סטטיסטיקה — ההתפלגות הנורמלית

ההתפלגות הנורמלית

ההתפלגות הנורמלית היא סוג אחד מסוגים רבים של התפלגויות, אך הוא מאוד חשוב מכיוון שנושאי מחקר סטטיסטיים רבים מתפלגים באופן מקורב להתפלגות הנורמלית.

העקום הנורמלי )צורת הפעמון(

כפי שראינו בפרק השני, הביטוי הגרפי של משתנה רציף הוא ההיסטוגרמה. נתבונן למשל בהיסטוגרמה הבאה, שמתארת תוצאות מדגם על גבהים של אנשים: כל מלבן בהיסטוגרמה נותן ביטוי לקבוצת גובה שנקראת מחלקה. בכל מחלקה נכללים האנשים שגובהם נע בין הערכים הנקובים בקצוות המלבן.

רוחב כל מחלקה בהיסטוגרמה הזאת הוא 10 ס"מ. עבור מדגם גדול יותר )יותר תצפיות( בוחרים בד"כ במחלקות צרות יותר למשל ברוחב של 5 ס"מ: החיצוני של ההיסטוגרמה 190 185 180 175 170 165 160 155 150 145 140 ככל שהמדגם יגדל נפצל את התוצאות ליותר מחלקות. והמלבנים הפנימיים בהיסטוגרמה יהיו יותר צרים ובמקביל גובהן של המדרגות בקו החיצוני של ההיסטוגרמה יקטן והוא יראה כשיני משור זעירים. כשהמדגם כולל כמות אין סופית של תצפיות ) = גדולה מאוד( הקו החיצון יהפך לקו חלק ורציף.

היסטוגרמה כזאת נקראת "פעמון גאוס". פעמון- על שום צורתה. גאוס – על שמו של המתמטיקאי הגרמני קארל פרידריך גאוס )1855-1777(. פעמון גאוס הוא ההיסטוגרמה המתארת את ההתפלגות הנורמלית ולכן הוא נקרא גם העקום הנורמלי .

המאפיינים של ההתפלגות הנורמלית

נלווה את ההסבר בדוגמא המתייחסת לגובה של ילדים בגיל .10 1( משתנה רציף – התפלגות נורמלית היא התפלגות של משתנה רציף, שיכול לקבל כל ערך מספרי:מספרים שלמים )101 ס"מ(, מספרים עם שברים )101.25(, מספרים חיובים, מספרים שליליים. )בדוגמא שלנו אין מספרים שלילים(. 2( הגובה משקף הסתברות – גובה העקומה שמעל כל מספר משקף את הסיכוי לקבל את אותו מספר ביחס למספרים אחרים. ככל שמתרחקים מהאמצע )הן שמאלה והן ימינה( הסיכוי הזה הולך וקטן. 3( האמצע הוא התוחלת – תוצאת האמצע היא הממוצע, והסיכוי לקבל אותה הוא הגבוה ביותר מבין כל המספרים האחרים.

4( סימטריות – ההתפלגות הנורמלית היא סימטרית סביב הממוצע. המשמעות היא שהסיכוי לקבל תוצאה שגדולה ב – 10 מהממוצע שווה לסיכוי לקבל תוצאה שקטנה ב – 10 מהממוצע. 5( הסתברויות ידועות מראש

ההסתברויות )=שטחי העקום( משני צידי הממוצע מתפלגות כדלקמן: השטח שמעל הקטע )על ציר ה- -ים( שאורכו

סטיית תקן אחת ) 1( מהממוצע, גם זה δ שמימין לממוצע וגם זה שמשמאלו , מסתכם בכ – %34 משטח העקום הנורמלי. לאור זאת , השטח שמעל הקטע באורך 2 סטיות תקן הנמצאות משני צידי הממוצע מסתכם בכ – %68 משטח העקום הנורמלי.

δ δ השטח שמעל הקטע שאורכו 2 סטיות תקן

) 2( מהממוצע, ימינה או שמאלה מהממוצע, δ מסתכם בכ – %47.5 משטח העקום הנורמלי. לאור זאת , השטח שמעל הקטע באורך 4 סטיות תקן מהממוצע , שתיים משמאל ושתיים מימינו , מסתכם ב – %95 משטח העקום הנורמלי. δ 2δ השטח שמעל הקטע שאורכו 3 סטיות תקן

תרשים C

) 3( מהממוצע ימינה או שמאלה מהממוצע , δ מסתכם בכ – %49.85 משטח העקום הנורמלי. לאור זאת , השטח שמעל הקטע באורך 6 סטיות תקן מהממוצע , 3 משמאלו ו-3 מימינו מסתכם בכ – %.99.7 רק %0.3 משטח העקום הנורמלי אינו נמצא 3δ δ בתחום של 3 סטיות תקן מכל צד של הממוצע! סכום זניח ביותר.

משמעות השטחים

כאמור השטחים מייצגים הסתברויות. ובדוגמא שלנו ההסתברות למצוא ילד שגובהו בתחום שבין היא %.68

\[\mu \pm \delta\]

או במילים אחרות :

מכל 1000 ילדים שנפגוש ברחוב הגובה של 680 מהם )%68( יהיה בתחום שבין ± . δ1 μ

וכך :

מכל 1000 ילדים שנפגוש ברחוב הגובה של 950 מהם )%95( יהיה בתחום שבין

\[\mu \pm 2\delta\]

והגובה של 997 ילדים )%99.7( יהיו בתחום שבין 3 .

\[\mu \pm 3\delta\]

רק 3 ילדים מכל 1000 יהיו מחוץ לתחום של .

\[\mu \pm 3\delta\]

סוגים שונים של פעמונים

ישנם סוגים שונים של "פעמונים". הם אמנם נראים דומים אך לכל פעמון יש שני מאפיינים שמבדילים אותו מהפעמונים האחרים. שני מאפיינים אלה הם: 1( המיקום של על ציר המספרים. μ 2( מידת הקמירות של הפעמון: האם הוא צר וגבוה או רחב ונמוך. דוגמאות לשוני בפעמונים: דוגמא 1: שני פעמונים בעלי אותה קמירות אך מיקום שונה:

דוגמא 2: שני פעמונים בעלי אותו מיקום אך קמירות שונה:

דוגמא 3: שני פעמונים השונים זה מזה בשתי התכונות: מיקום וקמירות.

מידת הקמירות של הפעמון נותנת ביטוי למידת הפיזור של ההתפלגות. ככל שהפעמון יותר צר וגבוה רוב התוצאות נמצאות סמוך לתוחלת, והמשמעות היא פיזור נמוך. ככל שהפעמון רחב ונמוך התוצאות מפוזרות יותר. המדד הסטטיסטי למידת הפיזור הוא סטית תקן . התפלגויות בעלות סטית תקן קטנה נותנות ביטוי לפעמונים צרים וגבוהים התפלגויות בעלות סטית תקן גדולה נותנות ביטוי לפעמונים רחבים ונמוכים.

עקום נורמלי המתקבל במדגמים

במדגמים שנערוך בד"כ לא נקבל עקום נורמלי שיהיה חלק וסימטרי כמו פעמון. במרבית המקרים העקום רק יזכיר פעמון, ולפעמים בקושי רב. להתפלגות שנקבל נקרא התפלגות המדגם. למשל אם נמדוד את משקל הדגים בכנרת יתכן ונקבל התפלגות כדוגמת זו. חישוב הסתברויות של התפלגות המדגם שהיא בצורת עקום נורמלי הסטטיסטיקה עדיין לא מצאה דרך לחשב הסתברויות מתוך התפלגות נורמלית שמקורה במדגם שאיננה עקום נורמלי מדוייק כלומר פעמון חלק וסימטרי. במקרים אלו הפתרון הוא להתאים להתפלגות המדגם עקום נורמלי שהכי מתקרב אליו. על גבי העקום הנורמלי שנתאים נבצע חישובי הסתברויות. ההסתברויות שנקבל על בסיס העקום הנורמלי תהיינה כמובן רק קרוב )לפעמים גס( להסתברויות שהיינו אמורים לקבל מהתפלגות המדגם אילו הייתה דרך לחשב אותם. ככל שסטטיסטיקאי יותר מקצוען ומנוסה, הוא יכול להתמודד טוב יותר עם המשמעות של תוצאות מקורבות ולהעריך את רמת הטעות שיכולה להיווצר. ככל שהתמונה שאנו מעוניינים להפיק מהנתונים היא כללית ו "בגדול" כך פוחתת חשיבות הדיוק, ונתוני הקירוב יכולים לספק אותנו.

חישוב הסתברויות בעקום נורמלי כלשהו

דוגמא:

נשאל את עצמנו את השאלה הבאה: אם נבחר באופן מקרי אדם מתוך קהל החוגגים ביום העצמאות, מהי ההסתברות שגובהו יהיה בין 150 ס"מ ל – 170 ס"מ? וזאת בהנחה שהגובה של קהל החוגגים, על פי מדגם שערכנו, מתפלג במתכונת של עקום נורמלי )עקום נורמלי של המדגם( שמתקרב ביותר לעקום הנורמלי )המדוייק( כפי שמוצג בתרשים שבו A 167 ס"מ ו 2 ס"מ.

למעשה אנו מתעניינים בחישוב ההסתברות לקבלת מאורע מאוד מסויים כלשהו:

המאורע: כל אדם שגובהו נע בין 150 -170 ס"מ

נסמן את המאורע הזה על ציר המספרים באמצעות פס שחור שמתחיל ב 150 ס"מ ומסתיים ב – 170 ס"מ. ההסתברות להתרחשות המאורע הזה היא השטח שמעל הפס. השטח הרלוונטי למאורע תמיד קטן מ – %100: שכן כל שטח הפעמון שווה ל %.100

תרשים

A

\[\mu = 167\ \text{ס"מ},\quad \sigma = \delta\]

גובה בס"מ 190 180 170 160 150 140

כיצד נוכל לחשב שטחים בעקום נורמלי

המתמטיקאים פיתחו עבורנו טבלה שנקראת טבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית או בקיצור : ההתפלגות הסטנדרטית שבאמצעותה נוכל לבצע חישובים.

רקע מקדים – ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית

העקום הסטנדרטי.

עקום סטנדרטי

ראינו שישנן אין סוף צורות של עקומים נורמליים בניהם נמצא עקום אחד בעל התכונות הבאות: הממוצע שלו .0 סטיית התקן שלו .1

לעקום בעל התכונות הנ"ל קוראים העקום הסטנדרטי . טבלת ההתפלגות הסטנדרטית יכולה לחשב רק שטחים מהעקום הסטנדרטי. אך למזלנו, כפי שנראה בהמשך, אפשר "לעצב" כל עקום נורמלי כלשהו, לעקום הסטנדרטי. "העיצוב" אפשרי, היות וכל העקומים הם בעלי אותו שטח ) 1(.

היות ובאמצעות הטבלה ניתן לחשב כל שטח בעקום הסטנדרטי אזי באופן אוטומטי ניתן לחשב כל שטח בכל עקום נורמלי אחר, שנקרא לו : עקום המטרה . נקדיש את תת – הפרקים הבאים לעקום הסטנדרטי .

תכונות העקום הנורמלי הסטנדרטי

כאמור העקום הסטנדרטי הוא התפלגות נורמלית עם תוחלת 0 וסטית תקן .1 כלומר, פעמון ששיאו נמצא מעל ה – ,0 ושמידת הקמירות שלו היא כזאת המתאימה לסטית תקן 1: היחידות על ציר ה – ים הן סטיות תקן. הן נעות בין 3 סטיות מימין ל – 0 ו – 3 סטיות תקן X משמאל ל -.0 עקום סטנדרטי

תזכורת לתכונות של עקום נורמלי

1( שאלה : מהי ההסתברות לקבל ערכים

μ תשובה : 0.5 הסבר: הפעמון הוא סימטרי סביב ה-0, וסה"כ שטחו מסתכם ב – .1 לכן השטח שקטן מ- 0 הוא בדיוק חצי פעמון, כלומר .0.5 2( שאלה : מהי ההסתברות לקבל ערכים

תשובה : 0.5

כיצד לקרוא את טבלת ההתפלגות הסטנדרטית?

טבלת ההתפלגות הסטנדרטית

	
הערך	הסתברות
)בסטיות תקן(	)=שטח העקום שמשמאל לערך(
3.0-	0.0013
2.9-	0.0019
2.8-	0.0026
2.7-	0.0035
2.6-	0.0047
2.5-	0.0062
2.4-	0.0082
2.3-	0.0107
2.2-	0.0139
2.1-	0.0179
2.0-	0.0228
1.9-	0.0287
1.8-	0.0359
1.7-	0.0446
1.6-	0.0548
1.5-	0.0668
1.4-	0.0808
1.3-	0.0968
1.2-	0.1151
1.1-	0.1357
1.0-	0.1587
0.9-	0.1841
0.8-	0.2119
0.7-	0.2420
0.6-	0.2743
0.5-	0.3085
0.4-	0.3446
0.3-	0.3821
0.2-	0.4207
0.1-	0.4602
0.0	0.5000
0.1	0.5398
0.2	0.5793
0.3	0.6179
0.4	0.6554
0.5	0.6915
0.6	0.7257
0.7	0.7580
0.8	0.7881
0.9	0.8159
1.0	0.8413
1.1	0.8643
1.2	0.8849
1.3	0.9032
1.4	0.9192
1.5	0.9332
1.6	0.9452
1.7	0.9554
1.8	0.9641
1.9	0.9713
2.0	0.9772
2.1	0.9821
2.2	0.9861
2.3	0.9893
2.4	0.9918
2.5	0.9938
2.6	0.9953
2.7	0.9965
2.8	0.9974
2.9	0.9981
3.0	0.9987

הטבלה מחולקת ל – 2 טורים : טור 1 – הערך )מבוטא בסטיות תקן( בשורה הראשונה הערך 3.0- .

בשורה שמתחתיו הוא 2.9- . תוספת של 0.1 סטיות תקן. בשורה השלישית הוא 2.8- .שוב תוספת של 0.1 סטיות תקן וכך משורה לשורה הערך עולה ב – 0.1 סטיות תקן, עד שבשורה האחרונה הוא מגיע ל – 3.0 סטיות תקן. טור 2 – הסתברות )=שטח העקום שמשמאל לערך( בכל שורה נקוב השטח שמשמאל לערך.

דוגמאות:

שאלה : מה ההסתברות לקבל ערכים נמוכים מ – 1? תשובה : 0.8419

נתבונן בטבלה בשורה של הערך 1.0 )מסומן ב-  ( ההסתברות הכתובה לצד 1.0 בטור 2 )0.8413(  היא ההסתברות. כלומר, יש סיכוי של 0.8413 לקבל ערכים נמוכים מ-1. או במילים אחרות  ההסתברות היא מעל %.84.13 שאלה : מה ההסתברות לקבל ערכים נמוכים מ – 0.5? תשובה : 0.6915

הסבר:

מסתכלים בטבלה בהסתברות הכתובה בטור 2 לצד הערך – .0.5

שימוש במאורעות משלימים

שאלה : מה ההסתברות לקבל ערכים גבוהים מ – 0.5?

תשובה : 0.3085 הסבר: את זה אי אפשר למצוא בטבלה באופן ישיר, כיוון שהטבלה נותנת את ההסתברות לקבל ערכים נמוכים יותר, ובשאלה התבקשנו למצוא את ההסתברות לקבל ערכים גבוהים יותר. את התשובה נקבל באמצעות פעולת חיסור.סך כל השטח של ההתפלגות הוא ,1 ולכן אם נפחית מ – 1 את ההסתברות לקבל ערכים נמוכים מ – 0.5 )שאותה מצאנו בשאלה הקודמת(, נקבל את ההסתברות לקבל ערכים גבוהים מ – 0.5: 0.3085 =) 0.6915 – 1( למעשה התייחסנו בשאלה ל – 2 מאורעות משלימים. מאורע א' – ההסתברות לקבל ערך קטן מ- .0.5 מאורע ב' – ההסתברות לקבל ערך גדול מ- .0.5

מאורעות עם נקודת התחלה ונקודת סוף

שאלה: מה ההסתברות לקבל ערכים בין 0 לבין 0.5? )מסומן באפור(

תשובה: 0.1915 הסבר: כדי למצוא את השטח המסומן באפור, יש לבצע את פעולת החיסור הבאה: השטח שמתחת ל 0.5 = 0.6915 השטח שמתחת ל – 0 = 0.5000 התוצאה 0.1915 שאלה : מה ההסתברות לקבל ערכים בין 1.5 – לבין 1.5?

תשובה : 0.8664 הסבר: השטח שמשמאל ל 1.5 ,0.9332 השטח שמשמאל ל 1.5- .0.0668 החיסור שלהם ייתן

\[(0.9332 – 0.0668 =)\ 0.8664\]

את השטח המסומן בציור, שהוא ההסתברות המבוקשת. (

שאלה : מה ההסתברות לקבל ערכים גבוהים מ 1.5 או נמוכים מ 1.5 – ?

תשובה : 0.1336 הסבר- דרך א' : באופן הקל ביותר אפשר לראות שהשטח בשאלה זו הוא בדיוק המשלים ל – 1 של השטח בשאלה הקודמת. כלומר סכום השטח בשאלה זו ושל השטח בשאלה הקודמת הוא .1 לכן אם נפחית מ – 1 את השטח שהתקבל בשאלה הקודמת, נקבל את התשובה לשאלה זו:

\[(1 – 0.8664 =)\ 0.1336\]

דרך ב': נמצא בטבלה את השטח שמשמאל ל 1.5 -, שהוא .0.0668 בגלל הסימטריה של הפעמון, השטח שמימין ל 1.5 הוא בדיוק אותו דבר )0.0668(. לכן, סך כל השטח המסומן הוא:

\[(2 \times 0.0668 =)\ 0.1336\]

המעבר מעקום נורמלי כלשהו לעקום סטנדרטי

במציאות יש לנו אינסוף פעמונים אפשריים, ולא רק את הפעמון הסטנדרטי. לכל התפלגות יש תוחלת משלה וסטית תקן משלה ולכן פעמון משלה. היכולת שלנו לחשב הסתברויות בהתפלגות נורמלית סטנדרטית לא עוזרת לנו )בינתיים( בחישובי הסתברויות בפעמונים אחרים, שהם רוב המקרים במציאות. ושוב באו המתמטיקאים לעזרתנו. הם מצאו דרך להפוך כל התפלגות נורמלית )עקום המטרה( להתפלגות נורמלית סטנדרטית . דרך זו נקראת תיקנון . תיקנון הוא למעשה מעין "תירגום" הערכים של התפלגות נורמלית כלשהי לערכים התואמים את הפעמון הסטנדרטי )= ערכים מתוקננים (, ואז נוכל להשתמש בטבלה. מכאן שכמעט כל בעיה שנרצה לפתור תכלול שתי פעולות נפרדות: )1( תיקנון, )2( חיפוש בטבלה. הערכים המתוקננים נקראים ציוני תקן . פעולת התקנון היא פעולת התרגום מעקום המטרה לעקום הסטנדרטי.

פעולת התיקנון – המחשה ציורית מקדימה

באופן ציורי אפשר לדמות את פעולת התיקנון למצב שבו אנו רוצים למדוד את האורך של חוט מסולסל. תחילה אנו מניחים אותו על סרגל ואח"כ מיישרים אותו. כך עושים בעקום נורמלי כלשהו )עקום המטרה(. תחילה "מניחים" אותו על העקום הסטנדרטי )כך שמרכז עקום המטרה יפול על 0( ואח"כ "מעצבים" אותו בדיוק לצורת העקום הסטנדרטי )מקביל לפעולת מתיחת החוט( העיצוב אפשרי, היות ושניהם בעלי אותו שטח ) =1(. "ההנחה" ו"העיצוב" מתבצעים באמצעות 2 פעולות חשבון פשוטות: 1( חיסור 2( חילוק. שאותן מבצעים בו זמנית. " ההנחה" מבוצעת באמצעות החסרת כל ערך בעקום המטרה ) מספר על ציר ה – ים( בתוחלת

שלו. כך התוחלת שלו הופכת להיות 0 ) תוחלת פחות תוחלת(.

ה"עיצוב" נעשה באמצעות חילוק התוצאה שהתקבלה בסטיית התקן של עקום המטרה. בסוף התהליך לצד כל ערך בעקום המטרה ) שנכנה אותו: הערך המקורי ( ישנו ערך נוסף שמכונה הערך המתוקנן . באמצעות הערכים המתוקננים אנו מחשבים הסתברויות המתייחסות לערכים המקוריים בעקום המטרה. ועכשיו לדוגמאות: .1 העקום הנורמלי בתרשים מציג את התפלגות הגובה של ילדי כתה י"ב A התוחלת שלו היא 170 ס"מ. ס"מ =

\[\frac{180 – 170}{10} = \frac{10}{10} = 1\]

וסטיית התקן – 10 .

כמובן שהעקום הנורמלי הזה אינו עקום סטנדרטי )שבו התוחלת שווה ל – 0 וסטיית התקן ל – 1 (. נניח שאנו מעוניינים לחשב מהי ההסתברות להיפגש עם ילד באופן מקרי שגובהו מתחת ל 180 ס"מ או במילים אחרות איזה אחוז מהתלמידים בכתה י"ב נמוכים מ – 180 ס"מ.

\[\mu = 170\ \text{ס"מ}\]

כדי למצוא את ציון התקן )הערך המתוקנן( של ,180 נפחית מ-081 את

\[\sigma = 10\]

ההתפלגות )=170(, ואת התוצאה נחלק בסטית התקן שלה)=01( ונקבל – 1 כלומר, ציון התקן של 180 הוא .1 במילים חרות: הערך 180 בעקום המטרה, זהה לערך 1 בעקום הסטנדרטי. נרשום בתרשים את ציון התקן )1( מתחת לערך המקורי )180(

הערכים ציוני התקן: הערה: ציון התקן של התוחלת הוא תמיד .0 אפשר לבדוק זאת על ידי כך שנתקנן את התוחלת: −

\[\frac{170 – 170}{10} = \frac{0}{10} = 0\]

\[= \frac{0}{10} = 0\]

כעת במקום לשאול את השאלה: איזה אחוז מהאנשים נמצאים מתחת ל – ,180 נוכל לשאול איזה אחוז מהפעמון הסטנדרטי נמצא מתחת ל – 1 . מה בעצם עשינו: תרגמנו את השאלה משאלה שאנחנו לא יודעים לענות עליה, לשאלה זהה שאנחנו יודעים לענות עליה. על השאלה השניה נענה באמצעות הטבלה, ונראה שהשטח המסומן בתרשים הוא ,0.8413 כלומר %84.13 מהאנשים נמוכים מ – 180 ס"מ. למעשה פעולת ה"תירגום" של עקום המטרה לעקום הסטנדרטי כוללת 2 שלבים: .1 "מתיחה" או "כיווץ" של עקום המטרה )שאת שטחיו אנו רוצים למדוד( לצורה של עקום נורמלי סטנדרטי )מבלי לשנות את המספרים על גבי הציר. השינוי הוא רק במרווחים שבין המספרים(. "המתיחה" או "הכיווץ" מבוצעים ע"י פעולת החילוק שבנוסחת התיקנון. .2 הזזה של העקום כך שיעלה בדיוק מעל העקום הנורמלי הסטנדרטי בחפיפה מלאה. ההזזה מבוצעת ע"י פעולת החיסור שבנוסחת התיקנון.

דוגמא נוספת

יוסי מחזיק במניות שהרווח השנתי שלהן מתפלג נורמלית עם תוחלת %9.6 וסטית תקן של %.8 עצם זה שתוחלת הרווח היא %9.6 אינו מבטיח רווח בטוח של %9.6 כל שנה. התפלגות הרווח ניתנת לייצוג כפעמון:

מה הסיכוי שיוסי ירוויח השנה? להרוויח פרושו רווח גדול מאפס )והפסד הוא בעצם רווח שלילי(. אנו שואלים מה הסיכוי שהרווח השנה יהיה גדול יותר מ-%0. אנו מחפשים למעשה את השטח המסומן בתרשים:

עלינו תחילה למצוא את ציון התקן.

ציון התקן של 0 הוא: 1.2- נוסיף זאת לתרשים, בשורת ציוני תקן .

\[\left(\frac{0 – 9.6}{8} = \frac{-9.6}{8} =\right)\]

הערכים המקוריים: ציוני התקן: 0 1.2 – תירגמנו את השאלה המקורית לשאלה הבאה: מהו השטח שמימין ל 1.2 – , בהתפלגות סטנדרטית. כדי לענות על שאלה זו, עלינו להתבונן בטבלה. השטח שמשמאל ל 1.2 – הוא ,0.1151 ולכן השטח שמימין ל 1.2 – הוא .

\[(1 – 0.1151) =\]

\[(1 – 0.1151) = 0.8849\]

הסיכוי שיוסי ירוויח השנה הוא אם כן 0.8849 )מתוך 1.0( או במילים אחרות: הסיכוי שיוסי ירוויח הוא %.88.49

שאלות לפרק 5

ענה נכון/לא נכון על השאלות הבאות: .1 בהתפלגות נורמלית, ההסתברות לקבל ערך במרחק של שלוש סטיות תקן מהממוצע ומעלה נמוך מאוד. נכון/לא נכון .2 סך השטח שמתחת לעקום הנורמלי שווה תמיד ל – .1 נכון/לא נכון .3 "הפעמון של גאוס" מתייחס לצורת העקומה המתארת את ההתפלגות הנורמלית.

נכון/לא נכון

.4 בהתפלגות נורמלית, עם ערך ממוצע של וסטיית תקן , רוב הערכים נמצאים בין הממוצע X δ לבין הנקודה נכון/לא נכון

\[\bar{X} + 1\sigma\]

.5 בכל התפלגות נורמלית, הערכים יכולים לקבל כל מספר שבין מינוס אינסוף לאינסוף.

נכון/לא נכון

.6 בהתפלגות נורמלית, ההסתברות לקבל ערכים נמוכים מהממוצע היא תמיד %.50

נכון/לא נכון

.7 בהתפלגות נורמלית, מספר גבוה יחסית של ערכים נמצא מסביב לממוצע.

נכון/לא נכון

.8 בהתפלגות נורמלית, %95 מהערכים יהיו במרחק של שתי סטיות תקן מהממוצע.

נכון/לא נכון

.9 במדינה מסוימת, %60 מהאוכלוסייה הם נוצרים, %30 – מוסלמים, ו – %10 יהודים. ניתן לתאר את ההתפלגות הזו בצורה נורמלית. נכון/לא נכון .10 התפלגות הגבהים של הבנים בכיתה ו' והתפלגות הגבהים של הבנות בכיתה ו' הן בעלות אותה צורה, אך המיקום שלהן על-פני ציר הערכים שונה. המשמעות היא כי ההסתברות לקבל ערכים הרחוקים עד 10 ס"מ מהממוצע שונה בין הבנים לבנות. נכון/לא נכון