

הדרך המקובלת לקבלה או דחייה של השערת ה-0 היא באמצעות עריכת מדגם על מספר מקרים באוכלוסיה. נתייחס לדוגמת המדען הטוען שהצליח לפתח תרופה שמגביהה את הילדים. ההשערות הנבחנות הן: השערת ה – 0 -התרופה אינה יעילה. כלומר, התפלגות הגובה של הילדים שקיבלו את התרופה אינה שונה מזו של כלל הילדים בני,10 שמאפייניה N.(120,10): ההשערה הנגדית – התרופה יעילה. כלומר, התפלגות הגובה של הילדים שקיבלו את התרופה אינה שונה מזו של כלל הילדים בני 10 הגובה הוא משתנה הבסיס ונסמלו ב. B1 – הסטטיסטיקאי עורך מדגם המכיל 25 ילדים שקיבלו את התרופה ומחשב את גובהם הממוצע. התוצאה שהתקבלה 134: ס"מ. התוצאה היא תוצאה של משתנה הממוצע של מדגם בגודל 25 נסמל את משתנה הממוצע ב. B25 – המשתנים B1: ו-B25 שייכים לאותה משפחה. אנו בודקים את השערת ה-0 באמצעות משתנה המדגם –, B25 שהפרמטרים שלו ידועים מראש. התוחלת שלו שווה לתוחלת של, B1 כלומר 120 ס"מ. . = סטיית התקן שלו שווה ל-2 ס"מ = 2  אם נחליט שרמת המובהקות של,5%ימוקם הקו האדום 1.64 סטיות תקן מימין לתוחלת כלומר בערך 123.28 ס"מ (. 120) + 1.64 ⋅ 2 = 123.28 התחום הסביר יכיל את כל הערכים שמתחת ל 123.28-ס"מ, והתחום החריג יכיל כל הערכים שמעל 123.28 ס"מ. ערכו של המשתנה מהמדגם, שהוא 134 ס"מ, נמצא בתחום החריג, ולכן נדחה את השערת ה 0- (נחליט שההשערה הנגדית היא הנכונה, והתרופה גורמת להגבהה).

בדיקת השערות באמצעות מדגם של מספר מקרים מהאוכלוסיה – תאור כללי

נתאר את הפעולות הנדרשות: ( 1) הגדרה של השערת ה( H 0 ) 0- השערת ה 0-מייצגת את הגישה שאין סטייה מהתוחלת של המצב המקורי, כלומר ששינוי כלשהו (שבוצע ע"י חוקר או שקרה מעצמו) אינו משפר ואינן מרע את המצב הקיים )למשל, שהתרופה לא גורמת לשינוי בתוחלת הגובה(. השערת ה-0 היא ההשערה המועדפת על הסטטיסטיקאים, וכל עוד לא ניתן לסתור אותה באמצעות מבחנים סטטיסטים, מקבלים אותה. ( 2) הגדרה של ההשערה הנגדית ( ) H1 ההשערה הנגדית מייצגת גישה שונה מהשערת ה 0 -ההשערה הנגדית קובעת אם השינוי מגדיל את התוחלת, או מקטין את התוחלת, או משנה את התוחלת בלי להחליט על כיוון השינוי (למשל, שהתרופה גורמת לגידול בתוחלת הגובה). ההשערה הנגדית מתקבלת כאשר השערת ה-0 אינה מקבלת תמיכה סטטיסטית, והסטטיסטיקאים נאלצים לדחות אותה. ( 3) ביצוע מדגם וקבלת תוצאה מהמדגם דוגמים מספר מקרים מתוך האוכלוסיה שבה היה שינוי )שינוי שבוצע ע"י החוקר או שקרה מעצמו(, מחשבים ממוצע של המדגם ובנוסף מחשבים את סטיית התקן של משתנה הממוצע. בדוגמא שלעיל סטיית התקן של משתנה הבסיס נתונה 10, ס"מ, ונתון גודל המדגם 25, ילדים. מנתונים אלה חישבנו את סטיית התקן של הממוצע 2, ס"מ. ( 4) החלטה על רמת מובהקות וקביעת הקווים האדומים אם לפי ההשערה הנגדית התוחלת גדולה מהתוחלת המקורית יהיה קו אדום אחד מימין לתוחלת המקורית. אם לפי ההשערה הנגדית התוחלת קטנה מהתוחלת המקורית יהיה קו אדום אחד משמאל לתוחלת המקורית. אם לפי ההשערה הנגדית התוחלת שונה מהתוחלת המקורית )ללא קביעה אם גדולה או קטנה( יהיו שני קווים אדומים. המיקום המדוייק של הקווים יקבע לפי רמת המובהקות, שקובעת מיקום הקווים האדומים בסטיות תקן, ובגודל של סטיית התקן של משתנה הממוצע. ( 5) בדיקת מיקום תוצאת המדגם ביחס לקווים האדומים אם תוצאת המדגם הינה בתחום הסביר, מקבלים את השערת ה 0-אם תוצאת המדגם הינה בתחום החריג, דוחים את השערת ה 0-ומקבלים את ההשערה הנגדית.

דוגמא לשאלה

ידוע כי ההתפלגות של משקל דג בכנרת הינה נורמלית בעלת תוחלת של 1,000 גרם וסטיית תקן של 50 גרם. זה יהיה משתנה הבסיס שלנו, ונסמלו. D1 חוקר טוען, כי בשל ההתחממות הגלובלית השתנה משקלם של הדגים, אך הוא איננו יודע אם הוא עלה או ירד. במדגם המכיל 625 דגים, עלה כי המשקל הממוצע הוא 1,010 גרם. זהו ערכו של משתנה הממוצע, שנסמלו. D625 ברמת מובהקות של,5%האם המשקל אכן השתנה כפי שטוען החוקר, או שההתחממות הגלובלית לא השפיעה על משקל הדגים והחוקר טועה? פתרון השאלה: השערת ה 0-היא שהמשקל לא השתנה והתוחלת היא עדיין 1,000 גרם. ההשערה הנגדית היא שהמשקל השתנה והוא כבר איננו 1,000 גרם. לפי ההשערה הנגדית יהיו שני קווים אדומים )כי לפי ההשערה לא ידוע אם המשקל עלה או ירד(.לפי רמת המובהקות, שהיא,5%יהיו הקווים האדומים במרחק של 1.96 סטיות תקן מהתוחלת, גם לצד ימין וגם לצד שמאל. . = סטיית התקן של משתנה הממוצע D625 היא 2 גרם = 2  הקו האדום שמימין לתוחלת ימוקם ב 1,003.92-גרם (. 1),000 + 1.96 ⋅ 2 = 1,003.92 הקו האדום שמשמאל לתוחלת ימוקם ב 996.08-גרם (. 1),000 − 1.96 ⋅ 2 = 996.08 התחום הסביר נמצא בין 996.08 גרם לבין 1,003.92 גרם. ערכים שמתחת 996.08 גרם וערכים שמעל 1,003.92 גרם נמצאים בתחום החריג. מהמדגם קיבלנו ערך של 1,010 גרם. ערך זה נמצא בתחום החריג ולכן אנו דוחים את השערת ה,0-וקובעים כי המשקל הדגים בכנרת השתנה.

דוגמא נוספת לשאלה

מקובל להניח שמשך החיים של עכבר מתפלג נורמלית עם תוחלת של 30 ימים )(µ = 30 וסטיית תקן של 6 ימים (. )σ = 6 משך החיים של עכבר הוא משתנה הבסיס, שנסמלו. D1 חוקר טוען שהצליח, באמצעות תוסף מזון, להאריך את משך חייהם של עכברים. לבדיקת טענתו אנו נערוך ניסוי שבו ניתן לקבוצה של 9 עכברים את התוסף, ונחשב את הממוצע של משך החיים שלהם. זהו משתנה הממוצע, שנסמלו. D9 במסגרת הניסוי אנו נבחן את השערת ה,0 -לפיה התוסף לא יעיל, בהנחת מובהקות של ( 10%שטח הפעמון בתחום החריג הוא 10)% התקבל שממוצע משך החיים בקבוצה של 9 העכברים היה 34 האם התוסף מעלה את משך החיים של עכברים? פתרון השאלה: מהנתונים שלעיל נדרש לקבוע קו אדום אחד מימין לתוחלת )כי ההשערה הנגדית קובעת כי משך החיים גדל(.הקו האדום יהיה במרחק של 1.28 סטיות תקן מהתוחלת )כי רמת המובהקות היא.(10%גודל סטיית התקן של משתנה הממוצע, D9, הוא יומיים . מכאן, שהקו האדום ימוקם בערך של 32.56 ימים (. 30) + 1.28 ⋅ 2 = 32.56 ערך משתנה הממוצע 34, ימים, נמצא בתחום החריג, כפי שמוצג בתרשים 6.9 תרשים – 6.9 התפלגות משך החיים הממוצע של 9 עכברים 30 = μימים 2 = σימים 30 32.56…. 34 תקופה (ימים) מהתרשים ניתן ללמוד כי משך חיים ממוצע של 34 ימים הינו חריג ביחס למצופה באוכלוסיה שלא קיבלה את התוסף. אנו דוחים את השערת ה,0-ומקבלים את טענת החוקר, שהיא הטענה הנגדית.