- כאשר מציבים ערך כלשהו של x בפונקציה, מקבלים את תוצאת הפונקציה באותו ערך. לדוגמה, בפונקציה `f(x)=1/x` , כאשר מציבים 3=x, מקבלים `f(x)=1/3` .
- ב- 2 תרחישים התוצאה שנקבל תהיה חסרת משמעות:
– בפונקציה לא רציפה, כאשר ערך ה-x מתייחס לנקודת הפיצול.
– בפונקציה רציפה, כאשר ∞=x או ∞- - מטרת הפרק היא להעריך את תוצאת הפונקציה בסמיכות (מיקרוסקופית) לערכי ה- x שמניבים תוצאה חסרת משמעות.
גבול (Limit בשפת המתמטיקה)
המונח גבול או גבולות, בהקשר המתמטי, בא לציין שאנו עוסקים בגבול או גבולות של נקודה בודדת כלשהי הנמצאת על גבי עקום הפונקציה, או בגבול של הפונקציה כאשר ה-x גדל עד אינסוף (או קטן עד מינוס אינסוף).
הגבולות של נקודה
בתרשים A משורטט קטע מהפונקציה `f(x)=ax^2+bx+c` (פרבולה). תוצאת הפונקציה בערך 2=x היא 8 וגבולותיה (תוצאות הפונקציה מ-2 צידי הנקודה) נושקות ל-8.
הערה: לצורך המחשת התיאור בתרשים, עִיבֵּינוּ את הנקודות והשארנו רווחים בין הקווים האנכיים. בפועל גם הקווים וגם הנקודות הם בעובי מיקרוסקופי וצמודים זה לזה.
תרשים A
שוני זניח בתוצאות
היות והשוני בתוצאות של 3 הנקודות (הנקודה וגבולותיה) הוא זניח, ניתן לומר שקיים ביניהן שוויון.
בפונקציה רציפה קיים שוויון בין הנקודה לגבולותיה
בפונקציה רציפה, תוצאות הפונקציה בכל נקודה שווה לגבולותיה, למעט כאשר x = ∞ או ∞- (יוסבר בהמשך). לאור זאת מספיק לדעת תוצאה של גבול אחד כדי לדעת את התוצאה בנקודה.
בנקודה מפוצלת – הנקודה בפיצול אינה שווה ל- 2 גבולותיה
דוגמאות (בליווי התרשימים)
- בתרשים הבא נקודת הפיצול היא 0=x.הגבול השמאלי שלה (1…..0.0000-) הוא אי שם מתחת לציר ה-X-ים בתחתיות מערכת הצירים והגבול הימני (1…..0.0000) הוא אי שם מעל לציר ה-X-ים. כל 3 הנקודות אינן שוות.
תרשים B
- בתרשים הבא נקודת הפיצול היא בערך 5 = x. הגבול השמאלי שלה שווה ל- 2 והגבול הימני ל- 4.
הנקודה (תוצאת הפונקציה) בערך 5 = x היא 4, שווה לגבול הימני ורחוקה מאוד מהגבול השמאלי. במילים אחרות: 3 הנקודות אינן שוות.
תרשים C - בתרשים הבא ישנה נקודת פיצול כאשר 6 = x. הנקודה בערך זה היא 10.
רחוקה מ- 2 הגבולות שלה שהם באזור ה- 3.גם כאן 3 הנקודות אינן שוות.
תרשים D
רציפות של פונקציה במבחן מתמטי
כדי שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה מסויימת, צריכות להתקיים בה 3 תכונות:
- תוצאת הפונקציה צריכה להיות מוגדרת בנקודה. הפונקציה בתרשים B נכשלת בתכונה זו.
- לפונקציה צריכים להיות גבולות שווים בנקודה. הפונקציה בתרשים C נכשלת בתכונה זו. הגבול השמאלי הוא 2 והימני 4.
- הגבולות צריכים להשתוות לנקודה. הפונקציה בתרשים D נכשלת בתכונה זו. הגבולות שווים ל- 3 (בערך) והנקודה שווה ל- 10.
למעשה, אפשר לומר במילים פשוטות שאם הנקודה ו- 2 גבולותיה אינם שווים, אזי הפונקציה אינה רציפה באותה נקודה.
ניסוח |
סימול |
מקרא |
הגבול (של הפונקציה), כאשר: |
`lim_(x->oo)f(x)` |
Lim גבול. קיצור של Limit → שואף ∞→x x שואף ל- ∞ |
הגבולות של הפונקציה כאשר: |
`lim_(x->5^+)f(x)` |
+5→x x שואף ל- 5 מימין |
x שואף ל – 5 משמאל |
`lim_(x->5^-)f(x)` |
–5→x x שואף ל- 5 משמאל |