חישוב ההסתברות לקבלת כל אחד מהצירופים האפשריים

חישוב ההסתברות לקבלת כל אחד מהצירופים האפשריים. בליווי טבלה 2.18

כזכור, אצל מייקל ג'ורדן ההסתברות להצלחה היא 0.9 וההסתברות לכישלון – 0.1.
לאור זאת:

ההסתברות שתתקבל אפשרות (צירוף) עם 3 הצלחות היא: `[ 0.9^3]=0.729` .
יש רק אפשרות (צירוף) אחת כזו (טבלה 2.18 טור 3).

ההסתברות שתתקבל אפשרות עם 2 הצלחות היא: `[(0.9)^2*(0.1)^1]=0.081` .

יש 3 אפשרויות כאלו.

ההסתברות שתתקבל אפשרות עם 1 הצלחה היא: `[(0.9)^1*(0.1)^2]=0.009` .
יש 3 אפשרויות כאלו.

ההסתברות שתתקבל אפשרות עם 0 הצלחות היא: ` [(0.1)^3]=0.001` .

יש רק אפשרות אחת כזו.

הכנת טבלת ההתפלגות 2.18

טבלה #2.18
ערך	הסתברות	אופן החישוב
ערך	הסתברות	ההסתברות לאפשרות אחת		מספר האפשרויות
0	0.001	`(0.1)^3`	·	1
1	0.027	`(0.9)^1*(0.1)^2`	·	3
2	0.243	`(0.9)^2*(0.1)^1`	·	3
3	0.729	` (0.9)^3`	·	1

ההסתברות= ההסתברות לאפשרות אחתX מספר האפשרויות

דוגמא 2

המשתנה – מספר ההצלחות של מייקל ג'ורדן בסבב של 10 זריקות לסל.
המשתנה יכול לקבל 11 ערכים (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) וקיימות 1,024 אפשרויות `(2^10=)` .

הפעלת המחשבון – מוצגת בטבלה 2.19

חישבנו להמחשה רק את האפשרויות המניבות את הערכים 2 ו- 4, ורק להן נתייחס גם בהמשך.

טבלה #2.19
המטרה	הפעולה במחשבון	התוצאה
	מס' הניסויים `larr` מקש `larr` הערך המבוקש
חישוב מספר הצרופים האפשריים לערך 0	` [0] larr [NCR] larr [10]`
חישוב מספר הצרופים האפשריים לערך 1	` [1] larr [NCR] larr [10]`
חישוב מספר הצרופים האפשריים לערך 2	` [2] larr [NCR] larr [10]`	45
חישוב מספר הצרופים האפשריים לערך 3	` [3] larr [NCR] larr [10]`
חישוב מספר הצרופים האפשריים לערך 4	` [4] larr [NCR] larr [10]`	210
וכך הלאה

הפניה לנספח

בהמשך הספר נשתמש בשיטת כתיבה נפוצה של שברים עשרוניים.

לדוגמא, במקום 0.0000000081 נכתוב `8.1*10^(-9)`

השיטה מתוארת בנספח המופיע בסוף הפרק (בע״מ 56).

חישוב ההסתברות לקבל כל אחת מהצירופים האפשריים

(אנו מתייחסים לצירופים המניבים את הערכים 2 ו- 4)

ההסתברות לקבלת צירוף אפשרי שיש בו 2 הצלחות היא:

ההסתברות לקבלת צירוף אפשרי שיש בו 4 הצלחות היא:`(0.9)^4*(0.1)^6= 6.561*10^(-7`

הכנת טבלת ההתפלגות (טבלה 2.20)

מילאנו את הטבלה רק בערכים 2 ו- 4.

טבלה #2.20
ערך המשתנה	הסתברות לקבלת הערך	אופן החישוב
ערך המשתנה	הסתברות לקבלת הערך	ההסתברות לצירוף אחד		מספר הצירופים האפשריים
0
1
2	0.000000364	`8*(10)^(-9)`	*	45
3
4	0.000138	`6.561*(10)^(-7)`	*	210
5
6

דוגמאות לשאלות שכיחות ביחס למשתנה מקרי בינומי, בליווי פתרונות

שאלות 1-3 מתייחסות למשתנה:
מספר ההצלחות של מייקל ג'ורדן בסבב של 10 זריקות לסל

שאלה 1:
מה ההסתברות שמייקל ג'ורדן יקלע רק 2 סלים?

פתרון: מבוקשת ההסתברות שמייקל יקלע בדיוק 2 סלים. והיא:

והתוצאה: `45* (0.9)^2*(0.1)^8 = 3.645*10^-7 `` `(מספר האפשרויות מטבלה 2.19 שורה 3)`

התוצאה שקיבלנו היא שבר עשרוני בכיתוב מקוצר. הכיתוב המקוצר מוסבר בנספח 1.

שאלה 2:
מה ההסתברות שמייקל יקלע לפחות 8 סלים?

פתרון: ההסתברות לקליעה של לפחות 8 סלים היא סכום ההסתברויות לקבלת כל אחד מהערכים: 8, 9 ו – 10.

יש לחשב את מספר הצירופים האפשריים לכל ערך:

המטרה	הפעולה	התוצאה
חישוב מספר הצירופים האפשריים לערך 8	` [8] larr [NCR] larr [10]`	45
חישוב מספר הצירופים האפשריים לערך 9	` [9] larr [NCR] larr [10]`	10
חישוב מספר הצירופים האפשריים לערך 10	` [1] larr [NCR] larr [10]`	1

ההסתברות לקבלת צירוף שנותן את הערך 8 היא: `0.9^8*1.0^2=0.004304`

נכפיל במספר הצירופים האפשריים לקבלת הערך 8 ונקבל: $\displaystyle{45}\cdot{{0.9}}^{{8}}\cdot{{1.0}}^{{2}}={0.1937}$

ההסתברות לקבלת צירוף שנותן את הערך 9 היא: `0.9^9*1.0^1=0.038742`

נכפיל במספר הצירופים האפשריים לקבלת הערך 9 ונקבל: `10*0.9^9*1.0^1=0.38742`

ההסתברות לקבלת הצירוף (יש רק 1) שנותן את הערך 10 היא: `0.9^10=0.34868`

נחבר את ההסתברויות: `0.1937+0.3874+0.3487=0.9298`

ההסתברות שמייקל ג'ורדן יקלע לפחות 8 סלים מתוך 10 זריקות היא 0.9298.

שאלה 3:
מה ההסתברות שמייקל יקלע לכל היותר 7 סלים?

פתרון: עלינו לסכם את ההסתברויות לקבלת הערכים 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6 ו – 7.

החישוב הוא ארוך: נצטרך לחשב את מספר הצרופים האפשריים לקבלת כל ערך, להכפיל אותו בהסתברות לקבלת כל צירוף כזה. מכיוון שיש 8 ערכים נצטרך לבצע 8 חישובי הסתברויות. בסוף, נצטרך לסכם את כל 8 ההסתברויות.

במקרה הזה יש חישוב יותר פשוט: מכיוון שחישבנו כבר (בשאלה 2) את ההסתברות לקבלת הערכים 8 עד 10, ואנחנו רואים שבשאלה הזאת אנחנו צריכים לחשב את ההסתברות לקבלת כל האחרים (0 עד 7), ואנחנו יודעים שההסתברות הכוללת היא 1, נבצע את החיסור הבא:

ההסתברות הכוללת	הסתברות לקבלת הערכים 8 עד 10 (משאלה 2)	הסתברות לקבלת הערכים 0 עד 7 (כל הערכים חוץ מ-8 עד 10)
1-	0.9298	=0.0702