נבחין בין חקירת הגבולות בפונקציה רציפה ובפונקציה מפוצלת.
בפונקציה רציפה אנו מתעניינים רק בגבול אחד.
הגבול שלפני `x=oo` והגבול שלפני `x=(oo-)` .
אין משמעות לגבול שאחרי הנקודה, היא כבר מעבר ל-`oo` .
בפונקציה מפוצלת אנו מתעניינים ב-2 הגבולות: זה שלפני נקודת הפיצול וזה שאחריה.
הטכניקה של חישוב הגבול
- אנו מציבים בפונקציה את ערך ה- x שבו הפונקציה לא מוגדרת. תתקבל תוצאה כלשהי שתכלול לפחות אחד מהביטויים: `oo` , `(-oo)` , 0 .
לדוגמה תתקבלנה התוצאות הבאות: `[a/0^+]` , `[0/-oo]`, `[oo*oo]` , (ה-a מייצג מספר חיובי) - המתמטיקאים פיתחו שורת הנחיות לחישוב הגבול או הגבולות בהתאם לתוצאות שתתקבלנה.
- הנחיות המתמטיקאים מרוכזות ב- 3 טבלאות להלן, הממוספרות 1, 2, ו- 3:
בטבלאות הבאות a מייצג מספר חיובי כלשהו.
|
טבלה #1 |
||
|
|
תוצאת הפונקציה |
הגבול |
|
|
1 |
2 |
|
שורה 1 |
`[(-oo)/-a]` , `[oo/a]` , `[-a/0^-]` , `[a/0^+]`
|
∞ |
|
שורה 2 |
`[(-oo)/-a]`,`[(-oo)/-a]`,`[-a/0^+]`,`[a/0^-]` |
∞- |
|
שורה 3 |
`[a/(-oo)]` , `[(-a)/oo]` , `[a/oo]` , `[(-a)/(-oo)]`
` ` |
0 |
|
טבלה #2 |
||
|
|
תוצאת הפונקציה |
הגבול |
|
|
1 |
2 |
|
שורה 1 |
`[(-oo)/0^-]`, `[oo/0^+] `, `[(-oo)*(-oo)]` , `[oo*oo]` , `[oo+oo]` , `[oo^(oo)]` , `[oo^(a)]` |
∞ |
|
שורה 2 |
`[(oo)/0^-]` , `[(-oo)/0^+] ` , `[(-oo)*(-oo)]` , `[(-oo)*oo]` , |
∞- |
|
שורה 3 |
`[oo^(oo)]` , `[oo^(-a)]` , `[0/-oo]` , `[0/oo]` |
0 |
|
טבלה #3 |
||
|
|
תוצאת הפונקציה |
הגבול |
|
|
1 |
2 |
|
שורה 1 |
`[oo-oo]` , `[(oo)/oo]` , `[0/0]` , `[oo^(0)]` , `[1^(oo)]` |
דרוש מהלך מקדים |
הסבר לטבלאות 1 ו- 2
הסבר לטבלה 3
דוגמאות המתייחסות לטבלה 3
דוגמה 1 – `lim_(x->oo)(x^2-x)`
אם נציב `x=oo`, נקבל: `(lim_(x->oo)(x^2-x)=)[oo-oo]`
`larr[oo-oo]` אחת מהתוצאות בטבלה 3
שינוי פני הפונקציה
אם לפני ההצבה של `x=oo`, נפרק את הפונקציה לגורמים, נוכל לפתור בקלות:
| עפ”י טבלה 2 | פירוק לגורמים | |
| `lim_(x->oo)(x^2-x)=lim_(x->oo)x(x-1)=[oo*oo]=oo` | ||
דוגמה 2 – `lim_(x->oo)(x^2-1)/(x+1)`
אם נציב `x=oo`, נקבל: `lim_(x->oo)(x^2-1)/(x+1)=[oo/oo]`
שינוי פני הפונקציה
אם לפני ההצבה נחלק מונה ומכנה ב- x, נוכל לפתור בקלות:
`lim_(x->oo)(x^2-1)/(x+1)=lim_(x->oo)(x-1/x)/(1+1/x)=[(oo-0)/(1+0)]=[oo/1]=oo`
ניתן לפתור גם ע”י פירוק לגורמים וצמצום:
`lim_(x->oo)(x^2-1)/(x+1)=lim_(x->oo)((x+1)(x-1))/(x+1)=lim_(x->oo)(x-1)=oo`
דוגמה 3 – `lim_(x->oo)(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)`
אם נציב `x=oo`, נקבל: `lim_(x->oo)(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)=[oo/oo]`
שינוי פני הפונקציה
אם לפני ההצבה נצמצם ב-`x^3` , נוכל לפתור בקלות:
`lim_(x->oo)(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)=lim_(x->oo)(5+2/x-1/x^3)/(x+5/x^3)=[(5+0-0)/(oo+0)]=[5/oo]=0`
דוגמה 4 – `lim_(x->1)(x^2+2x-3)/(2x^2-2)` (פונקציה מפוצלת)
אם נציב `1=x` , נקבל: `lim_(x->1)(x^2+2x-3)/(2x^2-2)=[0/0]`
שינוי פני הפונקציה
אם לפני ההצבה נפרק לגורמים ונצמצם, נוכל לפתור בקלות:
`lim_(x->1)(x^2+2x-3)/(2x^2-2)=lim_(x->1)(x-1)(x=3)/2(x^2-1)=lim_(x->1)(x-1)(x+3)/2(x+1)(x-1)=lim_(x->1)(x+3)/2(x+1)=4/4=1`
